邏輯中的基本推理方式精選(九篇)
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第1篇：邏輯中的基本推理方式范文
（桂林電子科技大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，廣西桂林541004）
摘要：針對離散數(shù)學(xué)課程中的數(shù)理邏輯教學(xué)，分析計算思維與數(shù)理邏輯之間的內(nèi)在關(guān)系，從計算思維的角度對數(shù)理邏輯教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行梳理，論述如何將“對問題進(jìn)行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”這一思維模式貫穿于教學(xué)過程中，以及如何在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)計算思維的基本概念和基本方法。
關(guān)鍵詞 ：計算思維；數(shù)理邏輯；抽象；形式化；自動化
文章編號：1672-5913(2015)15-0031-05
中圖分類號：G642
第一作者簡介：常亮，男，教授，研究方向?yàn)橹R表示與推理、形式化方法，changl@guet．edu．cn。
0 引 言
對計算思維能力的培養(yǎng)已經(jīng)成為新一輪大學(xué)計算機(jī)課程改革的核心導(dǎo)向。如何從計算思維的角度重新梳理和組織計算機(jī)相關(guān)課程的教學(xué)內(nèi)容，如何在教學(xué)實(shí)施中培養(yǎng)學(xué)生的計算思維能力，是近年來計算機(jī)教育者熱烈探討的問題。
數(shù)理邏輯是計算機(jī)專業(yè)核心基礎(chǔ)課程離散數(shù)學(xué)中的主要教學(xué)內(nèi)容，不僅為數(shù)據(jù)庫原理、人工智能等專業(yè)課程提供必需的基礎(chǔ)知識，更對培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力起著重要作用。
1 計算思維
計算思維運(yùn)用計算機(jī)科學(xué)的基本概念來求解問題、設(shè)計系統(tǒng)和理解人類行為，包括一系列廣泛的計算機(jī)科學(xué)的思維方法。根據(jù)卡內(nèi)基·梅隆大學(xué)周以真( Jeannette M．Wing)教授的設(shè)想，一個人具備計算思維能力體現(xiàn)在以下幾個方面：給定一個問題，能夠理解其哪些方面是可以計算的；能夠?qū)τ嬎愎ぞ呋蚣夹g(shù)與需要解決的問題之間的匹配程度進(jìn)行評估；能夠理解計算工具和技術(shù)所具有的能力和局限性；能夠?qū)⒂嬎愎ぞ吆图夹g(shù)用于解決新的問題；能夠識別出使用新的計算方式的機(jī)會；能夠在任何領(lǐng)域應(yīng)用諸如分而治之等計算策略等。在計算思維所包含的諸多內(nèi)容中，最根本的內(nèi)容是抽象和自動化。
在計算機(jī)專業(yè)相關(guān)課程的教學(xué)中，為了培養(yǎng)學(xué)生的計算思維能力，我們認(rèn)為一種有效的途徑是從問題出發(fā)，抓住抽象和自動化這兩個核心內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題和對解決方案進(jìn)行評估的能力。同時，我們提煉出計算機(jī)學(xué)科以及各門具體課程中涉及的基本概念和思維方法，在教學(xué)過程中有意識地強(qiáng)化學(xué)生對這些基本概念和思維方法的理解和掌握。
2 基于計算思維的數(shù)理邏輯數(shù)學(xué)內(nèi)容組織
數(shù)理邏輯應(yīng)用數(shù)學(xué)中的符號化、公理化、形式化等方法來研究人類思維規(guī)律。從廣義上看，數(shù)理邏輯是數(shù)學(xué)的一個分支，包括證明論、集合論、遞歸論、模型論以及各種邏輯系統(tǒng)等5部分。我們在這里談的是狹義的數(shù)理邏輯，即大學(xué)計算機(jī)相關(guān)專業(yè)學(xué)習(xí)的數(shù)理邏輯基礎(chǔ)。
數(shù)理邏輯與計算機(jī)科學(xué)有著非常密切的關(guān)聯(lián)。無論是在ACM和IEEE-CS聯(lián)合攻關(guān)組制訂的《計算教程CC2001》中，還是在中國計算機(jī)學(xué)會教育委員會和全國高等學(xué)校計算機(jī)教育研究會聯(lián)合制定的《中國計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科教程2002》中，數(shù)理邏輯都是計算機(jī)相關(guān)專業(yè)的核心知識單元。對于計算機(jī)相關(guān)專業(yè)來說，數(shù)理邏輯的教學(xué)內(nèi)容主要是命題邏輯和一階謂詞邏輯這兩個基礎(chǔ)的邏輯系統(tǒng)。針對這兩個邏輯系統(tǒng)，傳統(tǒng)的教學(xué)大綱主要從語法、語義、等值演算、形式證明系統(tǒng)等4個方面安排教學(xué)。在開展教學(xué)的過程中，教師強(qiáng)調(diào)的主要是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力。然而，從學(xué)生的角度看，這兩種能力本身都是抽象的口號，處于大一或者大二階段的學(xué)生難以將這些知識點(diǎn)與計算機(jī)科學(xué)聯(lián)系起來，感覺不到數(shù)理邏輯在計算機(jī)科學(xué)或者將來工作中的具體應(yīng)用，從而缺乏相應(yīng)的學(xué)習(xí)興趣。
數(shù)理邏輯中的許多思想都與計算思維有著異曲同工之妙；最為明顯的是數(shù)理邏輯和計算思維都強(qiáng)調(diào)抽象及形式化。在關(guān)于離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)踐中，我們已經(jīng)把計算思維的諸要素或多或少地滲透到包括數(shù)理邏輯在內(nèi)的培養(yǎng)方案和教學(xué)大綱中，但尚未上升到以培養(yǎng)計算思維能力為導(dǎo)向的高度。
在明確將培養(yǎng)計算思維能力作為一個新的教學(xué)目標(biāo)之后，我們從計算思維的角度對數(shù)理邏輯教學(xué)內(nèi)容重新進(jìn)行梳理。具體來說，在計算思維的指導(dǎo)下，我們以問題求解作為出發(fā)點(diǎn)，抓住抽象和自動化這兩個核心內(nèi)容，按照“對問題進(jìn)行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”的主線來組織數(shù)理邏輯教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用計算思維分析問題和解決問題的能力。與此同時，在教學(xué)實(shí)施的過程中，盡可能地提煉出各個知識點(diǎn)中關(guān)于計算思維的基本概念和基本方法，把計算思維貫徹到每堂課中。
2.1 從問題出發(fā)引入數(shù)理邏輯
在傳統(tǒng)的數(shù)理邏輯教學(xué)中，開篇的內(nèi)容就是對命題進(jìn)行符號化，但許多學(xué)生并不清楚為什么要進(jìn)行符號化。在計算思維的引導(dǎo)下，我們可以通過如下兩個問題來引人數(shù)理邏輯。
第一個問題是萊布尼茨創(chuàng)立數(shù)理邏輯時的理想：把推理過程像數(shù)學(xué)一樣利用符號來描述，建立直觀而又精確的思維演算，最終得出正確的結(jié)論。形象地說，當(dāng)兩個人遇有爭論時，雙方可以拿起筆說“讓我們來算一下”，就可以很好地解決問題。為了實(shí)現(xiàn)萊布尼茨的理想，基本思路是首先引入一套符號體系，將爭論的內(nèi)容嚴(yán)格地刻畫出來；其次規(guī)定一套符號變換規(guī)則，借助這些符號變換規(guī)則，將邏輯推理過程在形式上變得像代數(shù)演算一樣。
第二個問題是人工智能中的知識表示和知識推理。人工智能中的符號主義學(xué)派認(rèn)為，人的認(rèn)知基元是符號，認(rèn)知過程就是符號操作過程；知識可以用符號表示，也可以用符號進(jìn)行推理，從而建立起基于知識的人類智能和機(jī)器智能的統(tǒng)一理論體系?；谶@種思路，為了在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)智能，我們首先需要將知識用某套符號體系表示出來，然后在此基礎(chǔ)上通過算法進(jìn)行知識推理，最終實(shí)現(xiàn)智能決策等一系列體現(xiàn)智能的功能。
