三角函數(shù)值精選(九篇)

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第1篇：三角函數(shù)值范文

一．問題的提出：

在我們的學(xué)習(xí)中常遇到知三角函數(shù)值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我們?nèi)绾伪硎灸兀肯喈?dāng)于中如何用來表示，這是一個反解的過程，由此想到求反函數(shù)。但三角函數(shù)由于有周期性，它們不存在反函數(shù)，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個區(qū)間滿足：

（1）包含銳角；（2）具有單調(diào)性；（3）能取得三角函數(shù)值域上的所有值。

顯然對，這樣的區(qū)間是；對，這樣的區(qū)間是；對，這樣的區(qū)間是；

二．新課的引入：

1．反正弦定義：

反正弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.

對于注意：

（1）（相當(dāng)于原來函數(shù)的值域）；

（2）（相當(dāng)于原來函數(shù)的定義域）；

（3）；

即：相當(dāng)于內(nèi)的一個角，這個角的正弦值為。

反正弦：符合條件（）的角，叫做實(shí)數(shù)的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，，

由此可見：書上的反正弦與反正弦函數(shù)是一致的，當(dāng)然理解了反正弦函數(shù)，能使大家更加系統(tǒng)地掌握這部分知識。

2．反余弦定義：

反余弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作：.

對于注意：

（1）（相當(dāng)于原來函數(shù)的值域）；

（2）（相當(dāng)于原來函數(shù)的定義域）；

（3）；

即：相當(dāng)于內(nèi)的一個角，這個角的余弦值為。

反余弦：符合條件（）的角，叫做實(shí)數(shù)的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，由于，故為負(fù)值時，表示的是鈍角。

3．反正切定義：

反正切函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.

對于注意：

（1）（相當(dāng)于原來函數(shù)的值域）；

（2）（相當(dāng)于原來函數(shù)的定義域）；

（3）；

即：相當(dāng)于內(nèi)的一個角，這個角的正切值為。

反正切：符合條件（）的角，叫做實(shí)數(shù)的反正切，記作：。其中，。

例如：，，，

對于反三角函數(shù)，大家切記：它們不是三角函數(shù)的反函數(shù)，需要對定義域加以改進(jìn)后才能出現(xiàn)反函數(shù)。反三角函數(shù)的性質(zhì)，有興趣的同學(xué)可根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱這一特性，得到反三角函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)新教材的要求，這里就不再講了。

練習(xí)：

三．課堂練習(xí)：

例1．請說明下列各式的含義：

(1)；(2)；(3）；(4)。

解：（1）表示之間的一個角，這個角的正弦值為，這個角是；

（2）表示之間的一個角，這個角的正弦值為，這個角不存在，即的寫法沒有意義，與，矛盾；

（3）表示之間的一個角，這個角的余弦值為，這個角是；

（4）表示之間的一個角，這個角的正切值為。這個角是一個銳角。

例2.比較大小：（1）與；（2）與。

解：（1）設(shè)：，；，，

則，，

在上是增函數(shù)，，

，即。

（2）中小于零，表示負(fù)銳角，

中雖然小于零，但表示鈍角。

即：。

例3．已知：，，求：的值。

解：正弦值為的角只有一個，即：，

在中正弦值為的角還有一個，為鈍角，即：，

所求的集合為：。

注意：如果題目沒有特別說明，結(jié)果應(yīng)為準(zhǔn)確值，而不應(yīng)是近似值，書上均為近似值。

例4．已知：，，求：的值。

解：余弦值為的角只有一個，即：，

在中余弦值為的角還有一個，為第三象限角，即：，

所求的集合為：。

例5．求證：（）。

證明：，，設(shè)，，

則，即：，即：，

，，

，，即：。

例6．求證：（）。

證明：，，設(shè)，，

則，即：，即：（*），

，，

，，即：。

注意：（*）中不能用來替換，雖然符號相同，但，不能用反余弦表示。

第2篇：三角函數(shù)值范文

一、兩種定義方法的對比

1.“終邊定義法”是從映射的角度來開展三角函數(shù)定義的教學(xué)，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

在具體的教學(xué)實(shí)踐中，“終邊定義法”可以很好地幫助學(xué)生解決已知一個角的終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)來求這個角的三角函數(shù)值的問題。但是對誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)和記憶、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究而言不是那么方便。“比值”作為三角函數(shù)值，其意義不夠清晰，“從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要通過運(yùn)算才能得到，任意一個角所對應(yīng)的比值的唯一性（即與點(diǎn)的選取無關(guān)）也需要證明。以往的教學(xué)實(shí)踐表明，許多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不甚了解，與“終邊定義法”的這些問題不無關(guān)系。

2.“單位圓定義法”給學(xué)生理解三角函數(shù)帶來了一些變化

（1）由于單位圓定義法的直觀性，學(xué)生可以從定義中看到具體的、直接的自變量和函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，即：任意給定一個角α，其終邊與單位圓就有唯一的一個交點(diǎn)，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)定義為α的正弦函數(shù)，橫坐標(biāo)定義為α的余弦函數(shù)，這給學(xué)生理解三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系提供了極大的方便。

（2）在單位圓中，可以直接用弧長來度量任意角的大小，有利于學(xué)生理解三角函數(shù)是“數(shù)集到數(shù)集的對應(yīng)”。

（3）在“單位圓定義法”下，作三角函數(shù)圖像時，可以更直接地使用幾何取點(diǎn)作圖法。

（4）利用單位圓對稱性，并借助單位圓的幾何直觀效果可以讓學(xué)生更容易理解和記憶誘導(dǎo)公式。

（5）由于可以直接利用任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)討論三角函數(shù)的變化規(guī)律，所以學(xué)生對三角函數(shù)的性質(zhì)（特別是周期性、單調(diào)性、最值、對稱性）的理解更方便，記憶也更牢固。

