數(shù)學建模經(jīng)典算法精選(九篇)
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第1篇：數(shù)學建模經(jīng)典算法范文
【關(guān)鍵詞】數(shù)學建模；水文預報；水資源規(guī)劃
中圖分類號：TV12 文獻標識碼：A 文章編號：1006-0278（2013）07-202-01
近半個多世紀以來，隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學的應用不僅在工程技術(shù)、自然科學等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經(jīng)濟、金融、生物、醫(yī)學、環(huán)境、地質(zhì)、人口、交通等新的領(lǐng)域滲透，所謂數(shù)學技術(shù)已經(jīng)成為當代高新技術(shù)的重要組成部分。不論是用數(shù)學方法在科技和生產(chǎn)領(lǐng)域解決哪類實際問題，還是與其它學科相結(jié)合形成交叉學科，首要的和關(guān)鍵的一步是建立研究對象的數(shù)學模型，并加以計算求解。人們常常把數(shù)學建模和計算機技術(shù)在知識經(jīng)濟時代的作用比喻為如虎添翼。
數(shù)學建模在水文與水資源工程專業(yè)中更是發(fā)揮著重要的作用，尤其是在水文預報和水資源規(guī)劃方面。
一、數(shù)學建模的介紹
（一）數(shù)學建模概述
數(shù)學建模是在20世紀60和70年代進入一些西方國家大學的，我國清華大學、北京理工大學等在80年代初將數(shù)學建模引入課堂。經(jīng)過20多年的發(fā)展現(xiàn)在絕大多數(shù)本科院校和許多?？茖W校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學建模課程和講座，為培養(yǎng)學生利用數(shù)學方法分析、解決實際問題的能力開辟了一條有效的途徑。數(shù)學建模是一種數(shù)學的思考方法，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數(shù)學手段。
（二）數(shù)學建模的應用
數(shù)學建模應用就是將數(shù)學建模的方法從目前純競賽和純科研的領(lǐng)域引向商業(yè)化領(lǐng)域，解決社會生產(chǎn)中的實際問題，接受市場的考驗。可以涉足企業(yè)管理、市場分類、經(jīng)濟計量學、金融證券、數(shù)據(jù)挖掘與分析預測、物流管理、供應鏈、信息系統(tǒng)、交通運輸、軟件制作、數(shù)學建模培訓等領(lǐng)域，提供數(shù)學建模及數(shù)學模型解決方案及咨詢服務，是對咨詢服務業(yè)和數(shù)學建模融合的一種全新的嘗試。
（三）數(shù)學建模十大算法
1.蒙特卡羅算法，該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性。2.數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法，通常使用Matlab作為工具。3.線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題，通常使用Lindo、Lingo軟件實現(xiàn)。4.圖論算法，這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決。5.動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法。6.最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現(xiàn)比較困難，需慎重使用）7.網(wǎng)格算法和窮舉法，網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點的算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。8.一些連續(xù)離散化方法，很多問題都是實際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計算機只認的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要。9.數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫函數(shù)進行調(diào)用）。10.圖象處理算法。
二、數(shù)學建模在水文與水資源中的應用
（一）數(shù)學建模在水資源規(guī)劃中的應用
全國水資源綜合規(guī)劃的目的是為我國水資源可持續(xù)利用和管理提供規(guī)劃基礎(chǔ)，要在進一步查清我國水資源及其開發(fā)利用現(xiàn)狀、分析和評價水資源承載能力的基礎(chǔ)上，根據(jù)經(jīng)濟社會可持續(xù)發(fā)展和生態(tài)環(huán)境保護對水資源的要求，提出水資源合理開發(fā)、優(yōu)化配置、高效利用、有效保護和綜合治理的總體布局及實施方案，促進我國人口、資源、環(huán)境和經(jīng)濟的協(xié)調(diào)發(fā)展，以水資源的可持續(xù)利用支持經(jīng)濟社會的可持續(xù)發(fā)展。
（二）數(shù)學模型在水文預報中的應用
水文預報是水文學為經(jīng)濟和社會服務的重要方面，特別是對災害性水文現(xiàn)象做出預報，對綜合利用大型水利樞紐做出短期、中期和長期的預報，作用很大。中國已開展預報服務的項目有：洪水水位與流量、枯水水位與流量、含沙量、各種冰情、水質(zhì)等。
水文預報的方法，在產(chǎn)流方面常用降雨徑流相關(guān)圖，在匯流方面常用單位線?，F(xiàn)在的發(fā)展方向是應用流域水文模型，根據(jù)流域上實測的降雨或降雪資料預報流域出口的流量過程。
在實際應用中，通過建立模型并求解，做出短期或中長期的預報，對防洪、抗旱、水資源合理利用和國防事業(yè)中有重要意義。
第2篇：數(shù)學建模經(jīng)典算法范文
【關(guān)鍵詞】 數(shù)學建模； 案例教學法； 創(chuàng)新能力
近年來，隨著概率論、數(shù)理統(tǒng)計、拓撲學、圖論、矩陣和矢量代數(shù)、模糊數(shù)學等一系列數(shù)學理論和方法的建立，數(shù)學生理學、數(shù)學生物物理學、數(shù)理流行病學、藥物動力學、數(shù)理診斷學等一批數(shù)理醫(yī)藥學迅速崛起。數(shù)學在醫(yī)藥學上的地位日益重要，在醫(yī)藥學方面的應用更加廣泛。因此，培養(yǎng)醫(yī)藥類大學生應用數(shù)學的意識和能力已經(jīng)成為數(shù)學教學的一個重要方面。
數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學與實際問題的橋梁，是數(shù)學在各個領(lǐng)域廣泛應用的媒介，越來越受到人們的普遍重視。為了培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次科技人才，數(shù)學建模已經(jīng)在大學教育中逐步開展，越來越多的大學正在進行數(shù)學建模課程的教學和參加開放性的數(shù)學建模競賽，并將數(shù)學建模教學和競賽作為高等院校的教學改革和培養(yǎng)高層次的科技人才的重要方面。我校近年來在學校有關(guān)領(lǐng)導的大力支持下，組織學生參加了全國大學生數(shù)學建模競賽，取得了一定的成績，并開設(shè)了數(shù)學建模選修課，加大了對學生應用數(shù)學的意識和能力的培養(yǎng)。本研究主要就醫(yī)藥類大學生數(shù)學建模選修課程的教學方法及如何將數(shù)學建模思想融入平時高等數(shù)學課堂教學中做一些探討。
1 數(shù)學建模課程特點
一方面數(shù)學建模雖然具有很強的應用性、趣味性和挑戰(zhàn)性，但往往涉及知識面廣，需要的數(shù)學基礎(chǔ)知識較多，相對難度較大，需要付出很多時間和精力。而當代大學生多數(shù)是家庭的獨生子女，不能吃苦，自我約束能力差，遇困難易退縮。因此學生一開始可能會被數(shù)學建模的這種趣味性和實用性吸引而產(chǎn)生興趣，但隨著學習中遇到各種困難就會產(chǎn)生畏難情緒，后續(xù)學習的動力不足。
另一方面從數(shù)學建模的思維過程來看，數(shù)學建模是一個開放性的過程。數(shù)學建模要對復雜的實際問題通過合理的假設(shè)、抽象、然后用數(shù)學語言近似刻畫實際問題，這種刻畫的數(shù)學表達就是一個數(shù)學模型。得到數(shù)學模型后，利用一定的技術(shù)手段求解，并建立一定的模型自身評價方法，將得到的結(jié)果放到實際中進行檢驗，如果結(jié)果與實際情況不符還要修改模型，重復上述建模過程以達到符合實際要求的目的。從事某個問題的數(shù)學建模，實際上就是從事一項準科研活動。由于數(shù)學建模的解答過程、解答工具及結(jié)果都是開放的， 它突破了以往以教室、教師、教材為中心的狀況， 極大地調(diào)動了學生的積極性，加強了學生的動手能力，培養(yǎng)了學生對實際問題的數(shù)學抽象能力、借助于計算機獲得信息的能力、團隊合作的能力、以及學生個體本身的想象力、洞察力、邏輯推理能力和發(fā)散思維能力等， 多方位地提高了學生的素質(zhì)。
數(shù)學建模課程的這兩方面的特點決定了數(shù)學建模的教學方法一方面要增強學生對數(shù)學建模的持久興趣，另一方面要在這個開放的教學過程中對學生進行合理的引導，讓其真正融入建模過程之中，提高其綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力。
2 數(shù)學建模的教學方法
根據(jù)數(shù)學建模的特點，可以看出，案例教學法是一種比較合適的教學方法。案例教學法是在教師的指導下，根據(jù)教學目標和內(nèi)容的需要，采用案例組織學生進行學習、研究、鍛煉能力的方法。它能創(chuàng)設(shè)一個良好的寬松的教學實踐情景，把真實的典型問題展現(xiàn)在學生面前，讓他們設(shè)身處地去思考、去分析、去討論，對于激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)創(chuàng)造能力及分析、解決問題的能力極有益處。這是一種具有啟發(fā)性、實踐性，能開發(fā)學生思維能力，提高學生判斷能力、決策能力和綜合素質(zhì)的新型教學方法。案例教學不但豐富了教學內(nèi)容，而且克服了傳統(tǒng)教學模式只注重知識傳播，忽視實際應用的弊端。在使用案例教學法進行教學過程中應該注意以下幾個方面的內(nèi)容。
2.1 注重精選案例