從上述兩個問題出發(fā)，我們可以將命題邏輯和一階謂詞邏輯當(dāng)作兩個工具來引入。與此同時，對于這兩個工具來說，應(yīng)用它們來解決問題的過程又可以被分解為符號化表示和符號化推理兩個階段。因此，我們最終可以從兩個維度上引入數(shù)理邏輯：一個維度是命題邏輯和謂詞邏輯兩個工具，另一個維度是符號化表示和符號化推理兩個過程。與傳統(tǒng)的直接介紹數(shù)理邏輯形式系統(tǒng)的方式相比，這種從問題出發(fā)的引入方式與計算機(jī)專業(yè)學(xué)生的思維方式即計算思維一致。
2.2 從形式化的角度組織教學(xué)內(nèi)容
作為徹底的形式系統(tǒng)，數(shù)理邏輯為培養(yǎng)計算思維中的抽象思維能力提供了非常好的素材。從形式系統(tǒng)自身的角度來看，我們還可以將語法和語義兩個內(nèi)容獨(dú)立出來。在此基礎(chǔ)上，我們用表1對計算機(jī)相關(guān)專業(yè)數(shù)理邏輯部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行概括。
表1列出的知識點(diǎn)與《計算教程CC2001》《中國計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科教程2002》中關(guān)于數(shù)理邏輯的知識點(diǎn)一致。借助這張表，可以讓學(xué)生對數(shù)理邏輯部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容形成一個清晰、全面的認(rèn)識。在教學(xué)過程中，每開始一個新的章節(jié)，我們都可以呈現(xiàn)這張表，幫助學(xué)生知道接下來的學(xué)習(xí)內(nèi)容處于哪個位置，并且加深他們對計算思維中抽象和建模的印象。
需要指出的是，在廣義的數(shù)理邏輯中，介紹形式演算系統(tǒng)時通常是指公理推理系統(tǒng)。公理推理系統(tǒng)從若干條給定的公理出發(fā)，應(yīng)用系統(tǒng)中的推理規(guī)則推演出系統(tǒng)中的一系列重言式。公理推理系統(tǒng)可以深刻揭示邏輯系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì)以及人類的思維規(guī)律，但從計算思維解決問題的角度來看，我們并不關(guān)注公理推理系統(tǒng)。在知識推理中，我們關(guān)注的是從任意給定的前提出發(fā)，判斷能否應(yīng)用推理規(guī)則推演出某個結(jié)論；我們并不要求這些前提和結(jié)論是重言式。因此，對于計算機(jī)專業(yè)的數(shù)理邏輯來說，我們關(guān)注的是自然推理系統(tǒng)，即構(gòu)造證明法。計算思維為我們選擇自然推理系統(tǒng)而不是公理推理系統(tǒng)提供了一個很好的視角。
2.3 在數(shù)理邏輯中強(qiáng)調(diào)自動化
表1的知識點(diǎn)充分體現(xiàn)了計算思維中抽象和對問題建模求解的思維方式，但計算思維中的自動化尚未體現(xiàn)出來。在學(xué)習(xí)了構(gòu)造證明方法之后，學(xué)生一般會形成一個印象，認(rèn)為構(gòu)造證明法使用起來簡單方便，與人們的直觀邏輯思維一致，但使用過程中需要一定的觀察能力和技巧。與之相反的是，計算思維希望能夠通過算法實(shí)現(xiàn)問題的自動求解。
實(shí)際上，在廣義的數(shù)理邏輯中已經(jīng)存在許多自動化證明方法，其中最為典型的是歸結(jié)推理方法和基于Tableau的證明方法。為了判斷能否從給定的前提推導(dǎo)出某個結(jié)論，我們同樣可以采用歸結(jié)推理方法或者基于Tableau的證明方法。具體來說，我們首先對擬證明的結(jié)論進(jìn)行否定，將該否定式與所有前提一起合取起來，然后判斷所得到的合取式是否為可滿足公式；如果不可滿足，則表明可以從給定的前提推導(dǎo)出結(jié)論，否則表明所考察的結(jié)論是不能得出的。換句話說，前提與結(jié)論之間是否可推導(dǎo)的問題被轉(zhuǎn)換為公式可滿足性問題來解決。
歸結(jié)推理方法最早于1965年由Robinson提出，是定理證明中主流的推理方法。《計算教程CC2001》和《中國計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科教程2002》都將其列為人工智能課程的一個重要知識點(diǎn)。由于許多學(xué)校都是將人工智能作為選修課來開設(shè)，因此許多學(xué)生都沒有機(jī)會接觸和學(xué)習(xí)。實(shí)際上，在數(shù)理邏輯的教學(xué)實(shí)踐中，只需要很少的課時就可以把歸結(jié)推理方法講授清楚。具體來說，在講授完構(gòu)造證明法中的歸謬法之后，只需要補(bǔ)充介紹歸結(jié)原理這一條推理規(guī)則就可以了，最多只花費(fèi)半個課時。當(dāng)我們用簡潔的算法把歸結(jié)推理方法描述清楚，讓學(xué)生直觀感受到機(jī)械化的證明過程之后，學(xué)生對計算思維就有了更進(jìn)一步的認(rèn)識和掌握。在有條件的情況下，還可以讓學(xué)生上機(jī)實(shí)現(xiàn)命題邏輯的歸結(jié)推理算法。
基于Tableau的證明方法出現(xiàn)的時間早于歸結(jié)推理方法，最初在1955年就被Beth和Hintikka分別獨(dú)立提出，之后Smullyan在其1968年出版的著作中進(jìn)行了規(guī)范描述。Tableau方法的基本思想是通過構(gòu)造公式的模型來判斷公式的可滿足性。雖然Tableau方法使用的推理規(guī)則不只一條，但每條推理規(guī)則都直觀地體現(xiàn)了邏輯聯(lián)結(jié)詞的語義定義。Tableau方法在早期沒有受到太多關(guān)注，但最近十多年來，隨著描述邏輯成為了知識表示和知識推理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，在描述邏輯推理中發(fā)揮出優(yōu)異性能的Tableau方法得到了越來越多的關(guān)注。鑒于此，在講授完構(gòu)造證明法和歸結(jié)推理方法之后，我們也向?qū)W生簡單描述了Tableau方法，引導(dǎo)學(xué)有余力并且對學(xué)術(shù)前沿感興趣的學(xué)生在課后自學(xué)。
2.4 在分析評估中強(qiáng)化計算思維
在講授數(shù)理邏輯的過程中，我們還可以從許多知識點(diǎn)提煉出計算思維的內(nèi)容，把計算思維貫徹到每個具體的教學(xué)內(nèi)容中。我們列舉體現(xiàn)計算思維的4個典型內(nèi)容進(jìn)行探討。
首先，命題公式和謂詞公式的語法定義為計算思維中的遞歸方法提供了經(jīng)典案例。實(shí)際上，除了公式的語法定義外，數(shù)理邏輯中在對語義的定義、對語法與語義之間關(guān)系的研究、對算法正確性的證明、對算法復(fù)雜度的分析等各項(xiàng)內(nèi)容中都用到了遞歸。由于課時的限制，我們不能在數(shù)理邏輯教學(xué)中對其展開，但可以點(diǎn)出這個情況，讓將來可能繼續(xù)攻讀碩士或博士學(xué)位的學(xué)生留下一個印象。
其次，當(dāng)我們講授了用歸結(jié)推理方法或者Tableau方法進(jìn)行自動推理和問題求解之后，從計算思維的角度看，一個很自然的想法是想知道這種解決方法的求解效率。因此，我們可以對命題邏輯中推理算法的復(fù)雜度進(jìn)行分析。由于我們已經(jīng)把歸結(jié)推理方法通過非常簡潔的算法呈現(xiàn)在學(xué)生面前，因此只需要進(jìn)行簡單的口頭分析就可以得出最壞情況下的算法復(fù)雜度，讓學(xué)生知道命題邏輯的公式可滿足性問題是NP問題。到此為止，在對命題邏輯進(jìn)行講授的過程中，我們引導(dǎo)學(xué)生完成了“對問題進(jìn)行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”的完整流程。如果在后繼課程中再反復(fù)重現(xiàn)這個流程，將可以把這種思維模式固化到學(xué)生大腦中，使得計算思維成為他們?nèi)蘸蠼鉀Q新問題的有效工具。
第三，在講授完命題邏輯之后，我們可以用著名的蘇格拉底三段論作為例子來引入謂詞邏輯。首先我們用命題邏輯對“所有的人都是會死的”“蘇格拉底是人”“蘇格拉底會死的”進(jìn)行符號化，然后展示在命題邏輯下無法從兩個前提推導(dǎo)出后面的結(jié)論，從而說明命題邏輯在表達(dá)能力上的局限，進(jìn)而闡述引入一階謂詞邏輯的原因和思路。從計算思維的角度看，這個過程體現(xiàn)了如何選擇合適的表示方式來陳述一個問題，以及如何確定對問題進(jìn)行抽象和建模的粒度，此外，這個例子還讓學(xué)生直觀感受到了計算工具所具有的能力和局限性。