二、兩種定義方法的有效結(jié)合

“單位圓定義法”與“終邊定義法”本質(zhì)上是一致的。正因?yàn)槿绱耍谈囊詠?，教科書在這個知識點(diǎn)上改來改去，最終兩種定義方法都采用。對于老師們熟悉的“終邊定義法”，北師大2014年7月第8版15頁例1中給出了更加直觀、方便學(xué)生理解的推導(dǎo)思路?？勺寣W(xué)生進(jìn)一步理解：正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。比值不會隨著點(diǎn)P在角的終邊上的位置的改變而改變，即對于確定的角a，三個比值都是唯一確定的。而這也恰恰說明了“以角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為‘比值’”是不失一般性的。而用“單位圓定義法”直截了當(dāng)、簡潔易懂，不需推導(dǎo)，就更突顯其好處了。

因此，在教學(xué)中我們既要重視單位圓的直觀性，又不忽視比值定義的意義；既注重函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，同時又不能忽視利用單位圓的直觀性來研究三角函數(shù)的性質(zhì)及在解題中的應(yīng)用。故在教學(xué)中教師要有效地利用好兩種定義法。

三、“單位圓定義法”可為我們提供解決問題的新思路

從這個解答過程可以看到，在掌握單位圓定義法后，不僅能夠順利地使用角與三角函數(shù)的對應(yīng)，而且能在單位圓的載體下建立起平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系，這對學(xué)生打開解題的思路有很大的幫助。

第3篇：三角函數(shù)值范文

例1 已知函數(shù)[f（θ）=sinθ-3cosθ][（0<θ<π4），]試求當(dāng)[tanθ]為何值時，函數(shù)取最小值.

解析 [f（θ）=-cos2θ-（3-sinθ）（-sinθ）cos2θ]

[=3sinθ-1cos2θ，]

令[f（θ）=0]，則[sinθ=13].

當(dāng)[sinθ>13]時，[f（θ）>0].

當(dāng)[sinθ<13]時，[f（θ）<0].

當(dāng)角[θ]滿足[sinθ=13]時，[f（θ）]最小.

點(diǎn)撥 本題角度也不是特殊角，沒有令[sinθ0=13]，而是直接作為整體，判斷出函數(shù)[f（t）]，也就是[f（sinθ）]在[（0，13）]上單調(diào)遞減，在[（13，22）]上單調(diào)遞增，從而求出函數(shù)的最小值.

例2 已知[f（α）=33-5cosαsinα]（[α∈（0，π2）]），試求當(dāng)角[α]的余弦值為何值時，函數(shù)取最小值.

解析 [f（α）=5-33cosαsin2α]，

令[cosα=t，|t|<1]，則[y=5-33t1-t2.]

令[y=0]得，[t=533].

當(dāng)[t<533]時，[y>0].

當(dāng)[t>533]時，[y<0].

[t=533]時，[y]取得最大.

[cosα]在[α∈（0，π2）]上是減函數(shù)，

當(dāng)[α]滿足[cosα=533]時，[f（α）]最小.

點(diǎn)撥 整體法有個易錯的地方，就是上面解法如果不添加“[cosα]在[α∈（0，π2）]上是減函數(shù)”這句話，不考慮內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，我們是不是就會得出當(dāng)[cosα=533]時，[f（cosα）]取最大呀？很明顯函數(shù)[f（t）]應(yīng)該在[（-1，533）]上單調(diào)遞增，在[（533，1）]上單調(diào)遞減，那么對函數(shù)[f（t）]來說，在[t=533]處只能取得極大值，而不是極小值，這就和題目要求的結(jié)果相悖.

事實(shí)上，這都是復(fù)合函數(shù)惹的禍，或者說就是余弦函數(shù)惹的禍.因?yàn)樽鳛閮?nèi)層函數(shù)[cosα]在[α∈（0，π2）]上是減函數(shù)，外層函數(shù)的單調(diào)性直接受到內(nèi)層函數(shù)的影響，所以當(dāng)角[α]滿足[cosα=533]時，[f（α）]取得最小.

換元之后再求導(dǎo)可減少運(yùn)算量

例3 求函數(shù)[y=sin2x+4sinx+32+sinx]最小值與最大值.

解析 設(shè)[t=2+sinx（1≤t≤3）]，

則[1+sinx=t-1]，[3+sinx=t+1].

[y=sin2x+4sinx+32+sinx=（sinx+1）（sinx+3）2+sinx]

=[（t-1）（t+1）t=t-1t]，[1≤t≤3].

求導(dǎo)，[y=1+1t2>0]，

故[y]在[t∈[1，3]]上是增函數(shù).

當(dāng)[t=1]時，[ymin=0].

當(dāng)[t=3]時，[ymax=83].

點(diǎn)撥 對于本題，我們要直接求導(dǎo)也不是不可以，但是稍微難了.而上面的解法先換元再求導(dǎo)，可以大大地降低運(yùn)算量.

以角度所在的區(qū)間作為函數(shù)單調(diào)區(qū)間

例4 已知[x]為銳角，求函數(shù)[y=63sinx+2cosx]的最值.

解析 因?yàn)閇y=63sinx+2cosx]，

所以[y=-63cosxsin2x+2sinxcos2x=2sin3x-63cos3xsin2xcos2x].

當(dāng)[y=0]時，解得[tan3x=33]，即[tanx=3].

又因?yàn)閇x]是銳角，所以[x=π3].

當(dāng)[0<x<π3]時，[y<0].

當(dāng)[π3<x<π2]時，[y>0].

函數(shù)[y]在[（0，π3）]上單調(diào)遞減，在[（π3，π2）]上單調(diào)遞增，

因此，當(dāng)[x=π3]時函數(shù)有最小值16，函數(shù)無最大值.

點(diǎn)撥 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般使用弧度制，在確定單調(diào)區(qū)間之后，便可以確定函數(shù)的極值點(diǎn)，從而確定三角函數(shù)的最值，這一點(diǎn)和一般函數(shù)并沒有二樣.