案例教學法要想達到好的效果必須精選一些經(jīng)典案例。選擇的案例要具有鮮明的教學目的性、趣味性、高度的擬真性以及代表性和廣泛性。在日常教學中，可有針對性的搜集和積累與日常生活息息相關(guān)或者與本專業(yè)相關(guān)的典型案例。一、案例源于現(xiàn)實貼近實際容易引起學生興趣和共鳴；二、案例結(jié)合學生專業(yè)，可以開發(fā)學生專業(yè)科研的潛力，培養(yǎng)科研能力，為學生將來的專業(yè)發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。結(jié)合我校學生的醫(yī)藥學專業(yè)背景，在講授微分方程模型時可選藥物動力學房室模型作為典型案例，講授統(tǒng)計回歸模型時選取藥物療效預測模型作為典型案例，講授聚類分析以及判別分析模型時選取中藥復方指紋圖譜的研究模型等等，要使學生體會到要解決很多醫(yī)藥學中的實際問題或者進行更高更深層次的醫(yī)藥學研究都必須用到數(shù)學知識和數(shù)學方法。三、還應該考慮到學生學習的特點，選取的案例由簡單到復雜逐步加大難度。
2.2 教學過程中要凸現(xiàn)學生主體地位和團隊的作用
在案例講解過程中堅持教師主導地位和學生主體地位相結(jié)合。每次講解案例由教師提出問題，介紹問題背景，便把主動權(quán)交給學生，由學生作為主體共同分析探討解決問題的方法。教師通過引導、點撥、啟迪等方式對學生進行指導。將學生引入到案例設(shè)定的環(huán)境之中，充分發(fā)揮學生個體的創(chuàng)造力，增強學生本身對整個建模過程的切身體會，即使在講解一些已經(jīng)很成熟的經(jīng)典案例的時候，也要充分再現(xiàn)模型建立的思維過程，讓學生精神層面充分感受到參與數(shù)學建模的愉悅感和克服困難、解決問題后的成就感，體會到科學研究的真諦和樂趣，鞏固與提高學生個體對數(shù)學建模持久的興趣。另外，在開課時就讓學生自主組合成許多建模小隊，在課堂教學的案例討論中以及課后作業(yè)都以建模團隊協(xié)作的形式完成，最后由各自團隊選出的代表發(fā)表對模型的認識及解決問題的方法等。這樣，一方面，可以鍛煉學生團隊協(xié)作的能力，另一方面鍛煉了學生的交流表達能力和正確認識與評價自我和他人的能力。還有，無論在平時課堂教學還是作業(yè)講解過程中，給予學生更寬闊的思維想象空間，對于學生哪怕很小的創(chuàng)新點都要給予整個團隊充分的肯定與鼓勵，讓學生個體精神層面體會到自己對于整個團隊的重要性，增強其自信心，同時，讓團隊的其他隊員產(chǎn)生團隊自豪感以及充分發(fā)揮自己創(chuàng)造力，為團隊爭光的榮辱意識，也就增強了整個團隊的凝聚力、協(xié)作能力及整體創(chuàng)新的能力。
2.3 注重軟件實現(xiàn)過程
建立模型之后需要根據(jù)建立的模型進行問題求解，一般都是通過計算機軟件實現(xiàn)的，求解的精確程度直接影響著對模型的判斷，因此建模過程中要切實注重這個環(huán)節(jié)。在經(jīng)典案例講解時要詳細的給學生演示軟件求解的過程，尤其對于求解編程的思想方法、具體算法和實現(xiàn)方法重點講述，讓學生能夠領(lǐng)會處理問題用到的思想方法，從而應用到自己的實際練習中，結(jié)合相應軟件的學習，最終能夠?qū)⒆约旱乃枷敕椒ㄟ\用到編程中求解得到結(jié)果。在計算機軟件選擇上，鼓勵學生針對不同的內(nèi)容學習多種軟件的使用方法，如微分方程模型采用Mathematical或Matlab，規(guī)劃模型里采用運籌學軟件Lindo或Lingo，統(tǒng)計模型里采用SPSS或SAS等等。實際上，無論使用哪種軟件，只要能夠解決問題就行，不同的軟件只是實現(xiàn)方法不同，但解決問題的思想、算法還是依賴于使用者本身。要求學生至少要精通一種軟件，能夠利用該軟件實現(xiàn)問題的求解。
當學生利用計算機軟件實現(xiàn)自己的思想方法，得到問題的結(jié)果時，自然而然產(chǎn)生自我成就感，從而為繼續(xù)進行下去，克服困難提供更大的動力和更濃厚的興趣，從而能夠真正把自己融入到數(shù)學建模之中，發(fā)揮學生的創(chuàng)造力。
2.4 注重課堂教學與實驗教學、數(shù)學建模競賽的聯(lián)系
數(shù)學建模課程本身就與數(shù)學實驗、數(shù)學建模競賽有著密不可分的關(guān)系，數(shù)學實驗側(cè)重建模過程中的軟件實現(xiàn)過程，數(shù)學建模競賽是對課程學習情況有效的檢驗。在該課程的開始便向?qū)W生簡單介紹數(shù)學建模競賽的相關(guān)知識，并在后期加入歷年數(shù)學建模競賽的案例，鼓勵學生積極參加全國大學生數(shù)學建模競賽和美國大學生數(shù)學建模競賽。根據(jù)我校參加全國大學生數(shù)學建模競賽的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：通過參加競賽，不論是否獲獎，參加比賽的同學收獲都非常大，不但知識水平和綜合能力上了一個新臺階，而且創(chuàng)新能力得到了提升，并且在科學研究方面受到了初步的訓練，為今后的畢業(yè)設(shè)計，畢業(yè)論文以及畢業(yè)后從事各方面的工作打下了堅實的基礎(chǔ)。
3 將數(shù)學建模的思想融入高數(shù)等課程的教學活動之中
數(shù)學建模有力的增強了學生應用數(shù)學的意識和能力，在現(xiàn)代高等數(shù)學教學改革中起著重要的作用。將數(shù)學建模的思想融入到高等數(shù)學的教學活動中，對于推動高等教育教學改革，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力，貫徹素質(zhì)教育的思想，都有著重要的意義。這就要求教師在高等數(shù)學教學中，盡可能追溯數(shù)學原理產(chǎn)生的背景，分析當時遇到的實際問題，探討在實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題之后遇到的困難以及前人克服困難的思想方法，讓學生在此過程中體會數(shù)學建模思想的精華，充分發(fā)揮主動性和創(chuàng)造力，增強創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。另外，在平時教學中，要充分利用校園網(wǎng)、QQ群、Email以及BBS等信息化網(wǎng)絡資源的優(yōu)勢，充分調(diào)動學生學習的積極性，使學生主動參與到問題的討論活動之中，鼓勵學生主動探究問題的解決方式，讓學生在研究性學習活動中充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造力，提高綜合能力。
參考文獻
1 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型.第3版.高等教育出版社，2003.
2 畢秀芝.數(shù)學建模與高校數(shù)學教學改革.牡丹江師范學院學報（自然科學版），2005，1：47～49.
3 李大潛.將數(shù)學建模思想融入數(shù)學類主干課程.中國大學教學，2006，1：9～11.
4 宋占杰，張更生，齊秋蘭.建模教學與素質(zhì)培養(yǎng)中的問題.數(shù)學教育學報，1999，3：72～73.
5 朱建清，張衛(wèi)強，歸慶明，等.積極開展數(shù)學建?；顒优囵B(yǎng)具有創(chuàng)新意識的開拓型人才.數(shù)學的實踐與認識，2001 ，5：629～630.
6 蔣利平，董玉成.大學生數(shù)學建模競賽的獨特魅力.數(shù)學的實踐與認識，2002 ，2：351～352.
第3篇：數(shù)學建模經(jīng)典算法范文
關(guān)鍵詞：數(shù)學建模；基礎(chǔ)課；模型
中圖分類號：G642 文獻標識碼：B
一、在高等數(shù)學課程中滲透最優(yōu)化模型、微分方程模型及幾何模型思想
在高等數(shù)學課程中，在“一元函數(shù)的極值與最大最小值”和“多元函數(shù)的極值及其求法”部分，可以使用實際問題作為例題，通過符號假設(shè)、分析問題、列最優(yōu)化的函數(shù)及約束條件，使用導數(shù)求解，判定是否是極值及其極值類型，判定是否為最值及其最值類型，這就是一個小的最優(yōu)化模型問題的建模及求解過程。在授課中不能只強調(diào)理論知識的推導和計算技巧，要提到最優(yōu)化模型，還要重視從實際問題到優(yōu)化模型的建模過程，也就是目標函數(shù)和約束函數(shù)的來源。
微分方程是高等數(shù)學中的重要內(nèi)容，重點是區(qū)分常微分方程的類型，針對每種類型的微分方程會求解，對有阻尼的情況下物體自由振動、串聯(lián)電路的振蕩等問題會建立方程，這也是小的微分方程模型，教學時可以提到經(jīng)典的人口問題的模型方程以及信號燈問題、湖水污染問題等。
積分學是高等數(shù)學的核心知識之一，一元函數(shù)的定積分和二元函數(shù)的重積分可以求一部分幾何圖形的面積，二重積分和三重積分可以求一部分立體圖形的體積，利用積分也可求物體的質(zhì)量、引力、質(zhì)心等。這些都是幾何模型和初等模型的體現(xiàn)，在講解相關(guān)的知識點時對這些定積分的應用要著重進行分析性講解。
二、在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中滲透概率模型和統(tǒng)計回歸模型思想
概率模型是如何用隨機變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立比較簡單的隨機模型，主要用到概率的運算、概率分布、期望、方差等基本知識，如報童問題、隨機人口模型、傳送系統(tǒng)的效率、航空公司的預訂票策略等，在講解這些基礎(chǔ)知識時，可以適當引入案例教學。
當無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機理規(guī)律的數(shù)學模型時，往往需要搜集大量的數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析來建立模型。在學習數(shù)理統(tǒng)計知識時，可以使用實際數(shù)據(jù)，如一個周期內(nèi)牙膏的銷售量、冠心病與年齡的關(guān)系等，既能更貼近實際生活，又能在解決問題時體現(xiàn)統(tǒng)計的重要作用，真正讓學生體會到各種統(tǒng)計方法的實際意義。
三、在線性代數(shù)課程中滲透矩陣在實際生活的作用
矩陣理論是線性代數(shù)課程中很重要的一部分內(nèi)容，線性代數(shù)是一門較抽象的課程。將數(shù)學建模思想融入這門課程教學中，可以有效彌補教材中實例少、理論聯(lián)系實際不足的現(xiàn)狀。矩陣在圖論中也具有非常重要的作用，有鄰接矩陣、關(guān)聯(lián)矩陣、可達矩陣等，著名的求解最短路問題的Dijkstra算法也是使用了矩陣的記號方便迭代運算。MATLAB軟件專門以矩陣的形式處理數(shù)據(jù)，一直被廣泛地應用于科學計算、控制系統(tǒng)、信息處理等領(lǐng)域的分析、仿真和設(shè)計工作中。
四、在離散數(shù)學課程中滲透離散模型思想
離散數(shù)學課程中的一階邏輯和命題邏輯部分，教材中基本都以實際的小型問題作為例題，包括選派出差問題等，為學生建立相關(guān)的離散模型提供了可能。在圖論部分，可達問題、最短路問題、圖的著色等知識都是直接聯(lián)系實際的。在這門課程的教學中，適合采用實際案例進行案例式教學，如層次分析模型案例、循環(huán)比賽的名次、公平的席位分配等。