最后，在講授完一階謂詞邏輯的推理之后，我們可以介紹一階謂詞邏輯的局限，即一階謂詞邏輯是半可判定的，一階謂詞邏輯的歸結(jié)推理算法不一定終止。從計算思維的角度看，這個結(jié)論給了我們一個很好的例子，可以引導(dǎo)學(xué)生分析哪些問題是可計算的，哪些問題是不可計算的。在此基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步闡述邏輯系統(tǒng)的表達(dá)能力與推理能力之間存在的矛盾關(guān)系：一階謂詞邏輯在表達(dá)能力上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過命題邏輯，但其推理能力僅僅為半可判定；命題邏輯可判定，但描述能力不強(qiáng)。從計算思維的角度看，此時我們可以引入“折中”這個概念，訓(xùn)練學(xué)生在解決問題的過程中抓住主要矛盾，忽略次要矛盾。更進(jìn)一步地，我們向?qū)W生簡單介紹目前作為知識表示和知識推理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)的描述邏輯：早期的描述邏輯通常被看做一階謂詞邏輯的子語言，在表達(dá)能力上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過命題邏輯，但在推理能力上保持了可判定性。這些補(bǔ)充內(nèi)容既能讓學(xué)生接觸到學(xué)科前沿，又能幫助學(xué)生深刻理解如何根據(jù)問題的主要矛盾來選擇合適的工具。
3 結(jié)語
總的來說，數(shù)理邏輯很好地詮釋了計算思維并為其提供了生動的案例。將數(shù)理邏輯的教學(xué)與計算思維培養(yǎng)結(jié)合起來，一方面可以從計算思維的角度重新審視和組織數(shù)理邏輯的課堂教學(xué)，取得更好的教學(xué)效果；另一方面能加強(qiáng)對計算思維能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能夠更好地應(yīng)用計算思維來解決問題。
計算思維的培養(yǎng)不是通過一兩門課程的教學(xué)就能解決的問題，而是應(yīng)該貫穿于所有的專業(yè)課程教學(xué)中。要實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo)，要求授課教師不僅僅照本宣科以教會學(xué)生課本上的知識為目的，而要能夠從計算思維的高度來看待所講授的課程，對所講授的課程中含有的計算思維基本概念、方法和思想不斷進(jìn)行提煉，從計算思維的角度對課程進(jìn)行重新梳理和建設(shè)。進(jìn)行教學(xué)改革的目標(biāo)是要更好地培養(yǎng)學(xué)生的計算思維能力，在實(shí)施教學(xué)改革的過程中，授課教師的計算思維能力也得到不斷的提升和加強(qiáng)。
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第2篇：邏輯中的基本推理方式范文
〔中圖分類號〕 G718.3 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 A
〔文章編號〕 1004—0463（2013）19—0052—01
人們在認(rèn)識過程中借助于概念、判斷、推理等邏輯思維形式反映客觀現(xiàn)實(shí)，只有經(jīng)過邏輯思維，人們才能達(dá)到對事物本質(zhì)的把握，進(jìn)而認(rèn)識客觀世界。在課堂教學(xué)中，教師要充分運(yùn)用邏輯思維，在使學(xué)生掌握課堂知識的同時也使學(xué)生受到良好的思維訓(xùn)練，使課堂教學(xué)更加精彩。要上好一堂課，教師必須要有扎實(shí)的業(yè)務(wù)知識和良好的授課技能。在課堂教學(xué)中，邏輯思維通過歸納和演繹，分析和綜合，從具體到抽象、從抽象到具體等方式對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行闡述及講解，目的是讓學(xué)生明確概念，準(zhǔn)確判斷以及嚴(yán)密論證。因此，邏輯思維貫穿教學(xué)過程，在課堂教學(xué)過程中，教師要充分應(yīng)用邏輯思維的方法，啟發(fā)學(xué)生思考，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用邏輯思維去分析和解決問題。
一、邏輯思維的基本內(nèi)涵
一般來說，思維可分為邏輯思維和非邏輯思維這兩大部分，邏輯思維的最初理論是由古希臘哲學(xué)家亞里士多德（Aristotle，公元前384—322年）首先創(chuàng)立的。該理論主要是對思維的形式和規(guī)律進(jìn)行研究，其學(xué)科性質(zhì)類似于語法學(xué)。邏輯思維是人類所特有的一種高級心理活動，它是人類大腦反映客觀事物的一般特性以及客觀事物間相互關(guān)系的一種過程，它以感知為基礎(chǔ)，同時又超越感知的界限，是一系列復(fù)雜的心理操作，是一個動態(tài)的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)。邏輯思維的基本形式主要包括概念、判斷和推理之間的結(jié)構(gòu)和聯(lián)系。形式邏輯的主要內(nèi)容包括關(guān)于正確思維的三個基本規(guī)律和演繹推理的基本形式，即同一律、矛盾律、排中律以及思維形式——概念、判斷與推理。
二、邏輯思維的主要形式及其在課堂教學(xué)中的運(yùn)用
概念、判斷、推理是邏輯思維的主要形式，教學(xué)是一門語言藝術(shù)，良好的語言駕馭與嚴(yán)密的邏輯思維密不可分。課堂教學(xué)內(nèi)容紛繁復(fù)雜，只有充分運(yùn)用邏輯思維方法才能做到概念明確，判斷準(zhǔn)確，推理嚴(yán)密等。在課堂教學(xué)中能否達(dá)到以上要求，成為能否充分發(fā)揮邏輯思維作用的關(guān)鍵。
1.概念明確——上好課的基礎(chǔ)。概念是反映對象的本質(zhì)屬性的思維形式。人類在認(rèn)識過程中，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，把所感知事物的共同本質(zhì)特點(diǎn)抽象出來，加以概括，就成為概念。課堂教學(xué)是用一定系列范疇內(nèi)的概念構(gòu)筑而成的。要明確概念，首先要對概念的基本要素進(jìn)行分析，初步掌握概念內(nèi)涵，然后通過對概念基本要素的綜合以及相似概念間的分類與比較，充分理解概念的外延。
2.判斷準(zhǔn)確——準(zhǔn)確表達(dá)思想的重要條件。不論在日常生活還是在課堂教學(xué)中，我們都離不開判斷，離不開抉擇。培養(yǎng)和熏陶學(xué)生的判斷能力不僅有益于他們獲得課堂知識，更符合綜合素質(zhì)培養(yǎng)的要求。課堂教學(xué)中，判斷不僅僅是簡單的對與錯，更應(yīng)是對事物發(fā)生發(fā)展的過程進(jìn)行判斷，通過歸納、演繹讓準(zhǔn)確的判斷隨嚴(yán)密的推理同時進(jìn)行。
第3篇：邏輯中的基本推理方式范文
關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；自動推理；吳方法
中圖分類號：O158文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1007-9599 (2010) 06-0000-00
Application of Wu's Method in Predicate Calculus Discrete Mathematics Teaching
Li Yi
(University of Electronic Science and Technology,National Computer Experiment Teaching Center,Chengdu610054,China)
Abstract:Discrete Mathematics is an important branch of modern science,is the basic theory of computer science core curriculum,and predicate logic is one of the important contents.How to Computer Automated Reasoning another classic method - Wu introduced into the teaching of discrete mathematics is the focus of this issue.
