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放棄努力吧，雙曲線。你明知那是不可能的，何必白費力氣呢。反抗是徒勞的，別再干傻事了！
不，我不相信命運。盡自己的力量，我不能決定命運，但我可以盡力去改變它。
雙曲線，你錯了。你這樣頑固的把大好時光都耗在這個虛無縹緲的夢想上，難道不覺得可惜嗎？
不，我沒有錯，也許我固執(zhí)，也許我可笑，可是我知道我的一生不能沒有夢想。我一直不能不為這個夢想而傾注我畢生的精力。我也知道自己的命運，可是并不代表著什么，我只知道，我就是要為我的夢想而盡我所能其他的一切，括結(jié)果，我都可以不去想。
一、已知雙曲線上兩點，雙曲線方程可設(shè)為 。
例1、已知雙曲線上兩點 ，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
解（法一）：（由于雙曲線焦點的位置不明確，我們一般是分情況討論求解）
當(dāng)所求雙曲線焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
將 兩點代入上式得： ，此方程無解；
當(dāng)所求雙曲線焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
將 兩點代入上式得： ，解得：
所以雙曲線方程為 。
（法二）設(shè)雙曲線方程為 ，
將 兩點坐標(biāo)代入得： ，
所以，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
對比總結(jié)：已知雙曲線上兩點，求雙曲線方程，可設(shè)為 。
但需注意：①必須標(biāo)明 ；②當(dāng)雙曲線焦點位置不確定時，可將雙曲線方程設(shè)為 ，這個方程包括了焦點在x軸和y軸兩種情況。
二、與雙曲線 有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為 。
例2、求與雙曲線 有相同漸近線并且經(jīng)過點 的雙曲線方程。
解：（法一）雙曲線的漸近線方程為 ，
當(dāng)所求雙曲線焦點在x軸上時， ，設(shè)其方程為 ，將點 代入上式： ，解得： ，所以雙曲線方程為 ；
當(dāng)所求雙曲線焦點在y軸上時， ，設(shè)其方程為 ，將點 代入上式： ，此方程無解。
綜上所述，所求雙曲線的方程為 。
（法二）設(shè)雙曲線方程為 ，將點 代入上式 ， ，所以所求雙曲線方程為 。
對比總結(jié)：與雙曲線 有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為
但需注意：①不能漏標(biāo) ；②若已知雙曲線的漸近線方程，也可歸納為設(shè)法求解。
三、與橢圓 共焦點的雙曲線方程可設(shè)為 。
例3、求于橢圓 共焦點且過點 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
解：（法一）因為橢圓 的焦點為 ，所以所求雙曲線焦點為 。所以設(shè)所求雙曲線方程為 ，將點 代入上式得： 且 ，消去 得 或 。當(dāng) 時 舍
當(dāng) 時 ，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
（法二）設(shè)雙曲線方程為 ，將點 代入上式，得： ，解得： 或
，所以，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
對比總結(jié)：與橢圓 共焦點的雙曲線方程可設(shè)為
但需注意：① 的取值范圍；②可拓展：與雙曲線 有公共焦點的雙曲線方程可設(shè)為 。
四、等軸雙曲線的方程可設(shè)為 。
例4、若等軸雙曲線過點 ，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
解：（法一）當(dāng)所求等軸雙曲線焦點在x軸上時，設(shè)其方程為 （a>0）
將點 代入上式得 ，解得 ，所以雙曲線方程為 ；
當(dāng)所求等軸雙曲線焦點在y軸上時，設(shè)其方程為 （a>0）
將點 代入上式得 ，此方程無解。
綜上所述，所求等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
（法二）設(shè)雙曲線方程為 ，將點 代入方程解得： 。
所以，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
對比總結(jié)：等軸雙曲線的方程可設(shè)為 。
但需注意：①不能漏標(biāo) ；② 時，表示雙曲線焦點在x軸上； 時，雙曲線焦點在y軸上。
鞏固練習(xí)：
1、經(jīng)過點 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
2、經(jīng)過點 且一條漸近線方程為 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
3、雙曲線與橢圓 有相同的焦點，它的一條漸近線方程為 ，則雙曲線的方程為
【關(guān)鍵詞】新課改；雙曲線；焦點弦；第二定義
新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是在以學(xué)生發(fā)展為本的理念下，要求學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，教師積極探索，轉(zhuǎn)變教與學(xué)觀念，加深對課本內(nèi)容的拓展理解和應(yīng)用。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)善于引領(lǐng)學(xué)生對課本的一些重要問題進(jìn)行進(jìn)一步的探索與研究，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與應(yīng)試能力。雙曲線的定義和焦點弦是圓錐曲線中非常重要的幾何概念，同時也是各類考試的重點和熱點，角度常變，?？疾凰ァ５谄胀ǜ咧姓n程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書中，僅僅介紹了雙曲線的第一定義及其直接的、簡單的應(yīng)用，對于雙曲線的焦點弦問題，幾乎未作出任何探討，教師在教學(xué)過程中，也往往局限于新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)目標(biāo)和要求，沒有對這些知識做出進(jìn)一步的拓展補充。因此，學(xué)生往往不能對該類知識點做到透徹理解，巧妙應(yīng)用。為此，針對雙曲線的兩個定義及焦點弦問題，結(jié)合具體事例，做一些簡單探討。