將角度直接作為三角函數(shù)式子的一部分

例5 某園林公司計劃在一塊[O]為圓心，[R]（[R]為常數(shù)）為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形[CMDC]區(qū)域用于觀賞樣板地，[ΔOCD]區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤是每平方米8元，草皮的利潤是每平方米3元.

[草皮地][花木地][觀賞樣板地][草皮地]

（1）設(shè)[∠COD=θ]，[CMD=l]，分別用[θ]，[l]表示弓形[CMDC]的面積[S弓=f（θ），S弓=g（l）];

（2）園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地，才能使總利潤最大？

解析 （1）[S扇=12R2θ]，[SΔOCD=12R2sinθ]，

[S弓=f（θ）=12R2（θ-sinθ）].

又[S扇=12Rl]，

[SΔOCD=12R2sinlR]，

[S弓=g（l）=12R（l-RsinlR）].

（2）設(shè)總利潤為[y]元，草皮利潤為[y1]元，花木地利潤為[y2]，觀賞樣板地成本為[y3.]

[y1=3（12πR2-12lR）]，[y2=12R2sinθ?8]，

[y3=12R（l-Rsinθ）?2]，

[y=y1+y2-y3=3（12πR2-12R2θ）+12R2sinθ?8-12R2（θ-sinθ）?2]

[=12R2[3π-（5θ-10sinθ）]].

設(shè)[g（θ）=5θ-10sinθ]， [θ∈（0，π）].

[g（θ）=5-10cosθ]， [g（θ）<0，cosθ>12，]

[g（θ）在θ∈（0， π3）]上為減函數(shù).

[g（θ）>0，cosθ<12，g（θ）在θ∈（π3，π）]上為增函數(shù).

當(dāng)[θ=π3]時，[g（θ）]取到最小值，此時總利潤最大.

所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計成[π3]時，總利潤最大.

點(diǎn)撥 一般來說，一個三角函數(shù)式中各個部分都應(yīng)是三角函數(shù)，但是本題卻部分出現(xiàn)了角度單列的現(xiàn)象. 其實(shí)不就是求導(dǎo)嗎？一個角度其實(shí)就是一個自變量[x]，單獨(dú)的[x]難道就不能求導(dǎo)了嗎？當(dāng)然本題要是寫成[g（x）=x-2sinx]或許你就會了吧？

“設(shè)而不求”應(yīng)對非特殊角極值點(diǎn)橫坐標(biāo)

例6 函數(shù)[y=sinθ（2cosθ+1）]在[[0，π3]]上取最大值時，[cosθ]的值.

解析 當(dāng)[0<θ<π3]時，求導(dǎo)得，

[y=cosθ2cosθ+1+sinθ-2sinθ=4cos2θ+cosθ-2.]

令[y=0]得，[cosθ=33-18].

記區(qū)間[（0，π3）]上余弦值等于[33-18]的角為[θ0]（惟一存在）.

列表如下：

[[θ]＼&[0， θ0]＼&[θ0]＼&[（θ0， π3）]＼&[y]＼&[+]＼&0＼&[-]＼&[y]＼&增函數(shù)＼&極大值＼&減函數(shù)＼&]

所以當(dāng)[θ=θ0]，即[cosθ=33-18]時，[y]取得最大.

點(diǎn)撥 本題和前面例題不同之處在于，極值點(diǎn)橫坐標(biāo)不是特殊的角度，不能直接表達(dá)單調(diào)區(qū)間.怎么辦？遇到此類情形，因?yàn)檫@個極值點(diǎn)是存在的，但是我們最終又不需要求出這個橫坐標(biāo)，只需要對應(yīng)的函數(shù)值，因此我們完全可以“設(shè)而不求”.

例7 求函數(shù)[f（θ）=3cosθ+2sinθ2+1]，[θ∈（0，π2）]取最大值時，[tanθ]的值.

解析 [f（θ）=-3sinθ+cosθ2]，

令[f（θ）=0，][sinθ2=16]，設(shè)[sinθ02=16，]

[f（θ）>0，][sinθ2<16]，[θ2<θ02]，即[0<θ<θ0].

[f（θ）<0，][sinθ2>16]，[θ2>θ02]，即[θ0<θ<π2].

函數(shù)[f（θ）]在[（0，θ0）]上單調(diào)遞增，在[（θ0，π2）]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)[f（θ）]在[θ=θ0]處取最大值.

此時[sinθ02=16，][tanθ02=135]，

[tanθ0=2tanθ021-tan2θ02=2351-135=3517.]

第4篇：三角函數(shù)值范文

1.向量的概念（能級要求：B）：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.

①零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；

②單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是±AB|AB|）；

③相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

④平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，

記作：a∥b，規(guī)定：零向量和任何向量平行.

⑤相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是-a.

2.向量的加減法及數(shù)乘運(yùn)算（能級要求：B）

（1）向量加法減法

幾何運(yùn)算：加法利用“平行四邊形法則”和“三角形法則”進(jìn)行；

符號運(yùn)算：AB+BC=AC和AB=OB-OA

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a±b=（x1±x2，y1±y2）.

（2）實(shí)數(shù)與向量的積：

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：

（1）|λa|=|λ||a|，（2）當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同，當(dāng)λ

3.向量的坐標(biāo)表示（能級要求：B）：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a=xi+yj=（x，y），稱（x，y）為向量a的坐標(biāo)，a=（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)表示.

如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.

4.平面向量的數(shù)量積（能級要求：C）：

（1）兩個向量的夾角：對于非零向量a，b，作OA=a，OB=b，∠AOB=θ（0≤θ≤π）稱為向量a，b的夾角（必須在同一起點(diǎn)），當(dāng)θ=0時，a，b同向，當(dāng)θ=π時，a，b反向，當(dāng)θ=π2時，a，b垂直.