Keywords:Discrete mathematics;Automated reasoning;Wu's method
一、引言離散數(shù)學(xué)是計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的一門核心課程
作為數(shù)學(xué)的一個分支，其研究的對象是各種各樣的離散量的結(jié)構(gòu)及其離散量之間的關(guān)系。通過這門課程的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生們嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維能力。同時，離散數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯理論、數(shù)字邏輯理論、算法分析、邏輯程序設(shè)計、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、容錯診斷、機(jī)器定理證明、計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、人工智能等課程有著緊密的聯(lián)系。
離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要包括數(shù)理邏輯、集合論、抽象代數(shù)、格、布爾代數(shù)以及圖論。對于工科學(xué)生，教學(xué)中，不僅要從數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)密性上去論述所涉及的數(shù)學(xué)理論知識，更要注重培養(yǎng)學(xué)生了解這些數(shù)學(xué)知識在計算機(jī)科學(xué)諸領(lǐng)域中所起的應(yīng)用作用。數(shù)理邏輯往往是工科學(xué)生在學(xué)習(xí)離散課程中最早接觸的內(nèi)容，且與人工智能和定理機(jī)器證明有著極大的聯(lián)系。因此，如何讓學(xué)生學(xué)好數(shù)理邏輯將直接關(guān)系到學(xué)生邏輯推理能力提高。謂詞演算的演繹推理是數(shù)理邏輯部分的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，里面涉及到大量的知識點(diǎn)。教學(xué)實(shí)踐表明，工科學(xué)生對這部分的內(nèi)容往往難以掌握。而大部分院校在講授謂詞演算推理時，往往采用“紙和筆”的形式向?qū)W生演示整個推理的過程，甚少采用人機(jī)交互的方式。
本文中，針對謂詞演算的演繹和推理，我們探討了如何將吳方法引入到該教學(xué)內(nèi)容中，以此從側(cè)面來幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)，加深他們對計算機(jī)自動推理的認(rèn)識，提高學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯的熱情。
二、謂詞演算的演繹和推理
在謂詞邏輯中，為了研究命題內(nèi)的內(nèi)在聯(lián)系就必須對命題做進(jìn)一步的分解。
例1：小王是老師
對上述命題進(jìn)行分解得到：首先，這里的“小王”被稱為個體；“是老師”被稱為謂詞。如果用字每s來表示小王，用字母Q來表示謂詞“是學(xué)生”。那么，上述命題可表為Q(s)。當(dāng)需要描述個體間的關(guān)系時，就要引入二元謂詞。
例2：10小于3
引進(jìn)謂詞Q，則上述命題可表位Q(10,3)。
此外，為了更好地刻畫命題函數(shù)所表達(dá)的意思，往往還需要引進(jìn)量詞： 。在引入了個體、謂詞和量詞之后，謂詞邏輯的表達(dá)就更加廣泛了。如：
例3：并非所有的實(shí)數(shù)都是有理數(shù)
引進(jìn)謂詞R和Q，有 。
命題演算系統(tǒng)是被包含在謂詞演算系統(tǒng)之中。因此，在謂詞演算系統(tǒng)內(nèi)，除了要使用命題演算系統(tǒng)所使用的RP，RT和CP規(guī)則外，還要引入關(guān)于量詞的4條重要性質(zhì)的推理規(guī)則：
US（全稱特指規(guī)則）：
ES（存在特指規(guī)則）：
UG（全稱推廣規(guī)則）：
EG（存在推廣規(guī)則）：
應(yīng)用上述4條規(guī)則以及命題演算的推理規(guī)則，使得謂詞演算公式的推理過程可類似于命題演算中推理理論那樣進(jìn)行。這樣的推理方法常常需要一些技巧，在教學(xué)過程也很少通過計算機(jī)向?qū)W生演算整個推理過程。為了加深學(xué)生對計算機(jī)自動推理的理解，并便于人機(jī)交互的形式去演示推理過程，我們將計算機(jī)代數(shù)中的經(jīng)典推理方法――吳方法引入到謂詞演算推理的教學(xué)中。不同于前面介紹的經(jīng)典邏輯推理，吳方法的引入實(shí)現(xiàn)了幾何、代數(shù)命題推理的機(jī)械化。
三、幾何定理機(jī)器證明
定理的機(jī)器證明是自動推理和符號計算領(lǐng)域最為活躍的分支之一。我國數(shù)學(xué)家吳文俊在70年代末提出的吳方法是在計算機(jī)上證明和發(fā)現(xiàn)幾何定理，解決各種幾何問題的有效工具。定理機(jī)器證明的思想可追溯到17世紀(jì)的G.W.Leibniz和R.Descartes。它的目標(biāo)是要把一類數(shù)學(xué)問題當(dāng)作一個整體，建立一種統(tǒng)一的，確定的證明過程，使得該類的定理只要按程序步驟機(jī)械地進(jìn)行下去，在有限步后，就一定能判斷出定理的真?zhèn)巍＿@方面的工作可分為：以Hebrand理論及歸結(jié)原理為代表的邏輯方法；以A.Newll及H.A.Simon等人的工作為代表的人工智能方法；以Tarski理論和吳方法為代表的代數(shù)方法。吳方法從提出至今，已在世界各國廣泛傳播，并出現(xiàn)了大量的學(xué)術(shù)論著。吳方法的發(fā)現(xiàn)使初等幾何真正跨入了機(jī)械化階段。當(dāng)人們在初等幾何范圍內(nèi)提出新命題而不知真假時，只要上機(jī)一試，便知分曉。而人的工作則主要是猜測、發(fā)現(xiàn)，并從機(jī)器證明的定理中挑選最漂亮的加以分析。吳方法的基本思想非常樸素：把幾何命題化為代數(shù)形式加以處理。
例4：設(shè)梯形ABCD的兩條對角線之中點(diǎn)的連線EF與梯形的一邊AB相交，那么直線EF將線段AB平分（如圖）。
當(dāng)然，對此例，可以使用謂詞邏輯的推理方法進(jìn)行推斷定理的真?zhèn)?。這種推理方法需要一些技巧才能完成，且推理過程在教學(xué)中不便于通過計算機(jī)采用人機(jī)交互方式進(jìn)行演示。因此，我們采用吳方法來進(jìn)行自動推理，使得整個推理過程可通過計算機(jī)實(shí)時演示，從而使教學(xué)過程可視化。根據(jù)吳方法，
第一步，選取Descartes坐標(biāo)系，不失一般性，將各點(diǎn)坐標(biāo)依次選為：
于是，定理的假設(shè)由下列關(guān)系構(gòu)成：
E是AC中點(diǎn)
F是BD中點(diǎn)
M是AB和EF交點(diǎn)
要證明的結(jié)論是：
M是AB中點(diǎn)
至此，我們已經(jīng)完成了吳方法證明定理的第一步：用解析幾何方法將問題代數(shù)化。剩下的問題就是，在假設(shè)一組多項(xiàng)式為0的條件下，求證另一組多項(xiàng)式為0。對本例，這就是：