1 雙曲線的兩個定義
定義1：我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。
定義2：平面上與一個定點（焦點F）的距離和一條定直線（準(zhǔn)線l）的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡，當(dāng)0
例1 (2008湖南）若雙曲線(a>0,b>0)的右支上存在一點，它到右焦點及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）
A．(1，)；B．(，+∞)；
C．(1，)；D．(，+∞)
分析：本題是圓錐曲線中的計算問題，設(shè)雙曲線的右支上一點為P(x1,y1)，x1≥a，則點P到左準(zhǔn)線的距離為，到右準(zhǔn)線的距離為，由雙曲線的第二定義得點P到右焦點的距離為，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1
2 焦點弦問題
2.1 焦點弦的一個性質(zhì)
設(shè)雙曲線方程為，離心率為e，直線l經(jīng)過雙曲線焦點F且與該雙曲線交于A，B兩點， 傾斜角為α，則有
當(dāng)直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的同支上時，|cosα|
當(dāng)直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的異支上時， |cosα|>1-e （2）
當(dāng)直線l與雙曲線只有一個交點時，|cosα|=1-e （3）
證明：由對稱性，不妨設(shè)F為有焦點(c,0)
（1）由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知
⇒1+tan2α>e2⇒sec2α>e2
⇒|cosα|>1-e 。
（2）首先A，B在雙曲異支上時，由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知
，
，
⇒1+tan2α
（3）由于直線l與雙曲線有且只有一個交點，依題意則直線l與該雙曲線的漸近線平行，即 ，
，
。
2.2 弦長公式
設(shè)雙曲線離心率為e，直線l經(jīng)過雙曲線焦點F且與該雙曲線交于A，B兩點， 傾斜角為θ，焦點F到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d，則有
當(dāng)雙曲線方程為，弦AB的長。
當(dāng)雙曲線方程為，弦AB的長。
證明：當(dāng)焦點在X軸上時，設(shè)雙曲線方程為，焦點F(c,0)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，離心率為。
先推導(dǎo)弦AB所在直線的參數(shù)方程，首先AB所在直線的一般方程為y=tanθ(x-c)，此直線方程可看做是直線y=tanθ?x按向量(c,0)平移得到的，而對直線y=tanθ?x，設(shè)x=tcosθ，則y=tsinθ，即可得上述直線的參數(shù)方程為
x=tcosθ+c
{y=tsinθ（t為參數(shù)），
事實上，令
=|t1-t2|。
可發(fā)現(xiàn)參數(shù)t的幾何意義為直線AB上的某段弦長。
將弦AB所在直線的參數(shù)方程與雙曲線方程聯(lián)立，并整理得
(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，
于是，由上述t的幾何意義，
。
如果直線l斜率為k， 。
2.3 應(yīng)用舉例
例2已知雙曲線的左焦點是F，過F且傾斜角為45°的直線與橢圓的兩個焦點在y軸的不同側(cè)，求橢圓離心率e的取值范圍。
解：由題意及上述性質(zhì)1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。
參考文獻(xiàn)：
[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（實驗）[M].北京師范大學(xué)出版社，2002
[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（選修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004
例1 如圖，A、B是雙曲線y=的一個分支上的兩點，且點B（a，b）在點A的左側(cè)，則b的取值范圍是 .
分析：由點B（a，b）在雙曲線y=上，那么b=. 要確定b的取值范圍，應(yīng)先求k的值和確定a的取值范圍.
解：顯見，點A的坐標(biāo)為（1，2）.
因為點A、點B都在雙曲線y=上，
所以2=，b=.
所以k=-2，b=.
因為點B（a，b）在點A的左側(cè)，
所以a
所以-1
所以b的取值范圍是-2
例2 如圖，已知M（2，1）、N（2，6）兩點，反比例函數(shù)y=與線段MN相交于點Q（2，m），則k的取值范圍是（ ）.
A. 1≤k≤6 B. 2≤k≤12 C. 4≤k≤24 D. k≤4或k≥24
分析：注意到點Q（2，m）在反比例函數(shù)y=的圖象上，那么k=2m. 要確定k的取值范圍，應(yīng)先確定m的取值范圍.
解：由M（2，1）、N（2，6）兩點的橫坐標(biāo)相同，得MNx軸.
因為點Q（2，m）在線段MN上，
所以1≤m≤6.
因為點Q（2，m）在反比例函數(shù)y=的圖象上，
所以m=，k=2m.
所以2≤k≤12，應(yīng)選B.