（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：a·b，即a·b=|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不再是一個向量.

（3）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a，b，其夾角為θ，則：

①aba·b=0；

②當(dāng)a，b同向時，a·b=|a||b|，特別地，a2=a·a=|a|2，a2=|a|；

當(dāng)a與b反向時，a·b=-|a||b|；

當(dāng)θ為銳角時，a·b>0，且a、b不同向，a·b>0是θ為銳角的必要非充分條件；

當(dāng)θ為鈍角時，a·b

③非零向量a，b夾角θ的計算公式：cosθ=a·b|a||b|；

5.平面向量的平行和垂直（能級要求：B）

設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則

非空向量平行（共線）的充要條件：a∥ba=λb（a·b）2=（|a||b|）2x1y2-y1x2=0.

向量垂直的充要條件：aba·b=0|a+b|=|a-b| x1x2+y1y2=0

二、三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形基礎(chǔ)知識剖析

1.三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)線（能級要求：B）：

三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).

三角函數(shù)線的重要應(yīng)用：①比較三角函數(shù)值的大小；②解三角不等式；③圓的參數(shù)方程.

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（能級要求：B）：

（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1，（2）商數(shù)關(guān)系： tanα=sinαcosα.

主要應(yīng)用：①已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值，②化簡，③證明恒等式.

3.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（能級要求：B）：

（k2π+α）的本質(zhì)是奇變偶不變（對k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把α看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負(fù)角變正角，再寫成2kπ+α，0≤α

4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（能級要求：B）：

通過圖像來研究三個三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

5.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)（能級要求：A）：

（1）幾個物理量：A—振幅；f=1T—頻率（周期的倒數(shù)）；ωx+φ—相位；φ—初相；

（2）表達(dá)式的確定：A由最值確定， ω 由周期確定， φ由圖象上的特殊點(diǎn)確定.

（3）函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k的圖象與y=sinx圖象間的關(guān)系.

6.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式（能級要求：C）：

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ令α=βsin2α=2sinαcosα

cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ令α=βcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αcos2α=1+cos2α2

sin2α=1-cos2α2

tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ

令α=β tan2α=2tanα1-tan2α

7.三角形中的有關(guān)公式（能級要求：B）：

（1）正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R（R為三角形外接圓的半徑）.

（2）余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，cosA=b2+c2-a22bc等，

（3）面積公式：S=12aha=12absinC=12r（a+b+c）（其中r為三角形內(nèi)切圓半徑）.

（4）解三角形的類型：①已知兩角和一邊（正弦定理）；②已知三邊a、b、c（余弦定理）；③已知兩邊和夾角（如a、b、C），用余弦定理求c邊；再用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C=π，求另一角.④已知兩邊和其中一邊的對角：若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解的情況.

注：知識點(diǎn)中的能級要求來自《2012年高考數(shù)學(xué)考試說明》，其中A級為了解，B級為理解，C級為掌握.

三、典例分析

例1 下列命題中：① a·（b-c）=a·b-a·c；② a·（b·c）=（a·b）·c；

③ （a-b）2=|a|2-2|a|·|b|+|b|2；④ 若a·b=0，則a=0或b=0；

⑤若a·b=c·b，則a=c；⑥|a|2=a2；⑦a·ba2=ba；⑧（a·b）2=a2·b2；⑨（a-b）2=a2-2a·b+b2.其中正確的是

解析：正確命題的序號為①⑥⑨

注：本題考查的是向量的運(yùn)算法則，要注意與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則區(qū)別開來.

例2 如圖在等腰直角ABC中，點(diǎn)P是斜邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交直A線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若ABAM=m，ACAN=n，求mn的最大值.

解析：AP=12AB+12AC=12mAM+12nAN，

因?yàn)镸、P、N三點(diǎn)共線，故12m+12n=1，即m+n=2，

mn≤（m+n2）2=1，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時取等號.

注：本題考查的是向量共線定理和向量的表示，最后與不等式的最值，綜合求解.

例3 已知點(diǎn)P在ABC所在的平面內(nèi)，若2PA+3PB+4PC=3AB，則PAB與PBC的面積之比是 ；

解析：2PA+3PB+4PC=3AB2PA+4PC=3（AB+BP）=3AP，

即得4PC=5AP，故點(diǎn)P在線段AC上且4|PC|=5|AP|，

則PAB與PBC的面積之比是4∶5.

注：本題考查的是向量的符號運(yùn)算與線性表示.

例4 如圖放置的邊長為1的正方形DEFG的頂點(diǎn)D，G分別在RtABC的兩直角邊所在的直線上滑動，則CE·CF的最大值是

解析：CE·CF=（CD+DE）·（CG+GF）

=CD·CG+CD·GF+DE·CG+DE·GF

=0+CD·GF+DE·CG+1

=0+CD·DE+DE·CG+1=DE·（CD+CG）+1取DG的中點(diǎn)M，則

=2DE·CM+1=2|DE|·|CM|cosα+1=cosα+1≤2.

當(dāng)DE、CM同向時取“=”.

注：因?yàn)閿?shù)量積是C級要求，所以與數(shù)量積有關(guān)的問題難度往往較大.本題考查的是向量數(shù)量積的計算，轉(zhuǎn)化成已知基底的運(yùn)算.

例5 已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m=（a，b），

n=（sinB，sinA），p=（b-2，a-2）.

（1）若m∥n，求證：ABC為等腰三角形；

（2）若mp，邊長c=2，角C=π3，求ABC的面積.

解析：（1）m∥n，asinA=bsinB，即a·a2R=b·b2R，

其中R是三角形ABC外接圓半徑，a=b

ABC為等腰三角形.

（2）由題意可知m·p=0，即a（b-2）+b（a-2）=0，所以a+b=ab.

由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab 即（ab）2-3ab-4=0.

ab=4（舍去ab=-1）.