設(shè) 求證
第二步，吳-ritt整序原理。將 或 中的變元 消去，得到一個導(dǎo)元為 的多項(xiàng)式，再用 將該多項(xiàng)式中的 消去，繼而將 或 中的 消去。最后得到 的特征列為
其中， 。
第三步，偽除。即對 ，都有 。這說明，在非退化條件 下，定理是成立的。事實(shí)上，這些非退化條件是有幾何意義的：
AD不與BC重合；
AB不與AD垂直；
ABCD不是平行四邊形。
從上述過程易見，吳方法將推理的過程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程組整相關(guān)的問題。
四、推理平臺Maple
上述的三個步驟完全可以在計算機(jī)上通過人機(jī)交互的方式進(jìn)行計算推理。這里，我們主要采用計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple進(jìn)行上述推理計算。
Maple是1980年由加拿大waterloo大學(xué)開發(fā)出來的。
當(dāng)初開發(fā)Maple的目的是為了解決繁雜的代數(shù)運(yùn)算問題。如今其版本已提升到Maple13，并已發(fā)展成一個相當(dāng)完備的軟件。它提供的數(shù)學(xué)元算工具相當(dāng)完備，氣符號運(yùn)算能力使我們能一步一步地進(jìn)行復(fù)雜的公式推導(dǎo)。對例4中的推理，我們僅需要將 對應(yīng)的表達(dá)式鍵入到Maple工作區(qū)中；然后，調(diào)用Maple函數(shù) 計算 的值是否均為0。若是，則定理為真；否則，定理為假。此方法雖然是代數(shù)的，但它提供了一個可視化的方式去引導(dǎo)學(xué)生對計算機(jī)推理的認(rèn)識。同時，通過在課堂上比較邏輯推理和吳法代數(shù)推理之間的差異和各自的特點(diǎn)，加深學(xué)生對謂詞演算推理方式的理解。
五、結(jié)束語
由于謂詞演算的推理涉及到大量規(guī)則的使用，因此在利用相關(guān)規(guī)則推理時，需要一定的技巧性。在教學(xué)方法上，針對工科學(xué)生的特點(diǎn)，我們不僅要注重啟發(fā)創(chuàng)新，引入新方法，使教學(xué)內(nèi)容豐富多彩，而且還要培養(yǎng)學(xué)生們的嚴(yán)密的邏輯思維能力。具體體現(xiàn)在，教學(xué)中，多采用可視化強(qiáng)，可人機(jī)交互的方式進(jìn)行授課，從而便于學(xué)生容易理解和接受。對大部分概念都用實(shí)例加以說明；強(qiáng)化基本概念的描述，注重基本理論的證明方法。此外，對同一個問題，引導(dǎo)學(xué)生采用多種方法進(jìn)行求解，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。通過開設(shè)實(shí)驗(yàn)課，使學(xué)生們不僅要掌握書上的理論知識，還要讓他們了解這些知識的應(yīng)用背景，真正做到學(xué)以致用。
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第4篇：邏輯中的基本推理方式范文
關(guān)鍵詞：系統(tǒng)；真值表；主合取范式
中圖分類號：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）30-039-01
一、需求分析
1、可行性研究
可行性研究的目的是用最小的代價在盡可能短的時間內(nèi)確定該軟件項(xiàng)目是否能夠開發(fā)，是否值得開發(fā)?？尚行匝芯繉?shí)質(zhì)上是要進(jìn)行一次簡化、壓縮了的需求分析和設(shè)計過程，要在較高層次上以較抽象的方式進(jìn)行需求分析和設(shè)計過程。
本系統(tǒng)采用 vb 技術(shù)并且結(jié)合當(dāng)前主流的開發(fā)技術(shù)進(jìn)行開發(fā)，為了方便教學(xué)演示，提高教學(xué)的工作效率和簡便性，為了適應(yīng)新形勢的發(fā)展，我開發(fā)了這一系統(tǒng)，只能說是初步的開發(fā)探索。希望它能夠在現(xiàn)代的數(shù)理邏輯方面的教學(xué)中發(fā)揮快速，便捷的作用，希望可以減輕教師繁重的教學(xué)工作量。用戶僅需具有基本的電腦操作能力即可。所以使用者不必?fù)?dān)心在使用該系統(tǒng)時可能出現(xiàn)的困難，所有的教師都可以熟練的操作。
2、專業(yè)知識的需求
范式是對含n個命題變元公式的標(biāo)準(zhǔn)表示形式，就像一元二次方程是方程的一種標(biāo)準(zhǔn)形式。范式有析取范式和合取范式兩種。由于析取范式和合取范式不唯一，所以使用起來很不方便。為此，我們引入主析取范式和主合取范式的概念。當(dāng)命題變元的順序確定以后，主析取范式和主合取范式是唯一的。析取范式和合取范式的基本成分是簡單合取式和簡單析取式，而主析取范式和主合取范式的基本成分是極小項(xiàng)和極大項(xiàng)。極小項(xiàng)和極大項(xiàng)是特殊的簡單合取式和簡單析取式。全部由極小項(xiàng)構(gòu)成的析取范式，稱為主析取范式。任何命題公式都存在著與之等值的主析取范式。利用主析取范式解決生活中實(shí)際應(yīng)用的邏輯題非常容易。
下面的例題是對主析取范式和主合取范式的應(yīng)用。
例1 A、B、C、D四個人有且只有兩個人參加圍棋比賽。關(guān)于誰參加比賽，下列四個判斷都是正確的：
a.A和B只有一人參加比賽；b.C參加，D必參加；c.B或D至多參加一人；d D不參加，A也不會參加。請推斷出哪兩個人參加圍棋比賽。
解 設(shè)p：A參加了比賽。 q：B參加了比賽。
r：C參加了比賽。 s：D參加了比賽。
3、命題邏輯推理理論
人們在思維過程中，總是根據(jù)已有的知識，反映更為復(fù)雜的事物之間的聯(lián)系，從而擴(kuò)大認(rèn)識領(lǐng)域，獲得新的知識。如，人們根據(jù)氣象分析，可以做出天氣預(yù)報。這是一種由已知推斷未知的思考活動，反映這種思維活動的思維形式就是推理。推理是由一個或幾個已知命題推出新命題的思維形式。
每個推理都包含著兩部分的命題：一部分是已知的命題，它是推理的根據(jù)，叫做推理的前提；另一部分是由此而推導(dǎo)出的命題，叫做推理的結(jié)論。
這里的推理與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的定理證明不同。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，定理的證明實(shí)質(zhì)上是由全是真命題的前提（已知條件）推出也是真命題的結(jié)論，目的是證明結(jié)論的正確（這樣的結(jié)論可以稱為合法結(jié)論）。數(shù)理邏輯中的推理著重研究的是推理的過程，這種過程稱為演繹或形式證明。在過程中使用的推理規(guī)則必須是公認(rèn)的并且要明確列出，而作為前提和結(jié)論的命題并不要求它們一定是真命題，這樣的結(jié)論稱為有效的結(jié)論。
結(jié)論是從前提出發(fā)應(yīng)用推理規(guī)則推出的命題公式。證明是描述推理正確或錯誤的過程。要研究推理，首先應(yīng)該明確什么樣的推理是有效的或正確的。要想知道推理的正確與否，必須寫出正確的推理公式，利用該演示系統(tǒng)求得結(jié)果為1，推理必正確，不為1，推理不正確。
