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對于財政收入和經(jīng)濟增長關(guān)系的計量方法主要是兩種:一是簡單線性回歸，以財政收入或其變形形式作為因變量，以GDP或其變形形式作為自變量進行回歸分析。該方法的優(yōu)點是容易實施，結(jié)果解釋直觀。但其要求財政收入和GDP之間具有線性關(guān)系，這個要求在實際當中顯然不一定符合，這就影響了模型的實際效果。二是協(xié)整理論和誤差修正模型。協(xié)整理論和誤差修正模型突破了線性回歸模型的線性假設(shè)，在財政收入和GDP非平穩(wěn)的情況下，只要二者具有協(xié)整關(guān)系，就可以用誤差修正模型來擬合二者的關(guān)系。但誤差修正模型本質(zhì)上仍是參數(shù)模型，有一定的假設(shè)條件。從財政收入和GDP的散點圖上很難發(fā)現(xiàn)二者之間具有何種參數(shù)關(guān)系，采取參數(shù)模型導(dǎo)致模型誤設(shè)的可能性很大。非參數(shù)模型的限制條件較少，具有較強的適應(yīng)性。因此，為克服前述方法存在的一些問題，本文將采用非參數(shù)回歸對財政收入和GDP之間的關(guān)系進行擬合。
非參數(shù)回歸構(gòu)建方法
非參數(shù)方法是于20世紀80年代在統(tǒng)計學領(lǐng)域逐漸發(fā)展起來的一種現(xiàn)代統(tǒng)計方法。近10幾年來非參數(shù)方法在經(jīng)濟學領(lǐng)域了應(yīng)用越來越頻繁，非參數(shù)計量經(jīng)濟學是當前計量經(jīng)濟學發(fā)展的一個熱點。這里對本文將用到的非參數(shù)回歸方法作一簡單介紹。本部分下面的內(nèi)容主要來自BowmanandAzzalini(1997)[9]?；貧w是最廣泛使用的統(tǒng)計工具之一。線性建模從各種意義上來說都是發(fā)展和認識充分的，并且存在許多有用的工具檢查相關(guān)的假設(shè)。但是，存在由于數(shù)據(jù)的內(nèi)在的非線性而導(dǎo)致線性模式不適用的情況。非參數(shù)回歸致力于提供一套解決這類數(shù)據(jù)的建模方法。
1模型和估計
對于模型y=m(x)+ε,其中y表示因變量，x表示自變量，ε表示具有0均值方差為σ2的相互獨立的誤差項，m(x)代表y與x的關(guān)系。當m(x)的函數(shù)形式已知，僅需估計函數(shù)中未知參數(shù)時，此時為參數(shù)回歸；當對m(x)的具體函數(shù)形式不作具體的假定，僅要求其為光滑曲線即可，這就是非參數(shù)回歸。“光滑”在非參數(shù)回歸中具有特別重要的意義，沒有這個要求，則最佳估計就是簡單把各個數(shù)據(jù)點用線段連接起來，這顯然沒有意義。因此，對于光滑方法的研究是非參數(shù)領(lǐng)域的中心問題之一。已經(jīng)發(fā)展起來的非參數(shù)光滑方法有很多，比如核函數(shù)光滑，樣條光滑，多項式光滑等。本文非參數(shù)回歸將使用核函數(shù)光滑技術(shù)。核函數(shù)回歸又有不同的方法，例如最緊鄰估計，核平均估計，局部線性估計等。對于m(x)的估計本文采取局部線性回歸。核函數(shù)w(z;h)一般是具有0峰并隨著z增大而單調(diào)遞減的光滑的正值函數(shù)。這將保證最大的權(quán)重賦予那些協(xié)變量值xi離感興趣的點x最近的觀測值。為了簡便，標準差為h的正態(tài)密度函數(shù)一般用作核函數(shù)。
2光滑參數(shù)的選擇
光滑參數(shù)h控制著核函數(shù)的寬度，進而控制估計的非參數(shù)回歸曲線的光滑程度。當光滑參數(shù)過大時，得到的估計會失去數(shù)據(jù)的曲度的一些細節(jié)，導(dǎo)致估計過光滑。當光滑參數(shù)過小時，估計開始過于密切追蹤數(shù)據(jù)，這將導(dǎo)致估計欠光滑。顯然，有效的平衡是必須的，這就是光滑參數(shù)的選擇問題。解決光滑參數(shù)選擇問題的一個簡單方法就是在每一個點x處定義均方誤差E{m(x)-m(x)}2，其為偏倚的平方與方差項之和。為了構(gòu)造一個代表估計量整體行為表現(xiàn)的測度，可以對均方誤差在自變量觀測值上求和。為此可以引進積分的均方誤差：MISE(h)=∫E{m(x)-m(x)}2f(x)dx其中f(x)代表自變量的密度。MISE是光滑參數(shù)h的函數(shù)，因此可以通過求MISE的最小值來得到光滑參數(shù)的最優(yōu)值hopt。交叉驗證提供了一種流行的選擇光滑參數(shù)的方法，其是通過構(gòu)建MISE的估計量并選擇h來求最小值。交叉驗證的思想是通過剩余的數(shù)據(jù)來預(yù)測每一個因變量值yi。對于每一個值yi，預(yù)測值可以記為m-i(x)，其中下標-i表示觀測值(xi,yi)被刪除。
4置信帶的構(gòu)建