總之，在數(shù)學類基礎(chǔ)課程中應適當融入數(shù)學建模思想，通過精煉課程內(nèi)容，增加、改進實際應用問題的例題及練習題，改進授課電子課件，提高學生應用數(shù)學知識的能力，提升教學質(zhì)量，實現(xiàn)培養(yǎng)創(chuàng)新應用型人才的目標。
參考文獻：
第4篇：數(shù)學建模經(jīng)典算法范文
關(guān)鍵詞：駕駛員建模；預瞄模型；轉(zhuǎn)向控制；補償跟蹤模型
中圖分類號：U461.6文獻標文獻標識碼：A文獻標DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2013.06.01
汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的研究是轉(zhuǎn)向系統(tǒng)乃至整車操縱穩(wěn)定性能研究中的基本課題，其中對轉(zhuǎn)向研究不能拋開駕駛員因素，即轉(zhuǎn)向行為因素。
從20世紀40年代起，研究者開始致力于汽車動態(tài)性方面的研究，直到20世紀50年代，汽車駕駛員的研究才得到關(guān)注。但起初，將駕駛員模型看作是駕駛員對車輛的操縱行為，基于經(jīng)典控制理論的思想，將駕駛員模型看作是具有時滯性的數(shù)學傳遞函數(shù)，但早期研究將重心放在汽車特性的研究上，將人-車系統(tǒng)看做一般的機械運動，對人-車動力學因素中人的因素考慮有限。為此，研究者開始關(guān)注駕駛員轉(zhuǎn)向行為特點及技巧的研究。首先，基于視覺轉(zhuǎn)向機制提出的單點、兩點及多點建模方式很好地體現(xiàn)了駕駛員的真實駕駛特點，而且運用的模糊、神經(jīng)網(wǎng)絡等控制方法都具有典型的現(xiàn)代控制技術(shù)特點。目前最新的駕駛員行為研究傾向于從人類的認知過程出發(fā)[1-2]，探尋人類駕駛員對環(huán)境、車輛本身的感知和預測，以及在此基礎(chǔ)上做出的決策、動作的機理。這些模型包含人類駕駛員的“感知-決策-動作”能力（例如視覺感知，神經(jīng)肌肉動作、反應等）和自身的限制，所涉及的學科領(lǐng)域不再僅僅局限于車輛領(lǐng)域，而是擴大到了人機工程學、生理學、心理學等諸多領(lǐng)域，成為各界人士廣泛關(guān)注的焦點。
駕駛員轉(zhuǎn)向建模從不同的方面可以進行不同的分類，但從時間線索來看，各種分類方法具有緊密的內(nèi)部聯(lián)系。本文主要按照有無預瞄環(huán)節(jié)將駕駛員轉(zhuǎn)向行為建模分為補償與預瞄控制兩大類。在第1、2部分中，首先分別介紹補償控制與預瞄控制的結(jié)構(gòu)形式及其特點，然后針對各類模型概述分析其發(fā)展現(xiàn)狀與優(yōu)缺點，在第3部分對駕駛員轉(zhuǎn)向行為建模進行總結(jié)與展望。
1 補償控制模型的結(jié)構(gòu)形式及其發(fā)展現(xiàn)狀
從20世紀50年代開始，各國研究者提出了許多基于方向控制的駕駛員模型，開始主要集中于駕駛員補償控制方面的研究。為了保持理想轉(zhuǎn)向角位置，駕駛員的任務主要是糾正外部干擾。不考慮駕駛員的前視作用，直接根據(jù)車輛當前的狀態(tài)，利用控制理論和方法進行控制。
駕駛員補償跟蹤模型（Compensation Tracking Model）的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，其輸入是當前時刻預期軌跡的信息與汽車行駛的狀態(tài)信息之間的偏差，模型假定根據(jù)前方道路信息及汽車自身狀態(tài)信息、預期軌跡與行駛軌跡的偏差進行補償校正，輸出方向盤轉(zhuǎn)角，從而實現(xiàn)對汽車的控制。
1.1 補償控制模型
該類模型起初主要是由McRuer等人將飛機閉環(huán)系統(tǒng)的研究推廣到汽車上來，后來McRuer等人發(fā)展了廣泛應用及具有實用價值的Crossover模型[3]，這是第一個描述人類自適應性的模型，而且Crossover模型引入了駕駛員的反應滯后、神經(jīng)遲滯等生理特征參數(shù)，在一定程度上體現(xiàn)了駕駛員駕駛汽車時的某些生理和心理特征。Crossover駕駛員模型通過函數(shù)建模。
。
式中，K為增益；s為拉普拉斯算子；td為駕駛員反應的時間延遲；TN為神經(jīng)肌肉系統(tǒng)固有的一階延遲； TL、TI分別為超前和滯后時間常數(shù)。
Crossover模型是通過使用側(cè)向偏離作為輸入的基本反饋模型，指出穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)增益在Crossover區(qū)域-20 dB/dec處減小。盡管并沒有給出一個可直接應用的模型，但它提供了一種設(shè)計準則，為建立更復雜、精密的模型奠定了基礎(chǔ)。
Hess[4]等人在文獻[3]的基礎(chǔ)上建立了一個由高頻、低頻與預瞄3部分組成的人-車-路閉環(huán)穩(wěn)定的魯棒控制系統(tǒng)。該模型不但考慮了駕駛員對不同轉(zhuǎn)向頻率的反應特性，對其進行動態(tài)補償，而且考慮了駕駛員的身體因素，利用二階系統(tǒng)來描述駕駛員的手臂神經(jīng)肌肉系統(tǒng)。
2 預瞄駕駛員模型的結(jié)構(gòu)形式及其發(fā)展現(xiàn)狀
基于補償反饋的早期駕駛員模型，在不同速度、保持低頻特性的情形下很難確保足夠的相位角，主要是由于駕駛員的神經(jīng)處理延遲限制控制的頻帶寬度。可以利用道路前向信息，通過提供理想的相位超前的方式來解決此問題，特別是針對駕駛員高速行為建模。通過預瞄駕駛員道路前方信息能預測需要的控制輸入及補償內(nèi)在時間延遲。方向控制的駕駛員模型隨著控制理論的發(fā)展而不斷發(fā)展起來，出現(xiàn)了預瞄駕駛員模型（Preview Tracking Model）。
2.1 預瞄駕駛員模型
此類模型并不是集中于補償控制而是體現(xiàn)出駕駛員的預瞄跟蹤性能，更加符合駕駛員的操縱特性。此類模型考慮了駕駛員駕駛車輛時的預瞄作用，根據(jù)未來時刻汽車理想位置與預估位置的偏差進行決策，從而實現(xiàn)對車輛的控制。由于考慮了駕駛員的預瞄作用，這類模型無疑比前一類模型更接近實際，其模型計算精度也與實際情形比較吻合。其預瞄環(huán)節(jié)框圖，如圖2所示。
圖2中，表示預期道路特征的P（s）、F（s）和B（s）分別表示駕駛員的預瞄環(huán)節(jié)、前向校正環(huán)節(jié)和反饋預估環(huán)節(jié)；f為預期軌跡信息；fe為預瞄環(huán)節(jié)，根據(jù)當前汽車運動狀態(tài)而估計的未來時刻汽車位置信息；yp為由預估環(huán)節(jié)估計的未來時刻汽車狀態(tài)信息；ε為兩個估計值的偏差，即ε =fe-yp；δ為車輛施加的控制信息，表示方向盤轉(zhuǎn)角；y為汽車的運動軌跡位置。由于在通常的駕駛過程中駕駛員總是提前一段距離觀測要跟隨的道路路徑，預瞄跟蹤模型更加符合實際駕駛員的操縱特性。
駕駛員轉(zhuǎn)向過程中視覺注意機制從20世紀90年代中期受到行為學家的關(guān)注。Land M. 等人首先提出了轉(zhuǎn)向過程中駕駛員傾向于注意彎道內(nèi)側(cè)的一點，稱之為“Tangent Point”[5]。Richard M. Wilkie闡述之所以駕駛員轉(zhuǎn)向時會注視“Tangent Point”是因為該點正是駕駛員轉(zhuǎn)向行駛的“目的地”所在。
基于不同的駕駛員視覺預瞄機制可將預瞄模型分為單點預瞄、兩點預瞄及多點預瞄。
2.1.1 單點預瞄
單點預瞄駕駛員模型是對駕駛員行為的一種簡化，假設(shè)駕駛員的目光集中于一點處。通過前人的研究分析，大量文獻表明大多數(shù)學者主要針對單點預瞄開展研究，即假定駕駛員將預瞄點固定在道路前方的某一固定點，這種假設(shè)與實際經(jīng)驗相當符合。
基于單點預瞄的不同轉(zhuǎn)向控制策略，從建模方式上可分為基于經(jīng)典控制理論、基于模糊邏輯、神經(jīng)網(wǎng)絡等非線性控制理論及基于認知架構(gòu)的駕駛員行為建模3種建模方法。
第1階段：基于經(jīng)典控制理論的駕駛員建模
早期的駕駛員轉(zhuǎn)向模型的研究，主要是針對汽車閉環(huán)穩(wěn)定性分析和汽車部件設(shè)計用的，也稱為“虛擬測試駕駛員”，后來的仿真軟件如Carsim、Adams以及Simpack等便是基于這些駕駛員模型發(fā)展而來。最早研究駕駛員預瞄轉(zhuǎn)向模型可以追溯到1953年的Kondo，他建立如圖3所示的單點預瞄模型[6]，預瞄距離為L，從控制理論的角度來講，轉(zhuǎn)向控制的目的就在于將Δyp逐漸減少到0。
圖4是駕駛員模型傳遞函數(shù)示意圖，P（s）是期望軌跡到輸入軌跡的傳遞函數(shù)；H（s）代表駕駛員控制特性；G（s）是車輛的傳遞函數(shù)；B（s）是反饋模塊的傳遞函數(shù)。而后的20世紀60年代到80年代之間，McRuer、Weir、macadam等都嘗試對P（s）、H（s）、B（s）進行設(shè)計和優(yōu)化以獲得更好的駕駛員模型[7]。
其中最典型的是MacAdam根據(jù)最優(yōu)控制理論提出一種更靈活有效的單點最優(yōu)預瞄模型（Optimal Preview Control，OPC）[8]。除了預瞄時間之外，此模型的參數(shù)可以直接由汽車動力學特性確定，而且由于該模型是根據(jù)軌道跟隨誤差平方和最小而推導的。假設(shè)車輛在小曲率路徑上行駛，這時車輛可以看作是一個線性模型，而且仿真結(jié)果汽車軌道跟隨精度相當高。實踐證明該模型已經(jīng)投入到實際應用工程中，并被應用到Carsim、Adams等商業(yè)軟件中。
在文獻[8]的基礎(chǔ)上，郭孔輝院士于1982年提出了預瞄-跟隨系統(tǒng)理論，認為駕駛員的決策分為預瞄和補償跟隨階段，理想的跟隨控制系統(tǒng)是從輸入到輸出兩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積為1，并在此基礎(chǔ)上建立了預瞄最優(yōu)曲率模型[9]。該模型建立了模型參數(shù)與汽車操縱特性和駕駛員特性參數(shù)之間的關(guān)系，適用于小曲率情況下的轉(zhuǎn)向。隨后，提出將預瞄跟隨理論與預瞄最優(yōu)曲率模型結(jié)合，對大曲率情況下的轉(zhuǎn)向行為進行了討論，指出決定預瞄策略的權(quán)函數(shù)對系統(tǒng)跟隨性的影響，主要在于預瞄的遠近，而權(quán)函數(shù)在預瞄區(qū)之間的變化影響是次要的，因而駕駛員常常用最簡單的“單點預瞄”來代替“區(qū)域預瞄”，從而獲得良好的系統(tǒng)跟隨性[10]。高振海、管欣[11-12]等人結(jié)合自適應算法，提出最優(yōu)預瞄加速度決策、車輛自適應軌跡以及預瞄時間自適應等改進的駕駛員模型。