二、系統(tǒng)演示
1、命題邏輯有時稱為命題演算，是一種用于命題操作的符號邏輯。特別的，命題邏輯針對邏輯變量進(jìn)行運(yùn)算，邏輯變量代表了命題。此外，命題邏輯有時也稱為語句演算或句子演算。命題邏輯主要考察那些或者為真或者為假的陳述性句子?！耙粋€正方形有四條邊?！边@樣一個句子的真值為真，“一個正方形有五條邊。”這樣一個句子的真值為假。一個真值確定的句子稱為一個語句或一個命題。一個語句也叫做一個封閉句子，因?yàn)樗恼嬷祵θ魏螁栴}都不會不確定。通過在語句間使用邏輯聯(lián)結(jié)詞，就可以形成復(fù)合語句。
第5篇：邏輯中的基本推理方式范文
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 邏輯 教學(xué)
一、高中數(shù)學(xué)邏輯
1、現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)邏輯的基本內(nèi)容
早在1956年的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，就首次提出了要發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，涉及了“定義、公理、定理”等邏輯基本知識。之后，邏輯知識的學(xué)習(xí)就成為數(shù)學(xué)大綱的一個重要組成部分，內(nèi)容不斷豐富，針對性不斷增強(qiáng)。到2003年，教育部頒布了新的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》，其中常用邏輯用語作為單獨(dú)的一章被列入高中數(shù)學(xué)選修1-1和選修2-1中，推理與證明內(nèi)容作為單獨(dú)的一章被列入選修1-2和選修2-2中。其具體要求為學(xué)生能了解、體會邏輯用語在表述和論證中的作用，并且能夠利用邏輯用語準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容。經(jīng)過一定的訓(xùn)練之后，可以形成自覺地利用邏輯知識對一些命題間的邏輯關(guān)系進(jìn)行分析和推理的意識，發(fā)展學(xué)生利用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述問題、規(guī)范闡述論證過程的能力。
具體而言，高中數(shù)學(xué)的邏輯教學(xué)內(nèi)容主要涉及常用的邏輯用語和邏輯推理方法。常用的邏輯用語包括：（1）各種命題。（2）簡單的邏輯用語。（3）量詞及命題的否定。（4）四種命題及相互關(guān)系。（5）充分條件和必要條件。邏輯推理包括：（1）三段論推理。（2）合情推理。（3）思維要符合邏輯。以上的八個方面基本涵蓋了目前高中數(shù)學(xué)的邏輯知識類型。
2、高中數(shù)學(xué)邏輯知識的價值
在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，盡管專門的邏輯教學(xué)內(nèi)容不足十課時，但是所涉及的常用邏輯用語和邏輯推理規(guī)則及方法卻貫穿于全部的數(shù)學(xué)知識之中。除此之外，高中數(shù)學(xué)所學(xué)邏輯的價值絕不僅僅限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在日常生活的諸多領(lǐng)域都起著非常重要的作用。
（1）應(yīng)用價值。數(shù)學(xué)邏輯知識首先是為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，上文提過數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，一個命題的成立與否、幾個命題之間的關(guān)系的證明都需要邏輯的參與。學(xué)好這些簡單的邏輯用語、推理方法及規(guī)則是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域之外，其同樣也起著重要的作用。例如機(jī)器證明、自動程序設(shè)計、計算機(jī)輔助設(shè)計、邏輯電路等計算機(jī)應(yīng)用和理論等都是以這些簡單的邏輯用語和推及規(guī)則為最根本的基礎(chǔ)，甚至在經(jīng)濟(jì)、政治、哲學(xué)、文學(xué)等各個學(xué)科中，這些在高中學(xué)到的基本的邏輯知識也是必不可少的。
（2）思維價值。數(shù)學(xué)學(xué)科的一個重要目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生抽象的邏輯思維能力。瑞士心理學(xué)家皮亞杰的心理發(fā)展階段論認(rèn)為，學(xué)生在高中階段是以經(jīng)驗(yàn)型為主的思維方式向理論型抽象思維過渡的階段，這個時期邏輯思維占主導(dǎo)地位。而此時若進(jìn)行簡單邏輯知識的學(xué)習(xí)有利于最大限度地促進(jìn)學(xué)生的思維訓(xùn)練，促進(jìn)邏輯能力的培養(yǎng)。
二、高中數(shù)學(xué)邏輯教學(xué)中的問題和相關(guān)教學(xué)方法
目前在高中數(shù)學(xué)邏輯的教學(xué)中存在著不少問題，有的是因?yàn)榻處熤R儲備和教學(xué)方法等方面的原因，有的是因?yàn)閷W(xué)生的認(rèn)知能力有限方面的原因。下面是幾個有代表性的問題和相關(guān)教學(xué)方法的建議。
1、對命題的理解。課本中的“命題”定義為“能夠判斷真假的語句叫做命題”。但在學(xué)習(xí)過程中，有的學(xué)生認(rèn)為命題一定要有條件和結(jié)論，即命題都可以改寫為“如果……，那么……”的形式。而對于“3>2”，因其不能改寫成“如果……，那么……”的形式，就認(rèn)為這不是一個命題。為了避免學(xué)生產(chǎn)生這種思維定勢，教師在教學(xué)中應(yīng)該不能過多地使用“如果……，那么……”來解釋命題，同時要明確指出“如果……，那么……”只是命題的一種典型的格式而已。
2、邏輯聯(lián)結(jié)詞的掌握。邏輯聯(lián)結(jié)詞，主要是“或”“且”“非”三個，是高中數(shù)學(xué)邏輯知識的重要內(nèi)容。準(zhǔn)確地掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞及其相互間的關(guān)系，就可以將復(fù)雜的復(fù)合命題分解為若干個簡單命題，使命題簡單化。有的學(xué)生將數(shù)學(xué)邏輯語言中的“或”“且”“非”與自然語言中的“或”“且”“非”混淆，辨別不清，產(chǎn)生錯誤。例如“4的平方根是2或-2”，如果“或”理解為邏輯聯(lián)結(jié)詞，意思是對的；然而理解為自然語言中的“或”就是不恰當(dāng)?shù)恼f法，這會讓學(xué)生產(chǎn)生疑惑。因此在教學(xué)中，教師應(yīng)該嚴(yán)格地區(qū)分自然語言和數(shù)學(xué)邏輯語言的區(qū)別，并明確指出兩者之間的差別。因此，上文命題嚴(yán)格說法應(yīng)是“4平方根有兩個，是2和-2”，或直接說成“4的平方根是2和-2”，這樣就不易造成混淆。
三、全稱量詞和存在量詞的理解
第6篇：邏輯中的基本推理方式范文