例3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，與反比例函數(shù)y=的圖象交于C、D兩點，DEx軸于點E. 已知C點的坐標(biāo)是（6，-1），DE=3.
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式.
（2）若一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值， 請確定x的取值范圍.
分析：（1）根據(jù)點C的坐標(biāo)，可求出反比例函數(shù)的解析式；注意到點C、點D都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，要求一次函數(shù)的解析式，應(yīng)先確定點D的坐標(biāo).（2）要確定使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍，只需看看x取什么值時，一次函數(shù)y=kx+b對應(yīng)的圖象高于反比例函數(shù)y=對應(yīng)的圖象.
解：（1）依題意，在y=中，x=6時，y=-1.
所以m=-6.
所以反比例函數(shù)的解析式為y=-.
因為DEx軸于點E，DE=3，
所以點D的縱坐標(biāo)為3.
因為點D在反比例函數(shù)y=-的圖象上，
所以點D的橫坐標(biāo)為-2，點D的坐標(biāo)為（-2，3）.
因為點C（6，-1）、點D（-2，3）都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，
所以6k+b=-1，-2k+b=3.
所以k=-，b=2.
所以一次函數(shù)的解析式為y=-x+2.
（2）注意到點D的橫坐標(biāo)為-2，點C的橫坐標(biāo)為6，
所以x的取值范圍為x
例4 如圖，已知點A（2，6）、B（3，4）在雙曲線y=上.
（1）求此雙曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）若直線y=mx與線段AB相交，求m的取值范圍.
分析：（1）確定反比例函數(shù)的解析式，只需確定反比例函數(shù)上一個點的坐標(biāo)即可.（2）設(shè)直線y=mx與線段AB的交點為P（x，y），
則m=. 為此，只需確定的取值范圍.
解：（1）由點A（2，6）是反比例函數(shù)y=圖象上的一點，得6=.
所以k=12.
所以此雙曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=.
（2）設(shè)直線y=mx與線段AB的交點為P（x，y），則m=.
因為點P（x，y）在線段AB上，
所以2≤x≤3，4≤y≤6.
注意到橢圓與雙曲線在定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的差別僅在“和”與“差”上，因此表現(xiàn)在性質(zhì)的差異上可能就是矛盾的兩個方面。抓住這一點，可以先研究橢圓的幾何性質(zhì)，然后再類比到雙曲線上。為便于討論，只以焦點在x軸上的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論。
一、內(nèi)外之分
1.設(shè)橢圓 （a，b＞0）兩焦點為F1，F(xiàn)2，點Q為橢圓上除頂點外的任一點，過橢圓的一個焦點作∠F1QF2的一個外角平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡是圓的一部分。
證明：如圖1，QP為∠F1QF2的一個外角平分線，過F2作QP的垂線，垂足為P。延長F2P與F1Q的延長線交于點N，則QP為F2N的垂直平分線，|QF2|=|QN|，又|QF1|+|QF2|=2a，|F1N|=2a，又OP為F1F2N的中位線,所以O(shè)P∥F1N且OP=a，所以P在以O(shè)為圓心，半徑為a的圓上。
上述性質(zhì)類比到雙曲線上，即可得到：
設(shè)雙曲線 （a，b＞0）兩焦點為F1，F(xiàn)2，點Q為雙曲線上除頂點外的任一點，過雙曲線的一個焦點作∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡是圓的一部分。
本題結(jié)論本身也許并不重要，但解題依據(jù)卻是最基本的定義，題目條件中的外角平分線與內(nèi)角平分線的差別恰好就是橢圓與雙曲線在定義上區(qū)別的體現(xiàn)。
二、正余有別
1.設(shè)橢圓a，b＞0）兩焦點為F1，F(xiàn)2，點Q為雙曲線上
除頂點外的任一點，∠F1QF2=θ，則三角形F1QF2的面積 證明：如圖2，由橢圓定義得：|QF1|+|QF2|=2a （1）QF1F2中，由余弦定理可得：|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|?|QF2|
cosθ=4c2 （2）
（1）式平方-（2）式得2|QF1|?|QF2|（1+cosθ）=4a2-4c2，
上述性質(zhì)類比到雙曲線上，即可得到：
設(shè)雙曲線 （a，b＞0）兩焦點為F1，F(xiàn)2，點Q為雙曲線上除頂點外的任一點，∠F1QF2=θ，則三角形F1QF2的面積
本題結(jié)論中，兩個面積公式的不同之處僅在正切與余切的區(qū)別上，這種形式的類似既是曲線性質(zhì)規(guī)律性的反映，也是運用類比方法的典型案例。
三、對立統(tǒng)一
1.直線y=kx+b與橢圓（a，b＞0）交于A，B兩點（圖3），設(shè)AB中點為M，O為坐標(biāo)原點，則有
（其中e為離心率）。
證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），中點M（x0，y0），則有：
整理得， ，所以有上述性質(zhì)類比到雙曲線上，即可得到：直線y=kx+b與雙曲線
交于A，B兩點，設(shè)AB中點為M，O為坐標(biāo)原點，則有（其中e為離心率）。
一、利用雙曲線的定義求解
例1：設(shè)F、F為雙曲線-=1(a＞0，b＞0)的左右焦點，以FF為邊作正三角形，若雙曲線恰好平分正三角形的另外兩邊，則雙曲線的離心率是多少？
解：如圖1，在正PFF中，由題意知M為PF的中點，故MF=c，MF=c.由于MF-MF=2a，故c-c=2a，e==+1.