文獻[13]設(shè)計了一種基于“Tangent Point”的預瞄駕駛員轉(zhuǎn)向控制模型，通過模擬駕駛員的視覺注意機制，力求以最簡單的視覺參數(shù)作為控制的參數(shù)輸入，同時對方向盤及方向盤轉(zhuǎn)速進行決策，與大多數(shù)轉(zhuǎn)向控制相比，其轉(zhuǎn)向的控制更加合理，同時還能夠解決大曲率轉(zhuǎn)向的難題。
另外一個被廣泛應用的駕駛員轉(zhuǎn)向模型是Donges提出的兩層駕駛員模型[14]。如圖5所示，該兩層模型包含1個開環(huán)控制環(huán)節(jié)和1個閉環(huán)補償環(huán)節(jié)。開環(huán)控制層是根據(jù)當前期望軌跡曲率做出相應的轉(zhuǎn)向動作，通過測量期望軌跡的曲率和駕駛員的轉(zhuǎn)向盤角度，結(jié)合適當?shù)脑u價指標獲得合適的駕駛員模型參數(shù)。Donges模型使用閉環(huán)補償控制，將實際曲率反饋到輸入端得到曲率誤差Δk，同時將航向誤差ΔΨ和側(cè)向距離誤差Δy一起作為反饋狀態(tài)。
第2階段：基于非線性控制理論的駕駛員建模
到20世紀80年代末期，隨著非線性理論的發(fā)展和成熟，人們嘗試用非線性理論來逼近駕駛員模型，其中最典型的就是模糊邏輯系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)。模糊邏輯被稱作是最能模糊人類思維和決策的工具之一，并且特別適用于數(shù)學模型異常復雜的系統(tǒng)。
文獻[15]是基于預瞄最優(yōu)曲率駕駛員模型建立的模糊PID模型，在分析駕駛員行為的基礎(chǔ)上，考慮到模糊控制一定程度上能表示人的思維與駕駛行為及最大預瞄距離對人-車-路系統(tǒng)的影響，采用最優(yōu)控制的理論和方法對駕駛員閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了分析，驗證了駕駛員方向控制的能力。
文獻[16]基于神經(jīng)網(wǎng)絡來辨識駕駛員的轉(zhuǎn)向行為，采用單點預瞄獲取t時刻道路邊緣的側(cè)線距離Si（i=1，2，3）。這樣車輛在道路中的位置和方位信息就可以直接作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入?yún)?shù)。M個輸入信號由權(quán)重系數(shù)（k=1，…，M，j=1，…，N）處理，同時F1到y(tǒng)j的非線性函數(shù)由權(quán)值處理，F(xiàn)1一般取s函數(shù)，最后由一個線性函數(shù)F2獲得網(wǎng)絡的最終輸出z。訓練采用BP（Back Propagation）算法，訓練數(shù)據(jù)來自于駕駛員-車輛數(shù)值仿真或者實際路測。
文獻[17]根據(jù)“單點預瞄假設(shè)”、“預瞄-跟隨理論”及人工神經(jīng)網(wǎng)絡的基本原理，將BP算法和遺傳算法相結(jié)合，建立了兩層前饋預瞄優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡駕駛員模型，同時基于汽車操縱動力學，獲得了可靠的訓練樣本。
文獻[18]針對駕駛員操縱的多通道、非線性的特點，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡對駕駛員的操縱行為進行了建模，通過對比可以發(fā)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡駕駛員模型可以較好地跟蹤指令的變化，再現(xiàn)駕駛員的操縱行為。
隨著人們對車輛安全性和舒適性等駕駛體驗要求的逐步提升，對于車輛的主動安全性能和自主駕駛性能也提出了更高的要求。傳統(tǒng)的駕駛員模型對于人車動力學中人的因素考慮有限，因此，希望能夠建立更全面精確的體現(xiàn)車輛動態(tài)性及駕駛員行為特性的模型。
第3階段：基于認知架構(gòu)的駕駛員建模
（1）駕駛員身體建模
駕駛員身體建模主要聚焦于神經(jīng)肌肉系統(tǒng)（Neuromuscular System， NMS）建模。
轉(zhuǎn)向過程中神經(jīng)肌肉系統(tǒng)的研究從20世紀60年代開始涉及。駕駛員轉(zhuǎn)向行為建模前期大量的研究主要針對如何根據(jù)預瞄和狀態(tài)量信息決策出理想的方向盤轉(zhuǎn)角，但針對具體的轉(zhuǎn)向角執(zhí)行過程的建模存在不足。然而，該過程往往伴隨著慣性和時滯等因素，完全對其忽略是不合理的。現(xiàn)實中，駕駛員通過手臂的神經(jīng)肌肉系統(tǒng)完成轉(zhuǎn)向，既是轉(zhuǎn)向動作的直接施加體，又是轉(zhuǎn)向路感的感知體。近期的駕駛員行為研究傾向于探尋人類駕駛員對車輛本身的感知和預測，以及在此基礎(chǔ)上做出的決策和實現(xiàn)操縱的機理。因此，神經(jīng)肌肉在研究駕駛員認知方面具有重要作用，其重要性并不亞于視覺系統(tǒng)對駕駛員的導向性。轉(zhuǎn)向系統(tǒng)給駕駛員的神經(jīng)肌肉力學反饋為駕駛員的轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性也提供了十分重要的線索。
為了更好地理解駕駛員轉(zhuǎn)向過程中的神經(jīng)肌肉動態(tài)性，Hillc[19]及Wilkie[20]通過一種三元素模型來體現(xiàn)肌肉的機械特性，此模型被廣泛使用。
最早試圖去理解駕駛員神經(jīng)肌肉動態(tài)性在駕駛員-車輛轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中重要作用的是Modjtahedzadeh與Hess，建立的模型[21]如圖6所示，該模型考慮了駕駛員對不同轉(zhuǎn)向頻率的反應，對其動態(tài)性進行補償，建立一個由高頻、低頻與預瞄3部分組成的人-車-路閉環(huán)穩(wěn)定的魯棒控制系統(tǒng)。其中，模塊GNM是駕駛員神經(jīng)肌肉系統(tǒng)的二階結(jié)構(gòu)形式；模塊GP1、GP2、GNM代表來源于駕駛員胳膊及肌肉組織運動的變量的反饋，主要是指人體的生理感受能力；GL代表時間延遲模塊，主要是人生理反應的延遲。
文獻[22]建立的模型包含駕駛員胳膊轉(zhuǎn)動慣量、肌肉及延長反射動態(tài)性的神經(jīng)肌肉系統(tǒng)，而且在文獻[23]中通過試驗對駕駛員協(xié)同收縮肌肉的能力進行研究，并驗證出盡管在轉(zhuǎn)向過程中，協(xié)同收縮肌肉消耗能量，但當駕駛員轉(zhuǎn)向力矩行為并不是非常精確的時候，卻是最優(yōu)的控制策略。
在文獻[22]和[23]的基礎(chǔ)上，Hoult等人[24]主要聚焦于肌肉內(nèi)在動態(tài)性的測量及建模。
文獻[25]呈現(xiàn)了融合轉(zhuǎn)向力矩反饋的駕駛員模型，但是并沒有精確考慮反射動態(tài)性。
文獻[26]建立了融合神經(jīng)肌肉動態(tài)性的駕駛員-車輛模型，主要關(guān)注于肌肉反射的α-γ協(xié)同激勵。
在文獻[27]中模型的基礎(chǔ)上，Pick等人進行了進一步的拓展，主要考慮轉(zhuǎn)向力矩反饋影響的動態(tài)性能響應與認知響應，進一步建立了認知延遲特性及α-γ協(xié)同激勵，體現(xiàn)肌肉低頻動態(tài)性的模型，且在驗證內(nèi)在肌肉反射及其認知動態(tài)性方面都有提高[28]。
駕駛員身體建模廣泛應用于人機工程分析領(lǐng)域。雖然提供了與實際更接近的駕駛員模型，但是對于人類如何獲取、處理信息，還有待研究。
（2）駕駛員學習機制
駕駛員學習機制主要是闡釋人類駕駛員行為、決策和預測的內(nèi)部機制，揭示人類組織知識，產(chǎn)生智能行為的思維運動規(guī)律。
文獻[29]提出一種帶有內(nèi)部學習機制的駕駛員轉(zhuǎn)向模型，如圖7所示。內(nèi)部模型將神經(jīng)肌肉力學獲得的路感反饋和車輛運動狀態(tài)作為更新內(nèi)膜的觸發(fā)信號，內(nèi)膜對于研究駕駛員的自適應學習機制具有重要影響。對于此，行為和心理學家展開研究，最終發(fā)現(xiàn)內(nèi)模存在于小腦中的科學事實，但是對于具體的學習機制，即駕駛員如何根據(jù)車輛的轉(zhuǎn)向動力學和運動學特性進行學習和更新，以到達適應新的轉(zhuǎn)向需求及駕駛員本身的內(nèi)模形式的更新機理，有待進一步探明。
2.1.2 兩點預瞄
有關(guān)研究表明真實駕駛員并非總是采用單點預瞄的方式，很可能結(jié)合遠、近兩個預瞄點來感知前方道路信息[14]。隨著對人類視覺轉(zhuǎn)向機制研究的深入，2004年Salvucci提出了駕駛員轉(zhuǎn)向過程中是通過預瞄一個近點和一個遠點來決策轉(zhuǎn)向，通過近點獲得保持車輛行駛在道路中心，通過遠點來補償?shù)缆非实淖兓痆30]。在兩層駕駛員模型[14]及Hess的模型[4]的基礎(chǔ)上，Sentouh提出了兩點預瞄駕駛員模型。此模型也包含兩層：預期與補償控制層，分別與遠、近兩點的點視覺角度相關(guān)，主要是通過增益產(chǎn)生與遠、近點視覺角度成一定比例的力矩來達到控制的目的。Salvucci模型的不足之處在于，沒有考慮視覺輸入延遲以及人體動作機制。
文獻[31]基于遠近兩點預瞄設(shè)計了一種自適應滑膜控制器，通過使用二階動態(tài)系統(tǒng)建立前饋內(nèi)部模型可以獲得更好的轉(zhuǎn)向控制效果。
兩點預瞄方式對后期進一步研究更加符合實際的駕駛員預瞄行為有很好的借鑒意義。
2.1.3 多點預瞄
多點預瞄與區(qū)域預瞄有著密切的關(guān)系，若多點預瞄方式下的預瞄點取得足夠多，則可認為與區(qū)域預瞄方式等價。但與單點或兩點預瞄方式相比，在預瞄信息的處理，以及后續(xù)的控制器設(shè)計、優(yōu)化方法上卻有較大區(qū)別。單點及兩點預瞄模型能較好地模擬駕駛員駕駛行為，但采用更多的預瞄點，可以獲得更理想的控制效果，這對于分析駕駛員的理想駕駛行為具有參考價值。
文獻[32]提出一種考慮轉(zhuǎn)向和制動的多點預瞄模糊邏輯控制裝置。該控制器通過兩個并聯(lián)的模糊邏輯控制器分別控制車輛的轉(zhuǎn)向行為和縱向行為。通過預瞄獲得左側(cè)、右側(cè)、左前方及右前方的距離信息，來決定車輛的轉(zhuǎn)向角大小及方向。
Sharp[33]提出多點預瞄路徑轉(zhuǎn)向控制方法，將道路模型與整車動力學模型組合在一起構(gòu)成離散系統(tǒng)，利用線性二次調(diào)節(jié)理論（LQR）實現(xiàn)最優(yōu)控制。道路模型通過采樣轉(zhuǎn)化為離散模型，其道路離散模型，如圖8所示。
3 結(jié)論
以上綜述各類駕駛員模型是從不同的研究方面劃分，可以了解到駕駛員轉(zhuǎn)向建模發(fā)展的大致情況。從最早的只考慮車輛的情形，發(fā)展到目前涉及生理、心理、控制、人機工程等眾多領(lǐng)域，可以看出駕駛員建模越來越注重于駕駛員駕駛時的行為、身體、心理與生理特點。
補償控制駕駛員模型雖然沒有考慮駕駛員的預瞄作用，且系統(tǒng)參數(shù)需要靠大量統(tǒng)計試驗來確定，這與駕駛員在實際駕駛時的操作過程有較大差距，不適應于快速駕駛，但為后期的研究工作奠定了堅實的基礎(chǔ)。