S=12absinC=12·4·sinπ3=3.

注：本題是三角和向量的綜合性題型，利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，和正余弦定理解決.

例6 在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b.

解析：在ABC中sinAcosC=3cosAsinC，則由正弦定理及余弦定理有：a·a2+b2-c22ab=3b2+c2-a22bc·c，化簡并整理得：2（a2-c2）=b2.又由已知a2-c2=2b4b=b2.解得b=4或b=0（舍）.

第5篇：三角函數(shù)值范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；網(wǎng)絡(luò)；新課標(biāo)

【中圖分類號】G633.7 【文章標(biāo)識碼】C 【文章編號】1326-3587（2014）03-0057-01

傳統(tǒng)的教育模式的教學(xué)方法、教學(xué)手段和教學(xué)評價已不能適應(yīng)社會發(fā)展和人們學(xué)習(xí)的需要，基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的學(xué)科教學(xué)和課堂評價的出現(xiàn)和普及，極大的豐富了教學(xué)改革的內(nèi)容，充分有效的利用了教學(xué)資源，基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的課堂教學(xué)與評價把文本、圖像、圖形、視頻、音頻、動畫整合在一起，并通過互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)行處理、控制傳播、為學(xué)生提供了最理想的學(xué)習(xí)環(huán)境。

一、基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的數(shù)學(xué)教學(xué)的含義

基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)需要，繼承傳統(tǒng)教學(xué)的合理成分，打破傳統(tǒng)教學(xué)模式，全天候，不間斷，因材施教的新型教學(xué)方法，教學(xué)與評價的信息在互聯(lián)網(wǎng)上傳輸與反饋，極大的優(yōu)化了教師群體，極大的豐富了學(xué)生的知識能力。

基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的教學(xué)，可以共享教學(xué)資源，傳遞多媒體信息，適時反饋學(xué)生學(xué)習(xí)情況，刺激學(xué)生不同的感官，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，擴(kuò)大了信息接受量，增大了課堂教學(xué)容量，同時又具有實(shí)時性，交互性，直觀性的特點(diǎn)大大豐富了課堂教學(xué)模式，同時又滿足了分層教學(xué)，因材施教，遠(yuǎn)程教學(xué)等社會需要，開創(chuàng)了教學(xué)的全新局面。

二、基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下數(shù)學(xué)教學(xué)與評價的應(yīng)用

基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下數(shù)學(xué)教學(xué)與評價有兩大優(yōu)點(diǎn)：

1、能做到圖文并茂，再現(xiàn)迅速，情境創(chuàng)設(shè)，感染力強(qiáng)，能突破時空限制，特別是基于.Net技術(shù)的交互式動態(tài)網(wǎng)頁更能提高學(xué)生的多種感官的感知效能，發(fā)揮個體的最大潛能和創(chuàng)造力，加快學(xué)生對知識的理解、接受和記憶，也最能體現(xiàn)新課標(biāo)的精神，也極大的滿足社會全民教育，終身教育的要求。

2、同時全體老師又能通過網(wǎng)絡(luò)共享教學(xué)資源，適時創(chuàng)新資源，使每一位老師都成為名師，使教學(xué)的方法水平永不落后。如在講授函數(shù)這部分內(nèi)容時，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的圖像以及圖像變換是重點(diǎn)內(nèi)容，關(guān)于函數(shù)圖像的傳統(tǒng)畫法，是通過師生列表，描點(diǎn)，連線而得，這些工作煩，靜止孤立，間斷的點(diǎn)和線。教師要自制每一節(jié)的課件難度大，時間又有限，而基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的數(shù)學(xué)教學(xué)，就可以充分利用網(wǎng)絡(luò)版課件，進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí)，從而化靜為動，化繁為簡，減輕教師的體力負(fù)擔(dān)，使教師有更多的時間進(jìn)行創(chuàng)新研究，同時讓學(xué)生在交互的動態(tài)的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下學(xué)習(xí)，函數(shù)值隨自變量變化而同步變化以及對應(yīng)運(yùn)動的軌跡，從而得到完整精確的函數(shù)圖像，通過交互學(xué)習(xí)讓學(xué)生充分體會同一函數(shù)不同參數(shù)與圖像特征之間的聯(lián)系，充分掌握函數(shù)的性質(zhì)和抓住圖像的平移、反射、壓縮、拉伸和對稱變換特征。若有疑問或好的見解，還可以通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行遠(yuǎn)程的交流互動。通過多媒體，交互反饋，使學(xué)生深刻理解，不易遺忘。也培養(yǎng)了學(xué)生自我學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)的能力。網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師教得輕松，也有更多的時間進(jìn)行個別指導(dǎo)，學(xué)生學(xué)得愉快。學(xué)得有趣，這樣數(shù)學(xué)教學(xué)的效率也提高了。

三、基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下數(shù)學(xué)教學(xué)突破教學(xué)難點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)中有一些知識需要通過抽象思維來解決問題，而這也正是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的教學(xué)可以化抽象為直觀，有利于突破難點(diǎn)。

如“二次函數(shù)即：y=ax2+bx+c（a≠0）在[m，n]上的最值的探討，學(xué)生對二次函數(shù)的開口，對稱軸移而區(qū)間不動或圖像不動而區(qū)間變化時函數(shù)的最值”不易理解，在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，學(xué)生通過對網(wǎng)絡(luò)課件的閱讀和對a，b，c，m，n的動態(tài)控制，能深刻理解數(shù)學(xué)知識的要點(diǎn)，加上在網(wǎng)上的即時測試和評價，更能有效的掌握它，不再感到難以理解。

四、基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的數(shù)學(xué)教學(xué)與評價形式多樣化，即時化