評注：一般在焦點三角形中經(jīng)常利用雙曲線的定義尋求離心率的關(guān)系。
二、利用雙曲線中的隱含的約束條件求解
例2：已知F、F為雙曲線-=1(a＞0，b＞0)的左右焦點，點P在雙曲線的右支上，且PF=4PF，則雙曲線的離心率的范圍為多少？
解：PF=4PF，又PF-PF=2a，
PF=.
又PF≥c-a，
≥c-a，
1＜e≤.
評注：由于P在雙曲線的右支上，所以滿足PF≥c-a，從而得到a、c滿足的不等關(guān)系，求解出e的范圍。
三、利用平面幾何關(guān)系求解
例3：如圖2，F(xiàn)、M分別是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左焦點和右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若ABM為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是多少？
解：由題意知ABM為等腰三角形，故只需∠AMB為銳角即可，只需∠AMF＜，
AF＜FM，
＜a+c，
b＜a+ac，
c-a＜a+ac，
c-ac-2a＜0，
e-e-2＜0，
-1＜e＜2.
又e＞1，
1＜e＜2.
評注：根據(jù)平面幾何的相關(guān)內(nèi)容得出a、b、c滿足的關(guān)系，從而得出e滿足的關(guān)系式。
四、利用漸近線求解
例4：設(shè)雙曲線的焦點在x軸上，兩條漸近線為y=±x，則該雙曲線的離心率是多少？
解：由題意知=，
a=2b，c=b，
e==.
五、利用判別式求解
例5：設(shè)雙曲線-y=1（a＞0）與直線l∶x+y=1相交與兩個不同的點A、B，求雙曲線的離心率的取值范圍？
解：由-y=1x+y=1得(1-a)x+2ax-2a=0
雙曲線與直線有兩個不同的交點，
1-a≠0Δ=4a+8a(1-a)＞0，
0＜a＜2，且a≠1，
e===1+＞，且e≠2，
e＞，且e≠.
用雙曲線和直線的方程組可以證明，雙曲線的方程式為二元二次方程，而直線的方程為二元一次方程，二者聯(lián)列起來的方程組可以得到一個一元二次方程；
而一元二次方程最多也只有兩個解，所以雙曲線和直線不能有三個焦點。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
關(guān)鍵詞：直線；雙曲線；公共點；直線與曲線相交
中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）41-0095-02
在高中數(shù)學(xué)《圓錐曲線》一章中，經(jīng)常遇到研究直線與圓錐曲線的公共點個數(shù)的問題，題目設(shè)置比較靈活，陷阱比較多，學(xué)生在處理這類問題時經(jīng)常漏解，下面探討過定點的直線與雙曲線公共點問題的處理方法。
一、過定點的直線與雙曲線公共點問題的代數(shù)和幾何解法分析
引例、過點P（4，3）作與雙曲線■-■=1只有一個公共點的直線有（？搖？搖 ）A.1條？搖B.2條？搖C.3條？搖D.4條？搖（答案：B）對于直線與圓錐曲線的交點問題，常規(guī)處理方法不外乎是幾何法和代數(shù)法，幾何法就是數(shù)形結(jié)合，考慮兩種情況，一是直線與雙曲線相切，一是直線與雙曲線的漸近線平行，代數(shù)法是設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立組成方程組，考慮解的個數(shù)，因此得到以下兩種解法：解法一：從雙曲線的圖像來分析，點P恰好在雙曲線的一條漸近線上，因此，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，只有一條直線符合要求，當(dāng)直線與雙曲線相切時，也只有一條直線符合要求，即x=4。因此，符合要求的直線共有兩條。這種處理方法好處是直觀，通過作圖分析就可以得出結(jié)論，缺點是必須考慮該點所處的位置，位置不一樣得出的結(jié)果不同，這是學(xué)生比較難掌握的，也是在教學(xué)過程中普遍出現(xiàn)的問題。解法二：從方程組的解的個數(shù)上看，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為x=4，代入方程只有一解，符合要求，這也是直線與雙曲線相切時的情形。當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y-3=k（x-4），與雙曲線聯(lián)立組成方程組，化簡得（9-16k2）x2-32k（3-4k）x-16[（3-4k2）+9]=0，當(dāng)9-16k2=0時，k=±■，當(dāng)k=■時，方程無解，當(dāng)k=-■時，方程有一解。當(dāng)9-16k2≠0時，令Δ=b2-4ac=0，算得k=■，不合題意。綜上所述，符合要求的直線只有兩條。這種解法優(yōu)點是思路非常直接，但解題過程并不能一帆風(fēng)順，到處都有陷阱，這是代數(shù)法解決這類問題的缺點。