從單點預瞄方式的效果（按軌跡誤差觀點）來看，通常不比更復雜的預瞄方式差，主要是通過采用固定預瞄時間，從而確定預瞄距離，通過不斷調(diào)節(jié)預瞄時間來達到最優(yōu)控制的方式，且主要是針對特定工況，不具有普遍性。而對于多點預瞄方式來說，控制精度很高，且不需要反復調(diào)整預瞄時間。但是實際駕駛過程中駕駛員并不能同時觀察或者精確地獲得如此多點的側(cè)向偏差信息。如用于汽車操縱穩(wěn)定性評價，多點預瞄只需要離線設(shè)計控制器增益便可仿真，且控制精度高，但若用于無人車或其它實際應用，則存在多點預瞄信息難以獲取的困難。此時，單點預瞄信息的獲取方式顯得更加可取。
前期研究的預瞄駕駛員模型，側(cè)重于研究駕駛員在典型的場景下（雙移線、單移線等）駕駛汽車的建模，希望能夠代替駕駛員完成繁重、危險的測試任務，以期對汽車設(shè)計和改進提供幫助。在這個層面上可以說前期基于經(jīng)典控制理論和非線性控制理論的駕駛員轉(zhuǎn)向模型已經(jīng)能夠適應于當前的車輛研發(fā)需求。但是隨著人們不斷對車輛安全性和舒適性等駕駛體驗要求的逐步提升，對于車輛的主動安全性能和自主駕駛性能提出了更高的要求和挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的駕駛員模型對未知環(huán)境的自適應能力不足，對于人車動力學中的人的因素考慮有限。
就目前的駕駛員轉(zhuǎn)向建模研究進展來看，值得進一步研究的內(nèi)容包括：
（1）駕駛員轉(zhuǎn)向行為建模首先根據(jù)視覺預瞄機制、狀態(tài)量信息決策出理想的方向盤轉(zhuǎn)角，但是對于駕駛員在轉(zhuǎn)向過程中究竟采用何種視覺注意機制，駕駛員如何根據(jù)各種狀態(tài)來切換注視道路的位置需要進一步探索。
（2）駕駛員如何根據(jù)車輛動力學及運動學狀態(tài)信息，經(jīng)過人腦決策汽車操縱命令的過程，以及如何學習、利用多種內(nèi)模進行規(guī)劃與決策，對汽車實施操縱控制，確保汽車穩(wěn)定、安全行駛的報道還很匱乏。
第5篇：數(shù)學建模經(jīng)典算法范文
關(guān)鍵詞 運籌學實驗教學 教學模式 實驗內(nèi)容 實驗考核
中圖分類號：G712 文獻標識碼：A
1引言
運籌學是一門應用科學，在我國管理百科全書中的定義為：“運籌學是應用分析、試驗、量化的方法，對經(jīng)濟管理系統(tǒng)中人力、物力、財力等資源進行統(tǒng)籌安排，為決策者提供有依據(jù)的最優(yōu)方案，以實現(xiàn)最有效的管理”。它是一門定性分析與定量方法相結(jié)合的綜合應用科學，廣泛應用現(xiàn)有的教學方法、軟件技術(shù)和計算機等工具，解決實際中提出的專門問題，為決策者選擇最優(yōu)或較優(yōu)決策提供定量依據(jù)。
國內(nèi)高等院校運籌學課程最初主要開設(shè)在數(shù)學等理工類專業(yè)，比較注重讓學生掌握運籌學的原理和模型算法，對學生的數(shù)學水平和邏輯推理能力要求很高。 但對于財經(jīng)類專業(yè)學生來說， 開設(shè)運籌學課程的目的主要是要求他們了解運籌學理論的主要思想，并能靈活運用運籌學方法去分析和解決財經(jīng)管理中的實際問題。而實驗教學正是能夠充分體現(xiàn)這一教學目標，同時也是實現(xiàn)這一教學目標的重要手段。抓好運籌學的實驗教學意義重大。
財經(jīng)類專業(yè)的學生與一般理工類專業(yè)學生的學習模式和習慣都有較大差異。傳統(tǒng)運籌學在建立、求解模型的過程中不可避免地要進行復雜的運籌學理論的證明以及算法的講解，這很容易使得一些財經(jīng)類專業(yè)的學生產(chǎn)生畏難心理，喪失信心，失去學習動力。
因此，在運籌學理論教學過程中引入實驗教學，在強調(diào)運籌學基本理論、方法教學的同時，增設(shè)上機實驗內(nèi)容，可以突出學生利用運籌學思想分析問題、利用計算機作為工具來解決問題的能力培養(yǎng)，真正體現(xiàn)從管理實際出發(fā)，把運籌學看作一種解決實際問題的方法來學習。
運籌學實驗教學可以讓學生應用所學理論方法解決本專業(yè)相關(guān)問題，在應用中理解消化吸收理模型與算法，培養(yǎng)學習熱情和進一步鉆研的興趣。通過實驗教學，可以使學生能夠運用運籌學的思想、原理、方法去分析和解決實際工作中存在的大量最優(yōu)化問題，有助于提高學生獨立解決實際問題、管理決策及科研能力。
因此，實驗教學對于財經(jīng)類專業(yè)學生學習并掌握這門課的基本理論方法和技巧有重要作用。
2財經(jīng)類專業(yè)運籌學實驗教學普遍存在的問題分析
在實際教學過程中，高校財經(jīng)類專業(yè)運籌學實驗教學普遍存在共性問題，運籌學課程強調(diào)“定量與優(yōu)化”，對于財經(jīng)類專業(yè)還需要強調(diào)“理論與實踐相結(jié)合”、“理論與專業(yè)知識”相結(jié)合，但是目前運籌學課程實驗教學過程中對這些特點的把握仍略顯不足，歸納起來有以下幾點：
2.1課程教學模式單一，實驗教學重視程度不夠
運籌學的教學方法仍然停留在傳統(tǒng)的粉筆加黑板板書或幻燈片播放的模式上，教學內(nèi)容主要是對于概念的解釋、定理公式的的推導證明、手工計算分析，運籌學的數(shù)學推理成分很重，對于運籌學的應用及分析問題、解決問題方法的講授偏少，缺乏實踐性環(huán)節(jié)。這樣的教學模式雖然有利于學生掌握運籌學各分支的基本理論，基本模型以及模型求解方法，但是忽略了運籌學模型“來自實踐、用于實踐”的學科發(fā)展脈絡，忽視模型方法以及結(jié)論的經(jīng)濟學管理學解釋，由于缺乏實際問題建模分析應用的實驗教學過程，學生在學完后缺乏應用運籌學解決專業(yè)問題的興趣和能力，最終運籌學課程的價值沒有得到充分發(fā)揮。
2.2實驗教學內(nèi)容古老陳舊單調(diào)，缺乏吸引力
目前的教學實踐中，雖然一些教師認識到實驗教學的重要性，并設(shè)計了一些實驗教學內(nèi)容，但是實驗的內(nèi)容往往古老陳舊，不能與當前社會生產(chǎn)生活的實際緊密結(jié)合，缺乏新意和吸引力。另外由于財經(jīng)類專業(yè)學生計算機基礎(chǔ)差異較大，缺乏通用的實驗教學軟件和實驗教材，教師往往只能根據(jù)學生素養(yǎng)，就低不就高，只能介紹比較簡單的優(yōu)化軟件去處理較為抽象簡單的問題。實驗教學內(nèi)容單調(diào)乏味，使得學生做實驗應付差事，把題目中的參數(shù)輸入應用軟件，得到了結(jié)果，并不分析模型和結(jié)果的應用價值和實踐意義。
2.3 財經(jīng)類專業(yè)運籌學課程課時偏少，無法擠出足夠的實驗時間
財經(jīng)類運籌學教材以講述理論為主，需要高等數(shù)學、線性代數(shù)與概率論數(shù)理統(tǒng)計為其基礎(chǔ)，對數(shù)學基礎(chǔ)要求較高，而財經(jīng)類專業(yè)文理兼收，學生的數(shù)學基礎(chǔ)差距較大。如果對于基礎(chǔ)理論的講解過于粗陋，學生對于復雜有難度的模型必然不知所云，很難理解思想精華，因此，理論講解如果大幅壓縮時間則不可能有良好效果。財經(jīng)類專業(yè)運籌學課程的學時通常只有48學時或者32學時，大部分教師在課時如此之短的狀況下，只有壓縮實驗教學時間，甚至只能要求學生課下自己動手學習軟件和進行相關(guān)實驗。
2.4運籌學實驗教學考核存在困難
財經(jīng)類專業(yè)運籌學實驗課的成績不容易考核，這是實驗教學開展困難的阻力因素之一。目前的教學實踐缺乏對于學生學習效果的一套客觀、細致、公平的實驗考核標準。尤其是對學生解決綜合的復雜優(yōu)化問題能力的考核，是運籌學實驗教學的一個難點問題。
綜上所述，財經(jīng)類專業(yè)運籌學實驗教學中的這些現(xiàn)實問題，嚴重影響著運籌學實驗教學的效果，限制了對學生分析、解決實際問題能力的塑造。
3關(guān)于改進財經(jīng)類專業(yè)運籌學實驗教學效果的探討
3.1對教學大綱再設(shè)計，重新修訂課程教學內(nèi)容，因材施教，增加實驗教學時間
運籌學作為一門解決優(yōu)化問題的基礎(chǔ)課程，涉及到線性規(guī)劃以及對偶理論、動態(tài)規(guī)劃、非線性規(guī)劃、圖論與網(wǎng)絡、排隊論、存儲論、決策分析、模擬與預測等問題，內(nèi)容龐雜而且難度較大。而財經(jīng)類專業(yè)學生普遍存在數(shù)學基礎(chǔ)不牢，計算機操作應用能力較弱的特點，因此，必須在教學大綱上面要進行縝密的設(shè)計，分類教學，對于不同學時的課堂，結(jié)合學生基礎(chǔ)和專業(yè)需要，合理安排理論講授內(nèi)容，例如，對于32學時課堂，在講解單純性方法的理論前提時，只要說明思想即可，減少證明時間。最終目的是在保證理論教學效果的條件下擠出必要的實驗教學時間。
3.2更新實驗內(nèi)容，提升學生動手解決專業(yè)實際問題的能力
興趣是最好的引導，要讓學生認識到課程實驗對其專業(yè)學習以及未來工作的作用。教師可以結(jié)合運籌學前沿，介紹一些最新的發(fā)展動態(tài)，使學生認識到自身專業(yè)的最新發(fā)展大多都廣泛地運用了運籌學的工具，激發(fā)學生動手采用運籌學模型方法解決專業(yè)問題。
具體到實驗內(nèi)容，第一要考慮到大部分財經(jīng)類專業(yè)學生計算機基礎(chǔ)較差，計算機軟件的使用以及編程能力較弱，因此要結(jié)合學生實際采用不同的優(yōu)化軟件來教學。軟件教學，使教師在課堂教學中可以簡化一些復雜的理論推導過程，節(jié)省課時，改善教學互動，并專注于學生解決問題能力的培養(yǎng)。根據(jù)筆者的教學實踐，根據(jù)不同計算機編程基礎(chǔ)的學生可以采用管理科學家、EXCEL、lingo、matlab等不同的軟件。第二，驗內(nèi)容分為教師演示引導和學生操作兩類。教師引導實驗以介紹優(yōu)化軟件基本操作和經(jīng)典理論模型求解為主，學生操作實驗以進行與其專業(yè)相關(guān)的實際案例建模分析為主。第三，成立運籌應用小組，筆者實際教學中，組織學生以3-4人為一組，引入大型復雜的優(yōu)化建模，并要求撰寫數(shù)學建模報告。該形式促進了學生處理復雜問題的能力，鍛煉了團隊合作精神，從而為將來工作學習中解決實際高維復雜問題打好能力基礎(chǔ)。
3.3實驗教學考核形式多樣化、評價指標要具體可行
筆者教學實踐中考核方式主要有軟件應用、經(jīng)典模型軟件求解、大型復雜優(yōu)化問題建模等部分。軟件應用主要考核語句語法操作以及編程熟練程度，經(jīng)典模型軟件求解主要考核將理論模型解出并進行經(jīng)濟學管理學專業(yè)解釋。大型復雜優(yōu)化問題建模主要考核學生綜合運用運籌學模型的能力，考察解決實際問題的模型抽象、數(shù)據(jù)提取、模型求解、模型應用的綜合能力。每一個部分都要提交實驗報告，最后歸總打分確定實驗成績。
本文受到中南財經(jīng)政法大學實驗教學項目“運籌學實驗課程教學中外比較研究”資助。
參考文獻
[1] 胡運權(quán).運籌學教程（第四版）[M].北京：清華大學出版社，2010.
[2] 呂一兵.信息與計算科學專業(yè)運籌學教學改革研究[J]，教育教學論壇，2013（3）：91-92.