傳統(tǒng)的教學(xué)形式是教師講，學(xué)生聽，這樣教學(xué)方式課堂容量有限，反饋方式單調(diào)，信息交流少，所有的學(xué)生步伐相同不利于因材施教，不利于培養(yǎng)學(xué)生現(xiàn)代的終身的學(xué)習(xí)能力，同時不能解放教師，讓教師從事更有意義的教育工作。而網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的教學(xué)可以同時滿足不同用戶不同要求，培養(yǎng)活學(xué)活用的能力，真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)以學(xué)生為中心，教學(xué)面向全體通過互聯(lián)交流互聯(lián)互動進(jìn)行分層教學(xué)、個別教學(xué)實(shí)現(xiàn)因材施教，體現(xiàn)新課標(biāo)的要求。

五、基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)處理好的關(guān)系

（1）網(wǎng)絡(luò)與學(xué)生的關(guān)系。和諧是教學(xué)成功的關(guān)鍵。實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的學(xué)科教學(xué)，應(yīng)加強(qiáng)對互聯(lián)網(wǎng)海量信息的搜索，篩選，加工，創(chuàng)新。在選好教育資源后，教師要努力探索適時、適用問題，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，營造和諧的環(huán)境。加上學(xué)生對網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用知識基本掌握，達(dá)到網(wǎng)絡(luò)與人的和諧統(tǒng)一。

（2）網(wǎng)絡(luò)與教師的關(guān)系?；诰W(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的學(xué)科教學(xué)優(yōu)勢空前，實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，只有網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的教學(xué)與教師靈活生動的講解和創(chuàng)新的適時評價互相配合，相互促進(jìn)，協(xié)調(diào)傳遞信息，最大限度地發(fā)揮網(wǎng)絡(luò)和教師的優(yōu)勢。

（3）教師與學(xué)生的關(guān)系。教為主導(dǎo)，學(xué)為主體，這是在任何教學(xué)模式中都應(yīng)遵循的原則，要體現(xiàn)學(xué)生的主體發(fā)展與教師的主導(dǎo)相互作用的關(guān)系。專題教學(xué)網(wǎng)站和網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源庫的形成，即將教師從繁雜的重復(fù)勞動中解放出來了，但教師的主導(dǎo)作用不是減弱了而是加強(qiáng)了，網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的教學(xué)，對教師提出了更高的要求，教師必須擠出大量的時間學(xué)習(xí)Windows，Authorwear，3Dmax，F(xiàn)lash等方面的知識，還要學(xué)會搜索，篩選，創(chuàng)新信息的能力，甚至包括各種電教媒體的操作技能和技巧，只有這樣，才能使自己在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的學(xué)科教學(xué)中獲得自由，掌握主動，充分發(fā)揮網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的優(yōu)勢，提高我國的教育教學(xué)質(zhì)量。

【參考文獻(xiàn)】

第6篇：三角函數(shù)值范文

【關(guān)鍵詞】三角復(fù)合函數(shù)；分解函數(shù)法；中學(xué)教學(xué)

三角函數(shù)形成的復(fù)合函數(shù)的最值的探究是歷年高考命題的一個熱點(diǎn)，筆者認(rèn)為：若y是x的復(fù)合函數(shù)求最值，首先可引入中間變量，寫出組成復(fù)合函數(shù)的基本函數(shù)，即把復(fù)合函數(shù)分解為幾個基本函數(shù)；其次由x的取值范圍求出中間變量的取值范圍，由中間變量的取值范圍求出y的取值范圍；最后根據(jù)y的取值范圍直接寫出原函數(shù)最值.這種求其復(fù)合函數(shù)最值的方法簡單易行，筆者把它命名為分解函數(shù)法.

例1（2014?天津）已知函數(shù)f（x）=cosx?sinx+π3-3cos2x+34，x∈R.

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間-π4，π4上的最大值和最小值.

解f（x）=cosx?sinx+π3-3cos2x+34=cosx?12sinx+32cosx-3cos2x+34

=12sinxcosx-32cos2x+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.

（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）設(shè)y=12u，u=sinv，v=2x-π3，

因?yàn)?π4≤x≤π4，所以-5π6≤v≤π6，從而-1≤u≤12，于是-12≤y≤14，

因此，f（x）在閉區(qū)間-π4，π4上的最大值為14，最小值為-12.

點(diǎn)評在（Ⅱ）中，求三角函數(shù)形成的復(fù)合函數(shù)f（x）的最值時，引入了中間變量u，v

把復(fù)合函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為三個基本函數(shù)的值域問題加以解決.這種方法充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美、奇異美及轉(zhuǎn)化思想，具有很強(qiáng)的操作性.

例2（2014?江西）已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-π2，π2.

（Ⅰ）當(dāng)a=2，θ=π4時，求f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；

（Ⅱ）若fπ2=0，f（π）=1，求a，θ的值.

解（Ⅰ）當(dāng)a=2，θ=π4時，

f（x）=sinx+π4+2cosx+π2=22（sinx+cosx）-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x

設(shè)y=sinu，u=π4-x，

因?yàn)?≤x≤π，所以-3π4≤u≤π4，于是-1≤y≤22，

因此，f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值為22，最小值為-1.

（Ⅱ）由θ∈-π2，π2，得cosθ≠0，

由fπ2=0，得cosθ（1-2asinθ）=0，1-2asinθ=0，即sinθ=12a，①

由f（π）=1，得2asin2θ-sinθ-a=1，②

聯(lián)立①②，結(jié)合a∈R，θ∈-π2，π2，解得a=-1，θ=-π6.