二、過定點的直線與雙曲線的公共點個數(shù)問題歸納
對于這類過定點P的直線與雙曲線的公共點的問題，由于P點位置不同，導(dǎo)致直線與雙曲線有唯一公共點的直線條數(shù)變化，歸納起來只有以下幾種情形，學(xué)生只要掌握分析的方法，應(yīng)不難掌握。
1.點P恰好在雙曲線的漸近線上（雙曲線的中心除外），過點P作與雙曲線只有一個公共點的直線有兩條。這個結(jié)論就是引例的類型。
2.點P在雙曲線外，過點P作與雙曲線只有一個公共點的直線有四條。分別是兩條與雙曲線漸近線平行的直線，另兩條直線與雙曲線相切。
3.點P在雙曲線內(nèi)，過點P作與雙曲線只有一個公共點的直線有兩條。由于點P在雙曲線內(nèi)，不存在與雙曲線相切的直線，符合條件的直線只有兩條，這兩條直線與雙曲線的漸近線平行。
4.當(dāng)點P在雙曲線上時，過點P作與雙曲線只有一個公共點的直線有三條。這三條直線中，有兩條與雙曲線的漸近線平行，另一條直線是雙曲線的切線。特別地，當(dāng)P點在雙曲線的頂點時，過P且與雙曲線相切的直線是沒有斜率的，如果用解法二，通過運算的方法來解決這個問題時，特別要引起注意。
5.當(dāng)P點是雙曲線的中心時，過點P作與雙曲線只有一個公共點的直線不存在。
三、過定點的直線與雙曲線公共點問題實例剖析
學(xué)生掌握了這五種情形后，就可以處理類似的問題。例題分析：若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6只有一個公共點，那么實數(shù)k的值是（ ）。A.■，1 B.±■ C.±1 D.±■，±1。解析一：將直線方程代入雙曲線方程消去y，得x2-（kx+2）2=6，即（1-k2）x2-4kx-10=0，對k≠±1，由判別式Δ=16k2+40（1-k2）=0，得k=±■；當(dāng)k=±1時，方程 （1-k2）x2-4kx-10=0變化為一次方程，方程只有唯一的實根，因此直線和雙曲線只有一個公共點，故選D。解析二：由引例，直線y=kx+2必過定點P（0，2），P位于雙曲外線，過P且與雙曲線有唯一公共點的直線必有四條，即可選出答案D。例題變式1：若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的左右兩支各有個公共點，那么實數(shù)k的取值范圍是 ；解析：由x1x2=-■
四、結(jié)論歸納
歸納一下，對以上四個變式練習(xí)，可以運用數(shù)形結(jié)合方法加以判斷，作出雙曲線圖像，過定點P（0，2）做出四條直線，分別是與雙曲線漸近線平行的兩條直線y=±x+2，與雙曲線相切的兩條直線y=±■x+2，y=kx+2表示過定點 P（0，2）的直線簇，可以看得出當(dāng)傾斜角從0°變化到180°時，直線與雙曲線的公共點個數(shù)也在變化。當(dāng)直線與雙曲線無公共點時，斜率范圍是k∈（-∞，-■）∪（■，+∞），當(dāng)直線與雙曲線有一個公共點時，會出現(xiàn)兩種情況，一是相切，一是與漸近線平行，k值為±■和±1，當(dāng)直線與雙曲線有兩個公共點時，直線斜率k∈（-■，-1）∪（-1，1）∪（1，■），這三個區(qū)間又分別表示這兩個交點分別位于雙曲線的右支，一左一右和同時在左支的情況。其實這個問題相當(dāng)于四個實數(shù)±■和±1把數(shù)軸分成五個段（-∞，-■），（-■，-1），（-1，-1），（1，■），（■，+∞）每段分別表示直線y=kx+2與雙曲線的公共點分?jǐn)?shù)分別為2個和0個的情況，而端點則表示直線與雙曲線有唯一一個公共點的情形。這恰恰體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)與形的緊密聯(lián)系。當(dāng)P點位置變化時，有時會出現(xiàn)直線斜率不存在，而與雙曲線相切的情形，這時候特別要注意。比如：已知雙曲線x2-■=1，過點P（1，1）的直線與雙曲線只有一個公共點，則直線的斜率為____。此題中，過P與雙曲線有唯一公共點的直線有四條，而斜率k值只有三個，k=■或k=±2。