第6篇：數(shù)學建模經(jīng)典算法范文
關(guān)鍵詞 GPS導航儀；算法優(yōu)化；路權(quán)選定優(yōu)化；Dijkstra算法
中圖分類號：TP3 文獻標識碼：A 文章編號：1671—7597（2013）021-063-02
1 前言
隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展、城市化水平的提高、遙感技術(shù)（RS）、地理信息系統(tǒng)（GIS）、全球定位系統(tǒng)（GPS）的發(fā)展成熟，出現(xiàn)了以GPS接收機為載體，以GIS（主要是指電子地圖）為數(shù)據(jù)，以路徑規(guī)劃算法為核心的GPS導航儀，使得用戶僅需要輸入目的地，就可以進行實時路徑規(guī)劃導航。這項技術(shù)可以為出行者提供出行路線信息，并在出行過程中對駕駛員適時地做出路線指導，是智能交通系統(tǒng)（ITS）的重要組成部分，它不僅極大地方便了出行者，使他們可以按照自己選定的目標獲得路線信息。而且可以從宏觀上降低城市交通擁堵情況，提高出行效率，對優(yōu)化交通流在整個路網(wǎng)的分配方面產(chǎn)生積極的影響。
但是，由于GPS導航系統(tǒng)對路徑規(guī)劃求解的快速性有很高的要求，因此以往研究人員更加注重于提高速度而忽略了對求解的最優(yōu)性?，F(xiàn)階段，GPS導航系統(tǒng)在實際使用上，由于成本、技術(shù)原因，存在著路徑規(guī)劃不準確、道路權(quán)值確定不準確的問題，導致用戶使用GPS導航系統(tǒng)進行路徑規(guī)劃時未能選擇最優(yōu)路徑，引導出行時效率不高，未能充分發(fā)揮其作為交通流量調(diào)節(jié)器的作用。這不僅影響使用者的出行效率，也不利于城市交通體系的高效運作。本文將會分析該問題產(chǎn)生的原因，并提出一種切實可行的解決方案。
2 GPS路徑規(guī)劃中的一些性質(zhì)
2.1 GPS導航與圖論
GPS導航中的路徑規(guī)劃是以儲存在GPS導航儀中的地理信息系統(tǒng)——主要是其中的電子地圖為數(shù)據(jù)的。因此，從計算機的觀點出發(fā)，地圖實質(zhì)是一張帶權(quán)有向圖，而路徑規(guī)劃實質(zhì)就是尋找兩點之間的最優(yōu)路徑。這使我們可以聯(lián)想到圖論（Graph Theory）的一些性質(zhì)和定理來尋求最優(yōu)路徑的尋找方法。
2.2 道路網(wǎng)絡的數(shù)學模型
在數(shù)字地圖中，定義一條道路的交叉點或端點作為道路網(wǎng)的節(jié)點，節(jié)點有相對的經(jīng)度、緯度地理坐標；兩節(jié)點間的路段定義為網(wǎng)絡的邊，路段的距離定義為邊的權(quán)值，從而構(gòu)成了一張描述城市道路的數(shù)學意義上的“圖”，對于道路的通行代價，對應圖論的概念“權(quán)”，我們稱之為“路權(quán)”。
這樣，城市中的路徑規(guī)劃就轉(zhuǎn)換了一個經(jīng)典的圖論問題——最短路徑問題。最短路徑問題是圖論研究中的一個經(jīng)典算法問題，旨在尋找圖中兩結(jié)點之間的最短路徑（最小代價路徑）。算法具體的形式包括：Dijkstra算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法等。
3 傳統(tǒng)Dijkstra最短路徑算法運用的可行性分析
對傳統(tǒng)算法最短路徑算法能否運用于GPS導航儀的關(guān)鍵就在于其時間復雜度能否為GPS導航儀所需的快速性相適應。因此，本文選擇最為經(jīng)典的Dijkstra算法進行分析。
我們以深圳為例，在個人電腦上制作了一張簡易電子地圖并使用Dijkstra最短路徑算法進行測試。
經(jīng)過統(tǒng)計，深圳市存在上萬個節(jié)點。通過實際測試，我們發(fā)現(xiàn)即使使用個人計算機，需要計算出15000個節(jié)點的圖的單源最短路徑，需要3379 ms，通過簡單線性回歸分析，我們得出了經(jīng)典Dijkstra算法在GPS導航儀上運行時的耗時估計值，其中加粗字體部分為較為接近實際的耗時情況。
（注：本表數(shù)據(jù)有計算機隨機產(chǎn)生，所用計算機配置：
CPU：Intel（R）Core（TM）2Duo CPU E7400 @2.80Ghz 2.80Ghz；RAM：3.25G可用；Windows 7 32位操作系統(tǒng)，下同）
可以看出，如果在GPS導航儀上使用經(jīng)典的Dijkstra算法在深圳市區(qū)內(nèi)進行路徑規(guī)劃，用戶將需要等待70余秒，甚至有可能需要5分鐘。顯然，這不足以滿足用戶實際需求，這也是GPS導航儀廠商沒有采用經(jīng)典Dijkstra算法來解決最短路徑問題的原因。
4針對經(jīng)典Dijkstra算法的優(yōu)化
4.1 一種特殊的數(shù)據(jù)儲存方式
經(jīng)過思考，我認為，由于需要計算單源最短路徑，可以使用如下的數(shù)據(jù)儲存方式：
定義一個數(shù)列a和一個變量sign。集合a中儲存的是集合S中未被標記的頂點，sign記錄的是數(shù)列a的項數(shù)。初始時，a中只有1項，記作a[1]其值為初始頂點v的編號，sign等于數(shù)列a中的項數(shù)，初始時，sign的值為1。稍后，我們將使用數(shù)列a及其一些特殊操作來儲存集合S中的頂點，這種數(shù)據(jù)儲存方式的具有如下的性質(zhì)：
對于數(shù)列a中的任意一項a[n]，均有a[n]≤a[n*2]（n*2≤sign）、a[n]≤a[n*2+1]（n*2+1≤sign）。即保證a[1]為整個數(shù)列中的最小一項。
4.2 幾種特殊操作的定義與分析
使用4.1提出的這種數(shù)據(jù)儲存方式，需要定義四種操作：
1）加入數(shù)列：令sign增加1，將集合S中未被輸入數(shù)列a的頂點中的一個頂點S[i]放入a[sign]。
2）維護加入（n）：本操作中n為參數(shù)。比較a[ ]（為對n向下取整），a[n]的大小。
如果a[ ]>a[n]則將它們交換位置并進行“維護加入（ ）”
3）取出第一項：先取出a[1]，然后令a[1]=a[sign]，sign減少1。
4）維護取出（n）：本操作中n為參數(shù)，比較a[n]，a[n*2]，a[n*2+1]，三個數(shù)的大小，令其中最小的與a[n]交換位置。
如果a[n*2]>a[n*4]或a[n*2]>a[n*4+1]則進行“維護取出（n*2）”
如果a[n*2+1]>a[（n*2+1）*2]或a[n*2+1]>a[（n*2+1）*2+1]則進行“維護取出（n*2+1）”。
4.2.1 操作“加入數(shù)列”的時間復雜度分析
上述例子展示了n個數(shù)加入到數(shù)列a的完整過程。通過此實例，可以看出，不論數(shù)的大小如何，我們總是只需進行一次“加入數(shù)列”操作，因此“加入數(shù)列”操作與數(shù)據(jù)大小無關(guān)，操作“加入數(shù)列”的時間復雜度為O（1）。
4.2.2 操作“維護加入（n）”的時間復雜度分析
對于“維護加入（n）”的操作次數(shù)，我們設(shè)想，如果數(shù)列a中已經(jīng)有sign個元素，現(xiàn)在我們通過操作“加入數(shù)列”在a[sign+1]處多放入一個元素k，令k的位置為loc（此時loc=sign+1），假定a[sign+1]比數(shù)列a中所有項都小，則此時4.1所述的性質(zhì)已經(jīng)被破壞，需要通過執(zhí)行操作“加入維護（n）”來維護，其維護順序為：
調(diào)整a[sign+1]的位置，將a[sign+1]與a[]，交換位置，此時k的位置loc= 。如果此時的a[]比a[]還小，則再次進行調(diào)整，直到符合4.1所述的性質(zhì)為止。
操作“維護加入（n）”實際是每次把小的項a[n]前調(diào)整到a的位置，如果將位置為a[n]項調(diào)整到a[1]，例如調(diào)整a[256]到a[1]，其過程為：a[256]->a[128]->a[64]->a[32]->a[16]->a[8]->a[4]->[2]->a[1]?？梢钥闯?，其過程類似二分法，時間復雜度為（LogN）。
4.2.3 操作“取出第一項”的時間復雜度分析
顯然，操作“取出第一項”其操作僅一項，因此時間復雜度為O（1）。
4.2.4 操作“維護取出（n）”的時間復雜度分析
操作“維護取出（n）”的執(zhí)行過程為：將最小的元素取出，并將數(shù)列中最后一項元素放到第一項，然后進行與操作“維護加入（n）”相反的操作。顯然，實質(zhì)上，操作“維護取出（n）”為操作“維護加入（n）”的逆向操作，因此，其時間復雜度亦為O（LogN）。
4.3 特殊數(shù)據(jù)儲存方式與Dijkstra算法的結(jié)合
本章節(jié)我們將具體地將上文介紹的特殊出具儲存方式與Dijkstra算法相結(jié)合，使得Dijkstra算法可以用于GPS路徑規(guī)劃。
算法時間復雜度分析對比：
上述說明的數(shù)據(jù)儲存方式，是用于在O（LogN）的時間復雜度下，找到整個集合中的最小值，如果將其用于改進Dijkstra算法，則將使算法的時間復雜度由O（N2）下降到O（NLogN）?？梢钥闯觯琌（NLogN）相對于O（N2）是巨大的進步。
4.4 改進型算法適用性測試
如上所述，時間復雜度從O（N2）降低到O（NLogN）是一個巨大的進步。最后我們實測了原數(shù)據(jù)于改進型算法的實際耗時，并根據(jù)簡單回歸分析，預測算法用于GPS導航儀的時間，如下表：
上表中加粗字體部分為接近實際情況的耗時?？梢钥闯觯?/p>
1）使用改進型算法，其最大耗時不超過6s（實際使用中一般不會出現(xiàn)最長耗時的情況），完全適用于GPS導航儀所進行的路徑規(guī)劃。
2）通過對比第1、2、3、4、5組數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)，隨著點數(shù)、邊數(shù)的增加，Dijkstra改進型算法的時間優(yōu)化倍數(shù)更加明顯。
綜合上述，該改進型算法可以運用于GPS導航儀上進行的路徑規(guī)劃并給出最短路徑。
5 結(jié)論
本文的研究通過圖論路網(wǎng)建模、算法分析、應用程序編寫、算法性能檢驗等工作。根據(jù)深圳市的城市形態(tài)環(huán)境建立圖論模型，找到了GPS導航儀為用戶進行路徑規(guī)劃是路徑規(guī)劃不準確的原因，并提出了了改進方案，即“基于特殊數(shù)據(jù)儲存方式的路徑規(guī)劃算法改進方案”，此方案使得經(jīng)典路徑規(guī)劃算法的時間復雜度從原來的O（N2）大幅下降為O（NLogN），使算法在GPS導航儀上運行的平均最長等待時間不超過6秒并得出最短路徑，完全滿足了用戶體驗，可以用于改進GPS導航儀。
本文對GPS存在的問題進行了一些探討。但是，由于水平限制，本研究存在一些問題。研究僅考慮了Dijkstra算法一種情況，未針對其他最短路徑算法如SPFA，F(xiàn)loyd進行研究比較。同時，也未對更多的優(yōu)化方法進行討論，未對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的改進進行討論，這些問題希望可以在以后的學習中可以做進一步的研究。
參考文獻
[1]中國社會科學院城市發(fā)展與環(huán)境研究中心，中國城市發(fā)展報告[M].社會科學文獻出版社，2009.
[2]李羅明，武漢市交通擁堵問題研究[D].武漢理工大學碩士學位論文，2005.
[3]彭飛、柳重堪、張其善，車輛定位與導航系統(tǒng)中的快速路徑規(guī)劃算法[J].北京航空航天大學學報，2002.
[4]畢軍、付夢印、周培德，一種適于車輛導航系統(tǒng)的快速路徑規(guī)劃算法[J].北京理工大學學報，2002.