點(diǎn)評該例（Ⅰ）中，函數(shù)f（x）實(shí)際上是三；角函數(shù)形成的復(fù)合函數(shù)，求其最值時，采

第7篇：三角函數(shù)值范文

王小麗

（禮泉縣第二中學(xué)，陜西  咸陽  713200）

摘  要：對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的考查，是近幾年高考的熱點(diǎn)，不僅有主觀題，還有客觀題?？陀^題常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，往往涉及參數(shù)問題。此類問題對學(xué)生來講，有一定難度，就此總結(jié)幾種常見做法。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；性質(zhì)；參數(shù)

一、根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求解參數(shù)

例1：已知f(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)為偶函數(shù)，則φ可以取的一個值為(

)

A.π6

B.π3

C．－π6

D．－π3

解析：f(x)＝

212cos(3x＋φ)－32sin(3x＋φ)

＝2cos(3x＋φ)＋π3＝2cos3x＋φ＋π3，則由f(－x)＝f(x)恒成立，得2cos－3x＋φ＋π3＝2cos3x＋φ＋π3恒成立，利用兩角和的余弦公式展開并整理，得sin(3x)sinφ＋π3＝0恒成立，而x∈R，故sinφ＋π3＝0恒成立，由所給選項(xiàng)，只有D適合．

答案：D

點(diǎn)評：求解三角函數(shù)的奇偶性的參數(shù)問題還可利用下列結(jié)論進(jìn)行簡解：函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)為奇函數(shù)⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)且B＝0，為偶函數(shù)⇔φ＝kπ(k∈Z)．

例2：已知存在實(shí)數(shù)ω，φ(其中ω≠0，ω∈Z)使得函數(shù)f(x)＝2cos (ωx＋φ)是奇函數(shù)，且在0，π4上是增函數(shù)，試求出所有符合題意的ω與φ的值．

解：由f(x)為奇函數(shù)，知f(－x)＝－f(x)，

2cos (－ωx＋φ)＝－2cos(ωx＋φ)．

4cos ωx•cos φ＝0.又x∈R，cos φ＝0.

解得φ＝kπ＋π2，k∈Z.

當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，f(x)＝2cos ωx＋2nπ＋π2＝2sin (－ωx)為奇函數(shù)，f(x)在0，π4上是增函數(shù)，ω<0.由－π2≤－ωx≤π2⇒π2ω≤x≤－π2ω，又f(x)在0，π4上是增函數(shù)，故有0，π4⊆π2ω，－π2ω，π4≤－π2ω，－2≤ω<0，且ω∈Z，ω＝－1或－2，故ω＝－1或－2，φ＝2nπ＋π2，n∈Z.

當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，

f(x)＝2cos ωx＋(2n＋1)π＋π2＝2sin ω x為奇函數(shù)，由于f(x)在0，π4上是增函數(shù)，ω>0.由－π2≤ωx≤π2⇒－π2ω≤x≤π2ω，又f(x)在0，π4上是增函數(shù)，故有0，π4⊆－π2ω，π2ω，π4≤π2ω，0<ω≤2，且ω∈Z，ω＝1或2，故ω＝1或2，φ＝(2n＋1)π＋π2，n∈Z.

所有符合題意的ω與φ的值為

ω＝－1或－2，φ＝2nπ＋π2，n∈Z，或ω＝1或2，φ＝(2n＋1)π＋π2，n∈Z.

小結(jié)：三角函數(shù)是奇函數(shù)時，最后的結(jié)果都可以化為y＝Asin ωx，y＝Atan ωx的形式，三角函數(shù)是偶函數(shù)時，最后的結(jié)果都可以化為y＝Acos ωx的形式．在研究該類三角函數(shù)的單調(diào)性時，一定要注意A，ω的正負(fù)對單調(diào)性的影響．當(dāng)已知函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增時，這個區(qū)間必須是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的子區(qū)間．

二、根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)

例3：已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間為kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)，則ω的值為________．

解析：由題意，得kπ＋7π12－kπ－5π12＝π，即函數(shù)f(x)的周期為π，則ω＝2.

答案：2

小結(jié)：解答此類題要注意單調(diào)區(qū)間的給出方式，如：“函數(shù)f(x)在kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)上單調(diào)遞增”與“函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)”，二者是不相同的．

三、根據(jù)三角函數(shù)的周期性求解參數(shù)

例4：若函數(shù)y＝sin ωxsinωx＋π2的最小正周期為π7，則ω＝________.

解析：由題意，得y＝sin ωxsinωx＋π2＝sin ωx•cos ωx＝12sin 2ωx，由T＝2π|2ω|＝π7，得ω＝±7.

答案：±7

小結(jié)：解題時要注意x的系數(shù)ω是否規(guī)定了符號，若無符號規(guī)定，利用周期公式時須加絕對值．

例5：如圖所示為函數(shù)f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖像，其中| |＝5，那么ω和φ的值分別為(

)

A．ω＝π6，φ＝π3

B．ω＝π3，φ＝π3

C．ω＝π3，φ＝π6

D．ω＝6，φ＝π6

解析：函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝2πω，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)之差為πω，縱坐標(biāo)之差為4，所以　πω2＋42＝5，故πω＝3，所以ω＝π3.由f(0)＝1，得cos φ＝12，又0≤φ≤π，故φ＝π3.

答案：B

小結(jié)：函數(shù)f(x)＝Asin (ωx＋φ)，f(x)＝Acos(ωx＋φ)圖像上一個最高點(diǎn)和它鄰近的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值是函數(shù)的半周期πω，縱坐標(biāo)之差的絕對值是2A.在解決由三角函數(shù)圖像確定函數(shù)解析式的問題時，要注意使用好函數(shù)圖像顯示出來的函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖像上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)及兩個坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)等．

四、根據(jù)三角函數(shù)的最值求解參數(shù)

例6：若函數(shù)f(x)＝asin x－bcos x在x＝π3處有最小值－2，則常數(shù)a，b的值是(

)

A．a(chǎn)＝－1，b＝3

B．a(chǎn)＝1，b＝－3

C．a(chǎn)＝3，b＝－1  D．a(chǎn)＝－3，b＝1

解析：f(x)＝a2＋b2sin(x－φ)(其中cos φ＝aa2＋b2，sin φ＝ba2＋b2)，

則－a2＋b2＝－2，fπ3＝32a－12b＝－2，解得a＝－3，b＝1.