基于以上分析，對于過定點的直線與雙曲線公共點問題，只要抓住直線與雙曲線相切和直線與雙曲線的漸近線平行這兩個臨界點，利用數(shù)形結(jié)合的方法，可以快速判斷公共點個數(shù)，或者直線斜率的變化。
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞：雙曲線冷卻塔 配置方案 質(zhì)量檢驗 預(yù)防措施
前言：
國電青山熱電煙囪結(jié)構(gòu)安全等級為一級，設(shè)計使用年限為50年，基本地震烈度6度。煙囪為套筒形式，筒身高210m，底部最大直徑24m，出口內(nèi)徑7.8m。外筒為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，壁厚500～280mm。外筒部位完成砼施工共計3600m3，鋼筋綁扎360t。
一、雙曲線冷卻塔工程的特點：
1.冷卻塔環(huán)基因其體積厚大，圓周較長，屬于大體積混凝土。防止水化熱溫度應(yīng)力及干縮裂縫，要求混凝土配合比設(shè)計以及原材料選擇作為質(zhì)量控制的重點。
2.人字柱及環(huán)梁部位是冷卻塔的最關(guān)鍵部位，也是外表觀感質(zhì)量控制的重點。
3. 冷卻塔筒壁屬高聳鋼筋混凝土薄壁結(jié)構(gòu)，對混凝土除有較高的強度要求外，還有抗?jié)B、抗凍、外觀等方面的要求。
二、配置方案：
根據(jù)工程特點，商品混凝土站分別從技術(shù)要求、施工要求、觀感要求等三方面進(jìn)行了研究，試驗并制定了以下方案：
1、環(huán)基混凝土：
1.1配合比的優(yōu)化：
冷卻塔環(huán)基因其體積厚大，正值夏季施工，所以應(yīng)采取相應(yīng)措施防止實體產(chǎn)生裂縫。選擇最佳的配合比，制定相應(yīng)的有效控制措施，杜絕大體積混凝土出現(xiàn)裂縫，成為大體積混凝土的關(guān)鍵要素。該工程主要從降低水化熱溫度、延緩水化熱峰值、摻加礦物摻合料來推遲混凝土的強度增長這三個方面著手。
1.2 材料選擇：
大體積混凝土原材料選擇的原則：在保證混凝土強度及施工性能要求的前提下，應(yīng)盡量提高摻合料及骨料的含量，從而保證混凝土強度及坍落度要求的前提下，進(jìn)一步降低水化熱。
1）水泥：
水泥應(yīng)盡量選用水化熱低、凝結(jié)時間長的水泥，優(yōu)先采用低熱礦渣硅酸鹽水泥、中熱硅酸鹽水泥、礦渣硅酸鹽水泥、粉煤灰硅酸鹽水泥、火山灰質(zhì)硅酸鹽水泥等。該工程選用了礦渣硅酸鹽水泥(P?S 42.5)。
外加劑宜采用緩凝高效減水劑；該工程選用外加劑采用聚羧酸系高性能減水劑（JGJ/T223-2007），并帶緩凝。保塑性要好、坍落度徑時（60min）損失20mm內(nèi)。要求減水率達(dá)25％，摻量為膠凝材料的1.5%。
2）粗骨料：
骨料一般應(yīng)選用結(jié)構(gòu)致密，并有足夠強度的優(yōu)良骨料，還要求所選骨料清潔而不含雜質(zhì)。此方案采用5～31.5連續(xù)級配碎石，粗骨料含泥量≤1.0％，泥塊≤0.5％，針片狀≤15％，其它指標(biāo)滿足GB/T14685―2001《建筑用卵石 碎石》標(biāo)準(zhǔn)要求。
3）細(xì)骨料：
湖北巴河河砂，細(xì)度模數(shù)中粗，類別Ⅱ類，細(xì)骨料含泥量≤3.0％，泥塊≤1.0％，其它指標(biāo)滿足GB/T14684―2001《建筑用砂》標(biāo)準(zhǔn)要求。
4）粉煤灰：
Ⅱ級粉煤灰，其指標(biāo)滿足GB1596―2005《用于水泥和混凝土中的粉煤灰》標(biāo)準(zhǔn)要求。
5）防裂CAS微膨脹劑：
武漢一冶特種建筑材料有限公司生產(chǎn)，其指標(biāo)滿足GB23439-2009《混凝土膨脹劑》標(biāo)準(zhǔn)要求。摻量為水泥用量的10%。
6）礦粉：
S95級，用于水泥和混凝土中的?；郀t礦渣粉，其指標(biāo)滿足GB/T18046-2008
7）水：
滿足《混凝土拌和用水標(biāo)準(zhǔn)》（JGJ63-2006）