第7篇：數(shù)學建模經(jīng)典算法范文
【關(guān)鍵詞】隧道；圍巖壓力；襯砌；研究
一、地質(zhì)因素對隧道圍巖的影響
（一）初始應力
初始應力是指在巖體工程開挖之前，在巖體中就賦予著的天然應力。它是天然存在于巖體中的應力，不因施工而產(chǎn)生。巖體的初始應力狀態(tài)通常可以分為兩類：第一類因素有重力、溫度、巖體的物理力學性質(zhì)、巖體的構(gòu)造、地形等經(jīng)常性的因素；第二類因素有地殼運動、地下水活動、人類的長期活動等暫時性的或局部性的因素。因此產(chǎn)生初始應力的原因主要有巖體及其周圍介質(zhì)自重應力和構(gòu)造應力兩種。下面研究一下，初始應力對隧道圍巖穩(wěn)定性的影響：
它與初始應力的側(cè)壓力系數(shù)值有關(guān)，對圍巖穩(wěn)定性影響主要有以下幾種形式：
（1）很小時，以垂直應力為主，對其斷面結(jié)構(gòu)分析，洞頂和地面將產(chǎn)生拉應力，側(cè)墻產(chǎn)生壓應力。在巖石強度較大的洞頂上可能發(fā)生坍塌，因此要注意支護。
（2）隨著的增大，洞頂和地面拉應力的范圍將縮小，但側(cè)墻仍處于較高壓應力。因此，要注意側(cè)墻的穩(wěn)定性，對于強度較高的圍巖，可認為穩(wěn)定，對于強度較低的圍巖，要注意其可能產(chǎn)生剪切破壞而坍塌。所以，此時更要注意對側(cè)墻的監(jiān)測。
（二）巖體結(jié)構(gòu)對工程的影響
這里主要是指結(jié)構(gòu)面對巖體的分割效應。結(jié)構(gòu)面是指巖體內(nèi)已經(jīng)開裂或容易開裂的地質(zhì)界面。軟弱結(jié)構(gòu)面是影響隧道圍巖穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素。它對巖體性質(zhì)的影響大于巖石材料的影響。巖體的強度是不同結(jié)合程度的多塊體的殘余強度。
二、隧道圍巖壓力研究現(xiàn)狀
（一）深埋地下工程的圍巖壓力計算方法研究現(xiàn)狀
圍巖壓力的計算方法對于襯砌結(jié)構(gòu)的力學性能的重要性不言而喻。確定地下工程圍巖壓力的方法有以下三種：（1）工程仿真法；（2）直接測量法；（3）圍巖壓力估算法。在圍巖壓力理論方面，國外常用的方法是普氏理論，即基于塌落拱的計算原理和K.Terzaghi理論，而在我國，一般按習慣采用鐵路公路部門推薦使用的圍巖壓力計算法。
（1）經(jīng)典普氏理論
根據(jù)經(jīng)典普氏理論，該工程支護結(jié)構(gòu)的豎向均布壓力應按下式計算：
在以上公式中，代表水平均布圍巖壓力，代表坑道高度，代表土體重度，代表圍巖相關(guān)似摩擦角。
（2）K.Terzaghi理論
根據(jù)K.Terzaghi理論，我們把隧道圍巖當作散粒體，開挖后，坑道在上方圍巖形成了卸落拱，我們根據(jù)距地面深度是h的土層水平條帶的力平衡條件，列出了相關(guān)數(shù)學微分方程，并結(jié)合邊界條件求解，得到了豎向壓應力的計算公式見下式： （3）
在以上公式中，代表側(cè)壓力系數(shù)，代表松動寬度的一半，代表土體重度，代表隧道埋深，代表圍巖相關(guān)似摩擦角。從公式中可以得到，一般來說，越大，符合如下公式： （4）
當取1.0時，
（5）
（3）中國推薦方法
在我國，鐵路公路部門基于工程模擬法的基礎(chǔ)，對我國上千鐵路公路的隧道塌方進行了統(tǒng)計，分析了調(diào)查資料，在此基礎(chǔ)上統(tǒng)計出了圍巖豎向的均勻壓力的計算公式見下式：
式中，為豎直均布壓力，為圍巖級別，為圍巖重度，為寬度影響系數(shù)，的取值按照規(guī)范規(guī)定。
（二）淺埋地下工程的圍巖壓力計算方法研究現(xiàn)狀
（1）當圍巖埋深小于等于等效荷載高度的時候，結(jié)構(gòu)側(cè)向壓力的相應計算公式為
式中，為側(cè)向均布壓力，圍巖重度，為隧道埋深，為隧道高度，s為計算摩擦角。
（2）當埋深大于等效荷載高度的時候，可以算出作用在支護上側(cè)壓力如下式所述：
因此，作用在支護上的側(cè)壓力為：
當側(cè)壓力可視為均布分布應力時，公式變?yōu)?/p>
三、襯砌結(jié)構(gòu)建模計算分析
該建模選取的隧道型式為二維襯砌結(jié)構(gòu)，其中隧道的埋深是3.8m，在上面覆蓋土體重度為=22kN/m3，土的壓力系數(shù)=1-sin=0.5，內(nèi)摩擦角是31°；所用材料混凝土的重度=26kN/m3，彈性系數(shù)=2.87×107kN/m3，設(shè)計標準強度fck=2.68×106kN/m3，泊松比取為0.17；隧道采用的形狀為三心圓隧道，其中角等于角，半徑=6.3m，半徑=4.8m，都是60°。
在建模之后，我們對結(jié)構(gòu)依次施加地基彈簧、豎直荷載及側(cè)向力梯形分布荷載，而后對荷載進行了荷載組合。
四、結(jié)構(gòu)仿真計算結(jié)果規(guī)律分析
經(jīng)過分析計算，得到隧道襯砌在豎向荷載、自重荷載、水平荷載、組合荷載下襯砌的位移、應力和應變分布。
（一）結(jié)構(gòu)位移規(guī)律分析
查看結(jié)果，組合荷載下，該工程隧道襯砌在豎向方向上的最大位移發(fā)生在隧道拱頂?shù)牡胤?，最大位移是向下?3.56mm；水平方向上的最大位移發(fā)生在隧道側(cè)壁的地方，最大位移是13.27mm；隧道底部發(fā)生了隆起變形，最大位移是向上的5.65mm。
第8篇：數(shù)學建模經(jīng)典算法范文
關(guān)鍵詞：算法分析與設(shè)計實驗 教學改革 Python算法
1 概述
《算法設(shè)計與分析》課程是計算機科學和應用數(shù)學類專業(yè)等的核心課程，其前導課程主要有《面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計》、《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》等。該課程由于涉及大量的抽象數(shù)據(jù)類型和算法，理論和實踐性很強，各種經(jīng)典算法思想都是從經(jīng)典問題的解決方案中總結(jié)提煉出來的，因此學生學習起來有相當大的難度。在該課程的教學過程中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學生對該課程只注重理論學習，忽視了運用實踐，沒有利用算法思想來思考和解決實際問題，導致實驗課的教學效果不理想。但是，實驗課是算法設(shè)計與分析課程的一個重要的環(huán)節(jié)，課堂上所學的內(nèi)容只有通過實驗才能較好的掌握，它是檢驗教學效果和鞏固所學算法的關(guān)鍵。因此就要求教師思考如何設(shè)計與改進實驗教學的內(nèi)容、方法和手段，從而改變算法實驗課的現(xiàn)狀。
2 存在的問題分析
當前的算法實驗教學效果不理想，學生在實驗過程中往往表現(xiàn)為對算法流程無從下手進行實現(xiàn)，并且缺乏信心，主要原因有以下方面：
2.1 課程本身內(nèi)容難度大 《算法分析與設(shè)計》課程內(nèi)容豐富，理論性強，學習量大。課程內(nèi)容主要是討論和介紹計算機算法的復雜性理論，結(jié)合對一些熟悉的算法進行分析和總結(jié)，強化基礎(chǔ)理論知識，對一些大型工程軟件的分析，會有一定的輔助作用。它主要介紹計算機科學及應用領(lǐng)域常見的有代表性的非數(shù)值算法及算法設(shè)計的若干重要方法，同時，介紹算法分析的基本知識。闡述計算模型和時間復雜性的定義；討論遞歸技術(shù)和算法分析的基本手段；介紹算法設(shè)計的幾類方法，如分治法、回溯法、貪心法、動態(tài)規(guī)劃法、分枝限界法等，并結(jié)合某些有實用意義的經(jīng)典算法來加深設(shè)計方法的探討，由淺入深地進行算法效率分析，使學生在掌握各種算法設(shè)計方法和分析基本技術(shù)的同時，也使邏輯思維得到鍛煉。
2.2 對程序設(shè)計語言掌握不好 數(shù)學類專業(yè)學生在前導課程中只學習了C語言程序設(shè)計、面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，學習和接觸到的都只是簡單的數(shù)據(jù)類型和單個函數(shù)的程序，主要是進行語法的學習，因此對《算法分析與設(shè)計》實驗課程中需要大量使用C語言的頭文件、宏定義、結(jié)構(gòu)體、指針等的學習較少，缺乏理解，從而造成了學生在進行算法實驗中不懂如何編程實現(xiàn)或者是在編譯階段錯誤很多，因此學生對此很容易造成失去學習的積極性。而且學生面對大量的程序編譯調(diào)試錯誤時，他們的注意力就會集中在編程語言的語法層面，忽視了算法思想本身，形成惡性循環(huán)，使得教學效果很不理想。
2.3 實驗項目安排不合理 原有的實驗項目安排不合理，第一和第二個實驗相對較難，而學生在進行該課程實驗的時候，一般都是沿用原來C程序設(shè)計實驗的作法。實驗前沒有做相應的預習和準備，沒有考慮數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)和存儲結(jié)構(gòu)，到實驗室一打開計算機就直接進入編程環(huán)境，立即開始編寫源代碼。緊接著就編譯運行，然后就是編譯錯誤很多，即使編譯通過，運行結(jié)果與預想的結(jié)果卻相差很遠。然后就造成學生做完第一次算法實驗后就再也提不起興趣了，總覺得這個實驗都是太難了，沒有信心實現(xiàn)出來，從而造成了惡性循環(huán)。
3 實驗教學改革的實踐對策
根據(jù)上述問題，結(jié)合該課程的知識內(nèi)容抽象、教學難度大的特點，我們從如下幾個方面對該課程的實驗進行改革和優(yōu)化：
3.1 實驗指導書內(nèi)容的改革 在新的課程實驗教學大綱指導下，針對知識點適當?shù)剡x擇具有代表性、難度適當，而且工程項目中使用較多的典型算法，讓學生進行編程實現(xiàn)和調(diào)試。將實驗分為基礎(chǔ)實驗、自選實驗、綜合實驗。其中基礎(chǔ)實驗為教師在現(xiàn)場輔導學生在實驗課堂上必須完成的內(nèi)容。自選實驗為難度更大一些的，要求學生掌握比較復雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和存儲結(jié)構(gòu)，以及算法的表示和實現(xiàn)。綜合實驗則是為了讓學生在課程教學過程中能掌握程序設(shè)計的思想和方法，以小組為單位，選擇教師提供的一些大型的綜合題目，需要學生全面綜合運用所學過的基礎(chǔ)知識來解決問題。這樣使得不同層次的學生可以選不同層次的實驗內(nèi)容，所有的學生都可以選擇適合自己能力水平的實驗，實驗內(nèi)容設(shè)計基礎(chǔ)知識的驗證，學生學到的課堂知識可以很快轉(zhuǎn)為可以解決問題的工具，使學生進一步理解《算法分析與設(shè)計》對程序設(shè)計思想的作用。
3.2 編程語言的選擇 大多數(shù)院校的算法實驗課程都選擇使用C/C++來實現(xiàn)，但是針對數(shù)學類專業(yè)的學生來說，由于計算機類的課程較計算機科學專業(yè)的少，而且存在數(shù)學類專業(yè)學生的C語言編程水平普遍不高的現(xiàn)象。因此，為了使得學生把注意力從編程語言語法轉(zhuǎn)為集中在算法本身上，我們選擇Python腳本語言作為該課程實驗的編程語言。Python是一種面向?qū)ο?、直譯式的編程語言，也是一種功能強大的通用型語言。它的語法非常簡捷和清晰，采用縮進用于定義語句。美國麻省理工的計算機編程入門和算法課程都是使用Python語言作為編程教學語言[1-5]。
例如我們對用蒙特卡羅方法來求PI的問題進行求解，以顯示Python與C語言的語法區(qū)別：
從上述的示例代碼中可以看出，python的可讀性非常好，即使不寫注釋，也能很容易讀懂。語法和算法的偽代碼有些類似，因此更易于展示算法的運行過程。
3.3 實驗內(nèi)容與學時分配改革
減少實驗次數(shù)，但是保證總學時不變，降低第一和第二次實驗的難度，以提高學生對實驗課程興趣。
從上述兩個表格的對比中可以看出，新的實驗內(nèi)容中在難易度和學時安排上都做了調(diào)整，實驗一相對最容易，安排時間也是最少的，此次實驗用于引導學生入門。實驗二增加了的難度不大，而且增加了實驗學時。依次類推，后面的實驗就循序漸進了。
4 總結(jié)與展望
通過對《算法分析與設(shè)計》實驗課程的改革，提高了學生對該課程的掌握程度，學生通過完成上機的實驗項目，提高了學生對實際問題分析的能力和編程水平?！端惴ǚ治雠c設(shè)計》實驗課程的建設(shè)在數(shù)學類專業(yè)的建設(shè)中具有重要作用，結(jié)合數(shù)學類課程《數(shù)值分析》、《組合數(shù)學》等，學生在后續(xù)的學習過程中能夠通過相應的編程實現(xiàn)來強化理論學習的效果，因此，通過該課程實驗的改革來激發(fā)數(shù)學專業(yè)學生的編程興趣、培養(yǎng)動手能力，從而提高學生的整體素質(zhì)。
參考文獻：
[1]ocw.mit.edu/courses/#electrical-engineering-and-c
omputer-science.