語義網(wǎng)通過對網(wǎng)頁中的信息增加元數(shù)據(jù)，以及改善網(wǎng)頁結(jié)構(gòu)等，使得網(wǎng)頁中的信息更加規(guī)范。描述邏輯是語義網(wǎng)的邏輯基礎(chǔ)，如果語義網(wǎng)需要對其表達(dá)的知識進(jìn)行推理，則需要運(yùn)用描述邏輯的推理能力。目前，對于普通表達(dá)能力的描述邏輯語言ALC來說，如果不加以優(yōu)化，很難應(yīng)用在網(wǎng)絡(luò)化的環(huán)境之中。本文就此展開討論利用近似化來提高描述邏輯的推理效率。
【關(guān)鍵詞】描述邏輯；近似化；網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用
【中圖分類號】TP393.08【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A【文章編號】2095-3089（2012）12-0122-02
引言
網(wǎng)絡(luò)如今已經(jīng)成為人們生活不可或缺的一部分，現(xiàn)代生活已經(jīng)越來越離不開網(wǎng)絡(luò)。然而，現(xiàn)有的萬維網(wǎng)技術(shù)，是基于超文本標(biāo)記語言的。由于html的目標(biāo)在于相同的信息可以被共享，而這些信息沒有元數(shù)據(jù)標(biāo)記，格式也不夠規(guī)范，因此不利于機(jī)器處理這些信息。為了讓機(jī)器更好的處理網(wǎng)絡(luò)資源，萬維網(wǎng)創(chuàng)始人Tim Berners-Lee認(rèn)為下一代網(wǎng)絡(luò)將是語義網(wǎng)。運(yùn)用語義網(wǎng)，能夠極大的加強(qiáng)知識共享，提高知識處理的自動化程度。而語義網(wǎng)的技術(shù)就是描述邏輯。
1描述邏輯簡介
1.1網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的知識表示：語義網(wǎng)絡(luò)和框架表示法比較相似，因此有的研究者把語義網(wǎng)絡(luò)和框架表示法統(tǒng)成為槽和填充值。不過在語義上，框架表示法更強(qiáng)調(diào)事物的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而語義網(wǎng)更強(qiáng)調(diào)事物之間的關(guān)系。
雖然網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的知識表示能夠清晰地刻畫事物的抽象模型，建立層次分類體系、實(shí)現(xiàn)特性繼承機(jī)制，并且在自然語言處理等應(yīng)用中取得了很好的效果，但是，由于其缺乏嚴(yán)格的邏輯理論基礎(chǔ)，并不適合演繹推理。此時，描述邏輯應(yīng)運(yùn)而生。
1.2描述邏輯的內(nèi)容：描述邏輯是知識表示體系族最近才使用的名字，首先，通過定義該領(lǐng)域內(nèi)的相關(guān)概念，表示一個應(yīng)用領(lǐng)域的知識；然后，使用這些概念指明出現(xiàn)在該領(lǐng)域內(nèi)的對象和個體的性質(zhì)。描述邏輯支持出現(xiàn)在很多智能信息處理系統(tǒng)的應(yīng)用中的推理模式，它也是人們用來構(gòu)建和理解世界的：概念和個體的分類。
2近似化推理的基本思想和方法
2.1近似推理的基本思想：近似化推理概念作為一個新的概念，其基本思想如下：在描述邏輯源語言中有個概念C，在描述邏輯目標(biāo)語言中找出與它最接近的上位或者下位概念D。Groot等[1]對近似方法做了概括，認(rèn)為近似推理主要可以分為以下三種：
（1）語言弱化；
（2）知識編譯；
（3）近似演繹：近似演繹在推理的過程中，通過減弱邏輯結(jié)果的正確性來提高推理的速度[3]。
本文主要探討如果利用近似演繹的方法來對描述邏輯的推理過程進(jìn)行近似化。
2.2近似演繹的幾種方法：Schaerf等[3]提出的方法有如下好處，良好的語義，良好的計算復(fù)雜度，可改良性，兩面性，靈活性。文章對ALE做了深入的分析，并對ALC做了討論，但是文章缺乏實(shí)際的測試和分析，Groot等對該方法做了擴(kuò)展和實(shí)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)其并不適合當(dāng)前的大部分本體[1]。Stuckenschmidt[4]提出近似化的方法，通過逐步求精來實(shí)現(xiàn)。
Hitzler列舉了一些一階謂詞邏輯中的近似方法，認(rèn)為它們并不能很好的應(yīng)用在語義網(wǎng)中[5]。Horrocks[2]的文章主要是對ABox中，個體之間沒有角色關(guān)系的一種推理，并不是真正意義上的近似。
3描述邏輯推理近似化
3.1個體獲取的語義計算：個體獲取一般有一下兩種方法：
（1）對于ABox中的個體a，在ABox中增加斷言﹁C（a），如果導(dǎo)致ABox不一致，那么說明個體a是概念C的一個實(shí)例。因此遍歷ABox中所有的個體a，就可以得到概念C的所有個體的集合。
（2）TBox中的概念被分類得到一個層次。TBox中的每一個概念都有一個個體集合，該概念是該集合中的個體的最具體概念。如果要獲取概念C的對應(yīng)個體，那么通過分類，可以得到概念C的所有子概念CSub，CSub的所有對應(yīng)的個體的和即概念C對應(yīng)的個體集合。
個體獲取的語義計算依賴于方法2，其主要思想是根據(jù)描述邏輯的運(yùn)算符進(jìn)行計算。
3.2個體獲取的近似計算：個體獲取的第二個方法是通過概念之間包含關(guān)系的計算，得到概念在TBox分類層次中的位置，更精確的說，當(dāng)需要求概念C的個體集合時，需要通過概念之間的包含關(guān)系的判斷，得到概念C的所有子概念，這些子概念對應(yīng)的個體集合之和就是概念C對應(yīng)的個體集合。而在TBox中的這些子概念對應(yīng)的個體集合，是預(yù)先通過最具體概念求得的。由于計算概念包含關(guān)系是一個NP問題，因此如何通過近似計算來近似地獲得概念包含關(guān)系，可以極大的提高個體獲取的速度。為了避免與所有的概念進(jìn)行比較，可以通過預(yù)處理減少需要進(jìn)行比較的概念的個數(shù)。
3.3推理過程的復(fù)雜度估計：ALC可滿足問題的推理過程可以視為一個擴(kuò)展AND-OR樹的過程[6]。其中AND-分支對應(yīng)于一個節(jié)點(diǎn)的所有后繼，OR-分支對應(yīng)于非確定性規(guī)則的應(yīng)用時的不同選擇。由此可以看出，ALC指數(shù)級時間復(fù)雜度的來源有兩方面的原因：AND-分支對應(yīng)于單個模型的指數(shù)級規(guī)模，OR-分支對應(yīng)于指數(shù)級的概念的模型個數(shù)。
OR-分支因?yàn)椤冗\(yùn)算符的存在而產(chǎn)生?！冗\(yùn)算符使得同一概念可能存在多個模型。ALU是分析復(fù)雜度的來源一個較佳語言，其中由交∩，并∩以及對概念名稱的求補(bǔ)操作。實(shí)際上，ALU的復(fù)雜度，可以由將ALU，歸約為命題邏輯的可滿足性來獲得。許多包含問題的復(fù)雜度都是通過發(fā)掘時間復(fù)雜度的這個來源，把問題歸約為非包含問題來獲得證明[7，8]。