1.3水化熱計算：
配合比：C30 P8坍落度:160±20mm（抗?jié)B加CAS微膨脹劑）
水泥 粉煤灰 礦粉 微膨脹劑 砂 石 聚羧酸 水 合計 砂率 粒徑 水膠比
251 63 40 30 755 1040 5.76 175 2360 0.42 5-31.5 0.46
C30P8：低熱水泥42.5水泥
混凝土拌合物溫度計算表：
材料名稱 重量W(Kg) 比熱C（KJ/Kg.℃） 熱當(dāng)量W*C(KJ/℃) 溫度Ti(℃) 熱量Ti*W*C(KJ)
水泥 251 0.96 240.96 30 7228.8
砂子 755 0.84 634.2 30 19026
碎石 1040 0.84 873.6 30 26208
粉煤灰 63 0.84 52.92 30 1587.6
礦粉 40 0.84 33.6 30 1008
微膨脹劑 30 0.84 25.2 30 756
聚羧酸 5.76 4.2 24.2 27 653.4
拌合水 175 4.2 735 27 19845
（注：本表中數(shù)值為經(jīng)驗數(shù)據(jù)）
1）混凝土拌合溫度為：
TC = ∑TI *W*C /∑W*C = 76312.8/2619.68 = 29.1 ℃
考慮到混凝土運輸過程中受日曬等因素，入模溫度比攪拌溫度約高3℃?；炷寥肽囟燃s為TJ =32.1℃ ≤ 35 ℃ 。(滿足入模溫度小于等于35℃的要求。
混凝土中心最高溫度：
Tmax = Tj +Th * §
Tj= 32.1 ℃（入模溫度），§散熱系數(shù)取0.70。
混凝土最高絕熱升溫 Th = W*Q/C/r = 251*335/0.96/2360=37.1℃
其中251Kg為水泥的用量；335KJ/Kg為單位低熱水泥的水化熱；0.96KJ/Kg.℃為水泥比熱；2360Kg為混凝土容重。
則：Tmax = TJ + Th*§=32.1+37.1*0.7 = 58.07 ℃
人字柱及環(huán)梁混凝土：
2.1 材料選擇
2.1.1水泥：宜采用普通硅酸鹽水泥，強度等級：P.O42.5
2.1.2其它材料同1.2（大體積除外）
2.2配合比：C30 坍落度:140±20mm
水泥 粉煤灰 礦粉 砂 石 聚羧酸 水 合計 砂率 粒徑 水膠比
209 74 71 760 1062 5.3 175 2356 0.42 5-31.5 0.49
2.3混凝土要求
1）現(xiàn)澆斜支柱混凝土入模坍落度不宜大于160mm。
2）混凝土運輸、澆筑及間歇的全部時間不應(yīng)超過混凝土的初凝時間，并應(yīng)盡量縮短混凝土的運輸時間，加快澆筑速度。
3）模板拆除后對斜支柱混凝土進(jìn)行養(yǎng)護(hù)，養(yǎng)護(hù)期不少于14天；現(xiàn)澆斜支柱模板拆除時，應(yīng)對斜支柱采取臨時支撐加固，拆底模時混凝土強度不應(yīng)低于設(shè)計強度的75％。
3、筒壁工程：
3.1 技術(shù)要求：
冷卻塔筒壁屬高聳鋼筋混凝土薄壁結(jié)構(gòu)，對混凝土除有較高的強度要求外，還有抗?jié)B、抗凍等方面的要求。在施工中要嚴(yán)格掌握水泥、砂、石的質(zhì)量和數(shù)量，控制水灰比，做到全部材料按配合比要求嚴(yán)格計量使用。
3.1.1.對混凝土F100及以上應(yīng)摻引氣劑或引氣減水劑；應(yīng)有省級建設(shè)行政主管部門允許使用的證明。且含氣量不宜超過7%；
3.1.2、水工混凝土的施工配合比應(yīng)通過試驗確定，抗?jié)B等級應(yīng)比設(shè)計要求提高一級（0.2MPa）；
3.1.3、水膠比不大于0.5（F150及以上）；3.2材料選擇：
3.2.1水泥：
宜采用普通硅酸鹽水泥，強度等級：P.O42.5
3.2.2外加劑：
外加劑采用聚羧酸系高性能引氣型減水劑（JGJ/T223-2007），并有緩凝作用。要求減水率達(dá)25％，摻量為膠凝材料的1.5%。
3.2.3粗骨料：
5～31.5連續(xù)級配碎石，粗骨料含泥量≤1.0％，泥塊≤0.5％，其它指標(biāo)滿足GB/T14685―2001《建筑用卵石 碎石》標(biāo)準(zhǔn)要求。
3.2.4細(xì)骨料：
湖北巴河河砂，細(xì)度模數(shù)中粗，類別Ⅱ類，細(xì)骨料含泥量≤3.0％，泥塊≤1.0％，其它指標(biāo)滿足GB/T14684―2001《建筑用砂》標(biāo)準(zhǔn)要求。