[2]毛睿，朱寧.數(shù)學建模教學的探索[J].桂林電子工業(yè)學院學報，2005，25(4):89-92.
[3]徐安農(nóng).數(shù)學實驗課實踐與研究[J].桂林電子工業(yè)學院學報，2004，24(2):94-96.
[4]楊華宣.高等數(shù)學中某些問題的探討[J].桂林電子工業(yè)學院學報，2004，24(5):72-76.
[5]林昕茜.數(shù)學建模思想在高等數(shù)學教學中應用價值的研究[J]. 桂林電子科技大學學報，2009，29(2):155-158.
[6]嚴蔚敏，吳偉民.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（C語言版）[M].北京：清華大學出版社，2001.
[7]Zelle，John M. Python Programming: An Introduction to Computer Science[M]. 1st edition. Franklin Beedle & Associates，2003.
第9篇：數(shù)學建模經(jīng)典算法范文
【關(guān)鍵詞】運籌學；教學改革；能力培養(yǎng)
【基金項目】國家自然科學基金資助項目（No.11401604，11401605，11501279，11601472）河南省高校青年骨干教師資助項目（No.2015GGJS-193）；中原工學院校級教改資助項目.
運籌學始于20世紀40年代，它是一門將工程思想與管理思想相結(jié)合，以數(shù)學為主要工具，運用定性與定量相結(jié)合的方法，通過建立、分析和求解數(shù)學模型為決策者選擇最優(yōu)決策提供理論依據(jù)的新興應用學科.正是由于運籌學擁有極高的應用價值，運籌學教育也得到了極大的關(guān)注與重視，我國在1998年將其確定為數(shù)學、經(jīng)濟、管理和計算機等專業(yè)的主干課程之一.
運籌學作為一門綜合叉學科，又是一門軟科學，具有很強的理論性和系統(tǒng)性，是連接數(shù)學知識與實際問題的橋梁，又是培養(yǎng)應用型創(chuàng)新人才的載體.因此，在教學中，既要讓學生掌握運籌學的基本概念、理論與方法，又要幫助學生建立運籌學思想，培養(yǎng)學生的實踐創(chuàng)新能力.然而，目前大多采用的仍是傳統(tǒng)的教學模式，很難達到培養(yǎng)應用型人才的目的.為提高教學質(zhì)量，運籌學課程改革勢在必行.
一、運籌學教學中存在的問題
（一）忽視了教學目的與人才培養(yǎng)目標
運籌學融合了數(shù)學與管理科學，面向的學生涵蓋了多個專業(yè)，因此，課堂教學內(nèi)容要根據(jù)學生學習層次、所學專業(yè)的特點和性質(zhì)做相應的調(diào)整，使其符合專業(yè)的人才培養(yǎng)目標.在運籌學課程教學中存在重理論、輕實際應用的傾向.在課堂上，大部分教師仍采用的是單一講授式的教W方式，但由于課時的限制，按章節(jié)一一講授則會過于注重定理的推導、公式的反演以及單模塊化問題的解決.大量的數(shù)理講解無法體現(xiàn)運籌學源于實踐、歸于實踐的特點，學生則普遍認為這是一門純粹的數(shù)學理論課，不知怎樣應用運籌學的理論與方法去解決實際問題，只僅僅生硬套用公式去應對考試與作業(yè)，這嚴重違背了運籌學課程開設(shè)是為了提升學生分析解決問題能力的初衷，也與高校培養(yǎng)多方位發(fā)展人才的目標背道而馳.
（二）教學內(nèi)容難度大，實踐環(huán)節(jié)不足
運籌學涉及多個學科的分支和許多小的知識點，這些小知識點又環(huán)環(huán)相扣，而學生對于這些知識有些已經(jīng)遺忘，無論哪個知識點不會應用都會導致后面的問題無法解決，這樣就加大了教學的難度，也易讓學生產(chǎn)生畏難情緒，導致惡性循環(huán).
課堂上理論學習占用大量時間，學生主動學習機會少，師生缺乏互動，學生缺乏對問題產(chǎn)生背景的社會實踐認識，也缺乏對實際問題給出一整套方案的能力，這均與實踐環(huán)節(jié)不足有很大關(guān)系.此外，在教學中對軟件的介紹也相對較少，即使涉及也是lingo、excel等相對簡單的優(yōu)化軟件，而在科學研究中，最主流的CPLEX、OPL等很少在教學中使用，從而使運籌學研究與信息技術(shù)發(fā)展存在脫節(jié)現(xiàn)象，大大降低了課程的實際應用性和可操作性，成為運籌學普及與發(fā)展的障礙.
（三）教學手段不豐富
目前，運籌學課程多采用的是多媒體與板書相結(jié)合的方式，板書傳遞的信息量少，但若將板書內(nèi)容簡單地做成課件，顯然傳遞的信息量大，但是對于一些經(jīng)典算法的演算，會使學生覺得教師的節(jié)奏太快，難以及時消化所學知識，教學手段不靈活難以激發(fā)學生的興趣，因此，如何將多媒體、板書結(jié)合起來或者引入其他的教學手段和方法成為亟待解決的問題.
（四）考核方式單一
目前運籌學的考核方式較單一，大多是由平時成績（考勤和課后作業(yè)）和期末成績兩部分構(gòu)成.期末主要考查對概念定理的理解以及算法的簡單應用.這種考核方式忽視了對學生實踐能力的考查，會使學生眼高手低.
二、運籌學改革的思路與措施
要想從根本上改變現(xiàn)行運籌學課程存在的問題，提高教學效果，可以從以下幾個方面著手解決：
（一）根據(jù)教學目的優(yōu)化教學內(nèi)容
由于不同專業(yè)的人才培養(yǎng)目標不盡相同，那么對運籌學課程知識點的需求也是不同的.一方面，教師要根據(jù)所教專業(yè)學生的學習程度來合理安排教學內(nèi)容.比如，對于經(jīng)管類專業(yè)的學生，因有些學生高中是文科生，其數(shù)學基礎(chǔ)較理科生稍薄弱，可弱化理論性較強內(nèi)容的講解.另一方面，教學內(nèi)容的側(cè)重也要考慮到專業(yè)特色.比如，對于人力資源管理專業(yè)，根據(jù)其就業(yè)特點，可重點講解人員指派問題、排班問題等；對于信管專業(yè)，可強化其對相關(guān)軟件如excel等的應用.這樣不僅提高了教學效果，而且也最大限度地服從了不同專業(yè)的培養(yǎng)目標.
（二）豐富教學方式與方法
1.引入案例研討和啟發(fā)式教學方法
案例研討可以充分發(fā)揮學生的主動性，將被動學習改為主動學習.教師在進行案例材料組織時，應該充分考慮其應用背景， 不能將案例過于簡化，但也不能設(shè)置得太復雜，否則會讓學生感到無所適從.要選取一些規(guī)模適中，目標相對明確，約束條件較少，富有啟發(fā)性和趣味性的案例，對于較復雜的可以讓學生課下研究討論.啟發(fā)式的教學方法是一種以學生為主體，教師作為引導的教學模式.教師可通過學生提前自學，設(shè)置分小組討論以及課堂練習、課后實踐環(huán)節(jié)，鼓勵學生參與到教學過程中來.但在設(shè)置問題時，問題數(shù)量和難度都要適中，要讓不同程度的學生都有自己的見解，而不是讓一些學生在討論時只扮演聽客的角色.
在實際中，我們可將案例討論、理論講授、小組討論和啟發(fā)式教學方法結(jié)合起來，充分挖掘?qū)W生潛能，激發(fā)學生探索性、發(fā)現(xiàn)性和創(chuàng)造性.
2.將板書、多媒體和計算機軟件有機結(jié)合，恰當進行實踐教學
因運籌學課程具有“模型多、案例多、表格多、圖形多、算法多、步驟多、理論推導少”的特點，所以對運籌學中的經(jīng)典算法，如單純形法、表上作業(yè)法等，最好先用板書，對一些案例材料可用多媒體教學，在學生掌握基本計算方法和步驟后對一些繁雜計算可用計算機軟件現(xiàn)場計算，在寫代碼時也要加以說明.在實踐教學中，可以通過開設(shè)軟件實驗課，讓學生親自操作，加強動手能力；讓學生去企業(yè)進行一些實習，讓學生感受運籌學問題的背景和應用；定期開展運籌學方面的專題講座，通過介紹運籌學的發(fā)展歷程以及運籌學的前沿動態(tài)，拓寬學生視野；鼓勵學生參加各種級別的數(shù)學建模競賽，充分利用競賽資源，增強學生的運籌優(yōu)化意識，提高學生綜合素質(zhì).
三、強化軟件應用，鍛煉建模能力
常用的運籌學軟件有很多，每種都有優(yōu)缺點，可根據(jù)不同專業(yè)偏向于解決哪類問題，選擇兩種在此問題上有優(yōu)勢的軟件進行重點學習；對于一些更為先進的軟件，可介紹一些特別之處，便于解決特殊問題.
實踐證明，數(shù)學建模對于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新性應用能力和提高學生的整體素質(zhì)起了很大的作用.運籌學課程與其緊密相連，教師在教學中要不斷滲透建模思想，將建模的內(nèi)容體系融入運籌學課程中.
四、創(chuàng)新考核方式
考試是教學活動的重要環(huán)節(jié)，是評價教學效果的重要措施.在運籌學成績評定上，可采取2∶2∶2∶4的方式，其中，課堂考勤和課后作業(yè)、案例研討與報告、軟件學習能力考核各占20%，期末閉卷考試占40%.通過這種方式，避免學生投機取巧，既考查了學生理論知識，也考核了學生的實際應用能力.
以上是針對運籌學課程提出的幾點改進建議，在實際中雖取得了一定成效，但由于各學科不斷發(fā)展融合也賦予了其新的內(nèi)容.因此，應該根據(jù)時代與學科發(fā)展及時調(diào)整教學方案，通過不斷摸索，積累經(jīng)驗，逐步提高教學能力，繼續(xù)探索人才培養(yǎng)的方法.
【參考文獻】