答案：D

第8篇：三角函數(shù)值范文

關(guān)鍵詞 三角函數(shù) 最值 思維方法

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function

ZHANG Jianlu

（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）

Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.

Key words Trigonometric function； the most value； thinking method

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。三角函數(shù)是函數(shù)的一種重要的函數(shù)，三角函數(shù)的最值問題包括了對三角函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式、兩角和差以及倍角公式的考查，是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用，一直是高考命題的熱點(diǎn)。我們從以下六個方面舉例介紹求三角函數(shù)的最值。

1 將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函數(shù)的最值

求三角函數(shù)的最值問題的主要依據(jù)就是正弦、余弦函數(shù)的值域。求三角函數(shù)的最值時，常常通過恒等變換，使它轉(zhuǎn)化為反含同名函數(shù)的各項(xiàng)。而恒等變換，一般要綜合運(yùn)用同角三角函數(shù)間的關(guān)系、和角、半角、半角的三角函數(shù)及和差化積、積化和差公式等轉(zhuǎn)化為 = （ + ） + 的形式，只要能轉(zhuǎn)化，問題就迎刃而解。

求 = + 的最值。

解： = （ + ）（ + ）

= （ + ）23 = 1

= 1 （1 ） = +

當(dāng) = （）時 = 1，當(dāng) = + （）時 = 。

2 應(yīng)用平均值定理求最值

求函數(shù) = （為銳角）的最大值。

解： = >0

= = 4·≤4（）3 =

當(dāng) = ，即 = 時， = 。

應(yīng)用平均值定理求函數(shù)最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通過分析將 （）放大或縮小成一個常數(shù)，這就是求最值的基本思維方法——放縮法，平均值定理是放縮法的一種極好手段。

3 應(yīng)用二次函數(shù)判別式求最（極）值

求 = （，，其中為三角形內(nèi)角）的最大值。

解：原函數(shù)化為 = [ ]

+ 2 = 0

= 8 ≥0 ≤≤

當(dāng) = 時， = = ，

所以當(dāng) = = 時， = 。

此題也可用放縮法解

= · ≤

= - （ ）2 + ≤。

注意在用放縮法時，等號必須成立。

4 應(yīng)用函數(shù)的有界性

求 = 的值域。

解：由已知得：（） + （） = ——①

令 = ， =

①式化為 （ + ） =

∣∣≤

解得≤ - 或≥1，所求值域?yàn)椋ǎ? ]∪[1，）。

5 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性

已知 = + ， （0，），求的最小值。

解：令 = = ，則（0，）。 = + 。

6 利用數(shù)形結(jié)合

求函數(shù) = 的最值。

圖1

解：原函數(shù)變形為 = 這可看作點(diǎn)（）和（-2，0）的直線的斜率，而是單位圓 + = 1上的動點(diǎn)，由圖1可知，過（-2，0）作圓的切線時，斜率有最值，由幾何性質(zhì)得 = ， = - 。

前面介紹了六種常見的求三角函數(shù)最值的思維方法，但在解題中并不固定于一種方法。如

求 = 的極值，用什么方法好呢？

解：

方法一：原式化為（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。顯然≠，所以用 求出最小值。

方法二：用第一種方法化為 = （ + ） + 的形式，

原式化為 = + · = 0時， = 8。

當(dāng) = 1時， = 4。

第9篇：三角函數(shù)值范文

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)最值 配方轉(zhuǎn)化 有界性轉(zhuǎn)化 單調(diào)性轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)這一章節(jié)，在近幾年高考中，已逐步拋棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函數(shù)最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，難度不大.

下面介紹幾種常見的三角函數(shù)最值的求解策略.

1.配方轉(zhuǎn)化

經(jīng)轉(zhuǎn)化，最后化歸為二次函數(shù)的三角函數(shù)最值問題，稱為二次函數(shù)型.閉區(qū)間上的二次函數(shù)一定存在最大值、最小值，這是求解二次函數(shù)型三角最值得主要依據(jù).對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數(shù)最值問題，可看作是sinx或cosx的二次函數(shù)最值問題，常常利用配方轉(zhuǎn)化策略來解決.

二次函數(shù)的對稱軸不在t∈[-1，1]的范圍內(nèi)，且二次項(xiàng)系數(shù)a>0，其圖象開口向上，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知當(dāng)t=-1，ymin=-6；當(dāng)t=1，ymax=4.

感悟：這類問題在求解中，要注意三個方面的問題：其一要將三角函數(shù)準(zhǔn)確變形為sinx或cosx的二次函數(shù)的形式， 可以采用換元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，運(yùn)用二次函數(shù)配方的技巧正確配方，易錯在二次項(xiàng)系數(shù)，如本題中二次項(xiàng)系數(shù)是-2，對應(yīng)二次函數(shù)開口向下，配方過程中要先提出負(fù)號；其三要把握三角函數(shù)sinx或cosx的范圍，注意觀察二次函數(shù)對稱軸與換元后變量的范圍的關(guān)系.值得注意的是，當(dāng)變量x有一定范圍時，更要注意換元量t的范圍，防止出錯.

2.有界性轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)尤其正弦、余弦是一種有界函數(shù)，其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數(shù)能夠通過三角恒等變換，結(jié)合正余弦的兩角和差公式，升降冪公式和二倍角公式，對所給的式子化簡為形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常?？梢岳萌呛瘮?shù)的有界性，在變量x沒有特定范圍的情況下，其值域?yàn)閇-A，A]求解其最值.這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一.

感悟：求解這類問題的關(guān)鍵是先將所給的三角函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)問題，然后利用三角函數(shù)的有界性求其最值.針對高考中題目看，還要強(qiáng)化變角訓(xùn)練，如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個角的三角函數(shù)關(guān)系式，這也是高考的重點(diǎn).由此題可見，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的有界性，能使問題的求解直接明了！