3.2.5粉煤灰：
Ⅱ級粉煤灰，其指標(biāo)滿足GB1596―2005《用于水泥和混凝土中的粉煤灰》標(biāo)準(zhǔn)要求。
3.2.6礦粉：
S95級，用于水泥和混凝土中的?；郀t礦渣粉，其指標(biāo)滿足GB/T18046-2008。
3.2.7拌和用水：
滿足《混凝土拌和用水標(biāo)準(zhǔn)》（JGJ63-2001）
注：為保證外觀質(zhì)量及色差，所有原材料都應(yīng)有大宗且質(zhì)量穩(wěn)定的貨源。水泥同一廠家，同一規(guī)格品種。對影響色差較大的碎石，應(yīng)同一產(chǎn)地。有明顯色差的碎石（發(fā)黑或發(fā)白）應(yīng)分倉堆放。
3.3配合比：C30 P8坍落度:160±20mm（抗?jié)B加CAS微膨脹劑）
水泥 粉煤灰 微膨脹劑 砂 石 聚羧酸 水 合計 砂率 粒徑 水膠比
281 83 30 745 1040 6 173 2358 0.42 5-31.5 0.42
三、砼質(zhì)量檢驗：
攪拌時間檢驗，每一工作班兩次；坍落度檢測，每一工作班兩次，分別在攪拌站和施工現(xiàn)場進(jìn)行。
1、砼出機到澆筑完不超過90min。
2、砼入模溫度最高不超過35℃，最低不低于5℃。
3、稱量誤差：水泥、摻合料±2%、粗細(xì)骨料±3%、水、外加劑±2%、
4、含氣量測定
4.1 引氣混凝土的含氣量每4h應(yīng)檢測一次，含氣量允許偏差為±1.0%（《水工混凝土施工規(guī)范》DL/T5144）；
4.2 摻引氣劑的粉煤灰混凝土，每班應(yīng)至少測定2次含氣量，其測定值的允許偏差為±0.5%（GBJ146-90）；
4.3 含氣量測定試樣應(yīng)在攪拌機出料口處采集，有條件時施工中應(yīng)進(jìn)行現(xiàn)場檢驗（含氣量）（GB50119）；
四、砼試塊制作：
1、 參照《混凝土結(jié)構(gòu)工程施工質(zhì)量驗收規(guī)范》（GB50204-2002）的要求，骨料粒徑≤31.5mm,試塊制作采用100×100×100mm試模；骨料粒徑≤40mm，試塊制作采用150×150×150mm試模。
2、 每100 m3或每一工作班，制作標(biāo)準(zhǔn)養(yǎng)護(hù)抗壓試塊一組；一次連續(xù)攪拌和同配合比每生產(chǎn)1000m3，每200m3制作一組。
3、抗?jié)B試塊標(biāo)準(zhǔn)試模（每500 m3/2組）
4、同條件養(yǎng)護(hù)試件根據(jù)需要留設(shè)組數(shù)
五、預(yù)防措施：
為預(yù)防環(huán)基大體積混凝土開裂，應(yīng)考慮以下措施：
1、 為以減少地基對基礎(chǔ)的約束，保證混凝土在溫升及溫降過程順利滑移，減少混凝土變形過程中因地基約束形成的溫度應(yīng)力。在基礎(chǔ)與墊層之間設(shè)一布兩油隔離層，（滑動層）
2、 混凝土采用蓄熱法養(yǎng)護(hù)，表面及側(cè)面均采用一層塑料布兩層草袋保溫自身養(yǎng)護(hù)。
3、混凝土澆灌完后，上表面灰漿較厚，可采取在砼初凝前鋪撒干凈的碎石。用木抹子將石子拍入砼內(nèi)搓平、壓實。最后一遍用鐵抹子上收光，以防止砼表面產(chǎn)生裂縫。
4、混凝土內(nèi)部應(yīng)該布測溫點，根據(jù)溫度和環(huán)境溫度的變化進(jìn)行加減保溫措施。控制環(huán)基內(nèi)外最大溫差都在25℃以內(nèi)。
5、在不影響鋼筋布置的情況下，摻入不超過總體積20%的大石塊。
6、在混凝土內(nèi)部預(yù)埋冷卻水管，通入循環(huán)冷卻水帶走熱量。
7、根據(jù)大體積混凝土形狀，在易發(fā)生裂縫部位增配構(gòu)造鋼筋，承受收縮拉應(yīng)力。
六、結(jié)論：
1、通過我站對該電廠雙曲線冷卻塔工程的的特點的分析，試驗和研究，既保證了該工程混凝土的質(zhì)量和混凝土的正常澆筑。其外觀也得到了甲方的認(rèn)可。
2、通過對質(zhì)量的跟蹤和配套資料的完整性，及可靠的預(yù)防措施，確保了我站出廠混凝土的質(zhì)量和順利澆筑，從而保證了施工方的施工進(jìn)度。
參考文獻(xiàn)：
高瓊英.建筑材料.武漢理工大學(xué)出版社.2002
王鐵夢.工程結(jié)構(gòu)裂縫控制.中國建工出版社.1997
3）《大體積混凝土施工規(guī)范》（GB50496-2009）