數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用

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［摘要］筆者先提出數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的重要性，然后分析目前教學(xué)中所存在的教學(xué)方式的問題。最后，筆者以“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”這節(jié)課為例，將數(shù)學(xué)史融入該教學(xué)案例的設(shè)計(jì)與解析。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)史；小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)方式

1數(shù)學(xué)史的重要性

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化傳播的一種重要的體現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)史之于數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值早在19世紀(jì)就被一些西方數(shù)學(xué)家所認(rèn)識(shí)。1972年，在英國埃克塞特（Exeter）召開的第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（InternationalStudyGroupontheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics，簡稱HPM）。1976年，HPM開始隸屬于國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)（ICMI）。其中就有一個(gè)工作小組負(fù)責(zé)如何納數(shù)學(xué)史為一種數(shù)學(xué)工具，也就是：在數(shù)學(xué)課程中，試著為數(shù)學(xué)史尋求一個(gè)定位。這樣的研究群組目的是結(jié)合數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)，以便提升數(shù)學(xué)教育的成效。數(shù)學(xué)史對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的品格和思想，熏陶學(xué)生不畏艱難的性格等都有重要的作用。現(xiàn)在世界上越來越多的國家開設(shè)數(shù)學(xué)史課程，而且大都從培養(yǎng)愛國主義的狹隘天地轉(zhuǎn)向?yàn)榕囵B(yǎng)能力和思想。從數(shù)學(xué)史可清楚看出，無論是數(shù)學(xué)的概念還是數(shù)學(xué)的運(yùn)算、規(guī)則等都是由于現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際需要而形成的。數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界的抽象反映和人類經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，數(shù)學(xué)教育如果脫離了那些豐富多彩而又錯(cuò)雜的背景材料，就將成為“無源之水，無本之木”。數(shù)學(xué)教育是現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)的教育。

2存在的問題

但通過一些公開課的觀察發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)史融入小學(xué)課堂依舊簡單機(jī)械，過于生硬。很多教師都是在數(shù)學(xué)課堂開始或者結(jié)束前增加一個(gè)介紹數(shù)學(xué)史料的環(huán)節(jié)，如數(shù)學(xué)家的生平故事、概念的發(fā)展歷程、有趣的歷史名題等，以此試圖激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為課堂增添一抹亮色。增加的數(shù)學(xué)史料形式上圖文并茂，配上動(dòng)聽的音樂，確實(shí)讓學(xué)生在枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感覺到了一絲新鮮。但是，如此處理數(shù)學(xué)史料，不過是停留在知識(shí)拓展的低水平狀態(tài)，對(duì)歷史進(jìn)行簡單的拼湊，使得數(shù)學(xué)史料與小數(shù)學(xué)課堂產(chǎn)生裂痕。所以說將數(shù)學(xué)史料融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂絕不應(yīng)僅僅是簡單的嫁接或移植。我們要選取行之有效的數(shù)學(xué)史方面的教學(xué)素材，采用與一般模式不同的教學(xué)方式，將數(shù)學(xué)史很自然地融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生站在古人的肩膀上體會(huì)數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的魅力，欣賞數(shù)學(xué)，愛慕數(shù)學(xué)，享受數(shù)學(xué)。