當假設(shè)誤差具有正態(tài)分布時，那么非參數(shù)估計量m(x)也服從正態(tài)分布。即使誤差分布不能假設(shè)是正態(tài)的，在較弱的假設(shè)下采用中心極限定理就可以認為m(x)近似服從正態(tài)分布。但由于估計量m(x)的有偏性，這將導(dǎo)致對于非參數(shù)回歸曲線構(gòu)建一般意義上的置信帶相對較困難。另一種方法滿足于顯示非參數(shù)回歸估計量的變異水平，而不試圖去調(diào)整不可避免的偏倚。這種類型的帶易于構(gòu)建但需要謹慎的解釋。正式地，帶狀顯示了E{m(x)}而不是m(x)的點置信區(qū)間。僅需要m(x)的方差估計就可以了。置信帶可以構(gòu)建來指示m(x)的上下兩倍標準差。為了區(qū)別于正式的置信帶，一般使用變異帶這個術(shù)語以示區(qū)別。本文的實證部分給出了估計的非參數(shù)回歸曲線的變異帶。
實證分析
本文討論中國財政收入增長率與經(jīng)濟增長率之間的關(guān)系。在具體變量選擇上，財政收入使用統(tǒng)計年鑒中的財政收入指標，經(jīng)濟指標則采用國內(nèi)生產(chǎn)總值，由于財政收入統(tǒng)計數(shù)據(jù)一般以當年價格計算，故其增長速度也是名義上的增長速度，為了具有可比性，經(jīng)濟增長率也采取GDP的名義增長率。為了盡可能得到較大容量樣本，所選取數(shù)據(jù)的時間跨度為1953~2010年。數(shù)據(jù)來源為《新中國六十年統(tǒng)計資料匯編》和《中國統(tǒng)計年鑒2011》[10,11]。首先給出數(shù)據(jù)的描述性分析，作出財政收入增長速度和GDP名義增長率的線圖以及他們之間的散點圖，具體見圖1。在線圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)：GDP名義增長率和財政收入增長速度各自隨時間變化的規(guī)律并不明顯。GDP名義增長率的最低谷出現(xiàn)在1960年附近，最高峰出現(xiàn)在1990~1995年之間；財政收入增長速度的最低谷也出現(xiàn)在1960年附近，而最高峰出現(xiàn)在1970~1975年之間。整體上，財政收入增長速度基本上與GDP名義增長率是同向變動的，但財政收入增長速度的變化波動幅度更大。在散點圖中，財政收入增長速度和GDP名義增長率之間確實存在一定的關(guān)系，但基本不符合線性關(guān)系。為了比較，首先還是給出二者之間的線性擬合，然后再對二者之間的關(guān)系進行非參數(shù)擬合，給出非參數(shù)回歸的結(jié)果。
1簡單線性回歸模型
下面以財政收入增長速度為因變量(記為FINRate)，以GDP名義增長率為自變量(記為GDPNominalRate)，在1953~2010年58對數(shù)據(jù)擬合二者關(guān)系的簡單線性回歸模型，估計方法采取普通最小二乘法(OLS)。估計的回歸方程為：FINRate=0.03628+1.007GDPNominalRate.估計的方程中GDP名義增長率的系數(shù)通過了檢驗，是顯著的，但調(diào)整的R2僅為0.46，方程的估計效果較差。實際上，回歸系數(shù)為1.0072，非常接近于1，即線性回歸模型認為財政收入增長速度與GDP名義增長率之間幾乎是同步變化的，這顯然不符合實際情況。
2局部線性非參數(shù)回歸模型
從上面散點圖可以看出，財政收入增長速度和GDP名義增長率之間的具體關(guān)系難以確定，對于這種情況，非參數(shù)回歸可以作為建模方法。下面使用的非參數(shù)回歸為前面介紹的局部線性回歸，光滑參數(shù)的選擇方法為交叉驗證，實現(xiàn)軟件為R，具體采用的是由BowmanandAzzalini開發(fā)并維護的sm包中的sm．regression函數(shù)。局部線性非參數(shù)回歸的結(jié)果如圖2所示，圖中的虛線為估計曲線的變異帶，為了比較，將上面估計的回歸直線也在圖中給出。從圖中可以看出，GDP名義增長率取值在比較正常的范圍(0%-20%)內(nèi)時，財政收入增長速度和GDP名義增長率之間近似于線性關(guān)系，但對于一些GDP名義增長率的極端值情況，二者的關(guān)系則已經(jīng)嚴重偏離了線性關(guān)系，必須用非參數(shù)回歸的曲線來表示二者之間的關(guān)系。因此，非參數(shù)回歸的結(jié)果具有更強的穩(wěn)健性。
結(jié)論
本文主要考察了1953~2010年期間中國財政收入增長速度和GDP名義增長率之間的關(guān)系。由于二者之間存在明顯的非線性關(guān)系，簡單線性回歸的估計效果較差。因此文中采用了非線性回歸來擬合二者之間的關(guān)系，從而較好解決了以前一些學者認為二者之間關(guān)系難以確定的問題[12]。分析結(jié)果顯示GDP名義增長率取值在比較正常的范圍(0~20%)內(nèi)時，財政收入增長速度和GDP名義增長率之間近似于線性關(guān)系，超出這個范圍，二者之間的關(guān)系具有非線性關(guān)系，并且非參數(shù)回歸給出了GDP名義增長率在整個范圍內(nèi)變化時二者之間的關(guān)系曲線。雖然非參數(shù)回歸給出了二者關(guān)系的較好的一個擬合，但由于非參數(shù)回歸只是用一條回歸曲線來代表二者關(guān)系，而不能給出二者關(guān)系的具體的表達公式，因此對于二者關(guān)系的進一步分析具有一定的局限性。（本文作者：金林、劉洪 單位：中南財經(jīng)政法大學統(tǒng)計與數(shù)學學院）