3數(shù)學(xué)史融入教學(xué)案例設(shè)計(jì)與解析

筆者選取人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第九章“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”這一教學(xué)片段來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)并進(jìn)行此課堂教學(xué)案例效果分析。數(shù)學(xué)名題之所以流傳不衰，其中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法。雞兔同籠問題實(shí)質(zhì)上是用“二元一次方程組”解決問題的一個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)名題。公元400年，中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》成書，王卷當(dāng)中卷下第31問記錄了著名的“稚兔同籠”問題：今有稚兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問稚、兔各幾何？答曰：稚二十三，兔一十二。解答方法之一便是：上置三十五頭。下置九十四足。半其足，得四十七。以少減多，再命之。上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得。解答方法之二是：上置頭，下置足。以頭除足，以足除頭，即得［2］。其中滲透了化繁為簡、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型這些數(shù)學(xué)思想。在小學(xué)階段，人教版四年級(jí)下冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角》從《孫子算經(jīng)》的經(jīng)典數(shù)學(xué)名題引入，主要要求學(xué)生用列表法、假設(shè)法來解決問題，在閱讀資料中也介紹了抬腳法。雞兔同籠問題實(shí)質(zhì)上是雞兔同籠類的問題。如在清代李汝珍的著作《鏡花緣》中第93回眾才女在小整山賞燈時(shí)，出現(xiàn)了兩個(gè)與“稚兔同籠”問題的數(shù)量關(guān)系相互類似的問題。燈謎一：大廳有兩種燈，一種掛1個(gè)大球，下掛2小球；另一種掛1個(gè)大球，下掛4個(gè)小球。大球共掛360個(gè)，小燈球共掛1200個(gè)。兩種燈各有多少盞？燈謎二：樓上有兩種燈，一種燈上掛3個(gè)大球，下掛6個(gè)小球，大小球總共9個(gè)是一盞燈；另一種燈上掛3個(gè)大球，下掛18個(gè)小球，大小球總共21個(gè)是一盞燈。大燈球共396個(gè)，小燈球共1440個(gè)。兩種燈各有多少盞？文中，才女蘭芬對(duì)燈謎一給出的解答為：“將小燈球1200減半為600，用大球360減之，剩下240，是240盞四小球燈；用360減去240，剩下120，是120盞二小球燈。”這一中解題的思考方法跟《孫子算經(jīng)》中“稚兔同籠”的“半足法”的思考方法相同，先把1200個(gè)小燈球減去一半變?yōu)?00個(gè)，然后用600減去大燈球的個(gè)數(shù)360，剩下240，就是四小球燈的數(shù)量。再用大燈球個(gè)數(shù)360減去240，剩下120，就是二小球燈的數(shù)量。寫成算式就簡潔明了：1200÷2=600（個(gè)）600-360=240（盞）蘭芬對(duì)燈謎二的解法是：“先把一千四百四十減半成為卡百二十，用大球三百九十六減之，剩余三百二十四，用六歸之，得五十四，是掛十八小球燈五十四盞；用三乘五十四，得到一百六十二，減去大球三百九十六，剩余二百三十四，用三歸之，得到七十八，就是掛六小球燈的數(shù)目［3］”。簡而言之，就是先把小燈球數(shù)減半，再用720減去大燈球數(shù)量396得到324，用324除以6得到54，用54乘3得到162，用大燈球數(shù)396減去162得到234，最后234除以3等于78，就是掛6個(gè)小球的燈的個(gè)數(shù)。這一算法顯然是借鑒了《孫子算經(jīng)》中的“半足法”。古籍中類似這樣的題可以介紹給學(xué)生一觀。在國外，由于引用的典型例子不同，有不同的名稱。如日本是用龜鶴代替了雞兔，所以把這類題稱為龜鶴同游問題。人們還以獵人與狗為素材創(chuàng)編了兒歌。因此這類問題又可以稱為“人狗同行”問題。在引導(dǎo)學(xué)生解決了“雞兔同籠”問題后，教師可以進(jìn)一步列舉“龜鶴同游問題”和“人狗同行”問題。如筆者在講完雞兔同籠題后，繼續(xù)深入。教師：不僅中國人研究這類問題，日本人也研究，他們稱雞兔同籠為龜鶴問題（龜鶴同籠，共有40個(gè)頭，112只腳，問龜、鶴各有幾只？）。提問：日本人說的龜鶴跟我們說的雞兔有關(guān)聯(lián)嗎？學(xué)生：鶴跟雞一樣，都有兩只腳，龜和兔一樣的，都有四只腳。教師；那么這道龜鶴同籠問題你能解決嗎？預(yù)設(shè)：龜（112-40×2）÷2=16（只），鶴40-16=24（只）。小結(jié)：龜鶴同籠和雞兔同籠是具有相同思考方法的同一類型的數(shù)學(xué)問題。教師：教師在搜索這類數(shù)學(xué)問題時(shí)，還發(fā)現(xiàn)一首有趣的兒歌。兒歌：一隊(duì)獵人一隊(duì)狗，兩列并成一隊(duì)走。數(shù)頭共有五十五，數(shù)腳共有一百九。教師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了雞兔同籠，龜鶴同籠。那么這首兒歌大家也取個(gè)名字。學(xué)生：人狗共走。教師：把人狗共走的兒歌跟雞兔同籠比較，你有什么想法嗎？學(xué)生：我覺得它跟雞兔同籠問題是一樣的，獵人相當(dāng)于雞，有兩只腳。狗相當(dāng)于兔，四只腳。所以解決問題的思考方式相同。教師：同學(xué)們同意他的理解方式嗎？學(xué)生：同意。教師：看來同學(xué)們已經(jīng)能夠把握住了這類題目的關(guān)鍵，找到了它們的數(shù)量關(guān)系。板書：兩只腳：獵人－雞－鶴，四只腳：狗－兔－龜。教師：我們回顧這堂課，從雞兔同籠演變到龜鶴同游，再演變到人狗同行，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？雞兔同籠這一歷史名題吸引古今這么多人去解有什么獨(dú)特的魅力？學(xué)生1：雞兔同籠的思考方法很有趣。學(xué)生2：甚或中好多種和雞兔同籠類似的情況?！半u兔同籠”問題的教學(xué)就是通過實(shí)際生活情境，讓學(xué)生領(lǐng)悟“發(fā)現(xiàn)、抽象、簡化、解決、處理”問題的整個(gè)思維過程。通過“雞兔”的具體講解，引導(dǎo)學(xué)生初步對(duì)問題本質(zhì)提煉之后，然后通過“龜鶴”“人狗”兩個(gè)不同情境突出數(shù)量差異的變化，進(jìn)而提煉出簡單的問題模型。最后，如果要完成模型的建構(gòu)與應(yīng)用，則應(yīng)該將模型演繹到學(xué)生的各種生活情境和問題情境中，促進(jìn)學(xué)生對(duì)模型的進(jìn)一步內(nèi)化。從數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)角度來說，學(xué)生先對(duì)雞兔同籠問題做了初步的提煉，教師通過搜集國外的數(shù)學(xué)史料，提出問題變式，讓學(xué)生進(jìn)一步去埋解識(shí)別模型。在情境和數(shù)字的“變化”中體會(huì)到問題“結(jié)構(gòu)”和分析思路上的“不變”，進(jìn)而形成此“類”問題的思維模型。通過這一融入國內(nèi)外數(shù)學(xué)名題教學(xué)，學(xué)生不僅經(jīng)歷了生活問題數(shù)學(xué)化的過程，而且感受到數(shù)學(xué)模型的為量和經(jīng)典歷史名題魅力長存的秘密。讓學(xué)生在數(shù)學(xué)史的背景下感受數(shù)學(xué)的魅力，教師通過這種形式滲透數(shù)學(xué)思想，這是數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)努力去嘗試和創(chuàng)新的一個(gè)方向，讓數(shù)學(xué)變得有趣真實(shí)奇妙。

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］陳鋼.《孫子算經(jīng)》及雞兔問題［J］.湖南教育，1995（2）：44.

［3］郜舒竹.“雞兔同籠”算法源流［J］.教學(xué)月刊：小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2012（7/8）：26-29.

作者:王小平 單位:武漢城市職業(yè)學(xué)院