3.4基于分區(qū)的近似化：隨著本體論、語義網(wǎng)絡(luò)、本體編輯工具等研究的逐漸發(fā)展，本體的規(guī)模不斷增長，并且不同的本體之間的交互也越來越多。OWL還定義了本體的版本，本體包含、交叉引用等語法。本體規(guī)模的擴(kuò)大對描述邏輯提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。為了應(yīng)對大規(guī)模的本體，研究者們提出了分區(qū)的概念。應(yīng)用分區(qū)技術(shù)，可以大本體分割成較小規(guī)模的本體，減小問題的大小，使得本體易維護(hù)、易、易驗(yàn)證、易處理、易近似化。
4總結(jié)
隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模急劇增加，使用傳統(tǒng)的描述邏輯推理方式很難處理這些大規(guī)模的知識庫，為了提高描述邏輯的處理效率，基于網(wǎng)格搜索的特點(diǎn)，提出了語義搜索近似化的方法。為了提高描述邏輯的推理效率，一方面從改進(jìn)推理器本身入手，即有效地利用推理過程中的信息來優(yōu)化后續(xù)的推理過程。另一方面利用近似化的方法，犧牲一定的準(zhǔn)確性來提高推理效率。其中分布式描述邏輯，ABox概化這兩種優(yōu)化措施，將是描述邏輯推理的兩個重要方向。
描述邏輯是下一代網(wǎng)絡(luò)，即語義網(wǎng)的一個核心。為了能夠處理網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的搜索問題，本文對描述邏輯的近似化推理和推理個性化問題進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究。但是目前語義搜索的實(shí)際應(yīng)用還遠(yuǎn)未能成為一個現(xiàn)實(shí)，還需要大量學(xué)者的共同努力。
參考文獻(xiàn)
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第7篇：邏輯中的基本推理方式范文
關(guān)鍵詞 初中數(shù)學(xué) 綜合法與分析法 幾何證明
中圖分類號：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）10-0022-02
上個世紀(jì)，西方著名科技史家李約瑟提出了的著名“李約瑟難題”――“為什么現(xiàn)代科技不是誕生在曾經(jīng)在各個方面引領(lǐng)世界的中國”，而偉大的科學(xué)家愛因斯坦仿佛是為了回答這一著名“難題”而提出“愛因斯坦論斷”――“希臘哲學(xué)家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及（在文藝復(fù)興時期）發(fā)現(xiàn)通過系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)可能找出因果關(guān)系。在我看來，中國的賢哲沒有走上這兩步……”
時至今日，也許是被“愛因斯坦論斷”所深深地刺痛，也許是中國教育界對幾何演繹推理對于學(xué)生邏輯思維能力的教育價值有了深刻的認(rèn)識，在歐美主要發(fā)達(dá)國家已經(jīng)放棄初中幾何演繹推理教學(xué)，而只需要學(xué)生能用矢量法解決一些基本的幾何論證時，我國在新課標(biāo)中依然將幾何推理證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個重要內(nèi)容。
新課標(biāo)雖然對幾何證明的內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整、難度要求降低、證明技巧淡化，但對幾何證明教學(xué)的最基本能力要求其實(shí)并沒有降低，課標(biāo)中已明確指出：在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。雖然新的課程理念要求，推理過程不能過繁，一切從簡，但證明的過程要求做到事實(shí)準(zhǔn)確、道理嚴(yán)密、證明過程完整。
幾何證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)，其難點(diǎn)在于如何運(yùn)用眾多的定義、定理等尋找證明思路，從而提高學(xué)生分析問題、嚴(yán)密邏輯思維推理、語言組織表達(dá)等能力。而教師在平時教學(xué)中常常遇到學(xué)生不知從何下手，分析思維模糊不清，書寫證明張冠李戴，欠缺嚴(yán)密邏輯推理等，更有甚者是毫無頭緒。
初中學(xué)生的幾何證明學(xué)習(xí)在內(nèi)容上要經(jīng)歷從“直觀”到“論證”的轉(zhuǎn)軌。在思維方式上需要解決從“形象思維”到“邏輯思維”的過渡，而學(xué)生開始學(xué)習(xí)幾何證明，沒有適應(yīng)論證數(shù)理的答題模式、語言表達(dá)方面的特別要求，從而難以適應(yīng)從直觀到論證之間思維要求上的跳躍。因此，為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”就顯得非常必要了。
為此，我構(gòu)建了一種統(tǒng)一綜合法與分析法，讓學(xué)生易于溝通題設(shè)和結(jié)論，便于分析問題、書寫解題過程、拓展解題思路又易于被學(xué)生接受和掌握的教學(xué)方法，并堅持在實(shí)際教學(xué)中運(yùn)用，取得了良好的效果。請看示例：
例1 如圖，OA=OB，C、D分別是OA，OB上的兩點(diǎn)，且OC=OD，連結(jié)AD、BC交于E，求證：OE平分∠AOB.
分析：
OE平分∠AOB
∠1=∠2
OCE≌ODE OAE≌OBE
OC=OD，OE=OE OA=OB，OE=OE
CE=DE AE=BE
ACE≌BDE
AC=BD，∠3=∠4，
∠A=∠B
OAD≌OBC
OA=OB，∠AOB=∠BOA，OD=OC
（條件具備，即得證）
該題是學(xué)生初學(xué)幾何證明問題中較難的一道利用全等三角形解決的問題，分析過程中的“”表示“要證明…，只需證明…”，“”符號右側(cè)的文字表示已經(jīng)具備的條件，而分析過程中的“”表示實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)有多條路徑可以實(shí)現(xiàn)。顯然，這種利用圖示在黑板上板書出來的過程，不僅能顯示解題過程的來龍去脈，鍛煉了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，還能讓學(xué)生順著箭頭的方向，準(zhǔn)確地書寫出正確的解題過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，且較好地契合了用分析法思考、用綜合法書寫的幾何教學(xué)原則。分析過程中顯示出的一題多解更是培養(yǎng)學(xué)生思維多樣性的利器。
例2 如圖，AB是O的直徑，BC是O的切線，切點(diǎn)為B，OC∥AD。求證：DC是O的切線。
分析：
DC是O的切線
連接OD
∠ODC=90
∠OBC=90俊C是O的切線
∠ODC=∠OBC
ODC≌OBC
OD=OB，OC=OC
∠COD=∠COB
∠COD=∠ODA，∠COB=∠OADOC∥AD
∠ODA=∠OAD
OD=OA（條件具備，即得證）
第8篇：邏輯中的基本推理方式范文
【關(guān)鍵詞】同義反復(fù)/事實(shí)真理和邏輯真理/命題的邏輯內(nèi)容
【正文】
邏輯真理是重言式，重言式是永真的，其永真性必然地導(dǎo)源于它的同義反復(fù)性。[1] 維特根斯坦最先明確表述的這個關(guān)于邏輯真理的觀點(diǎn)已經(jīng)成為現(xiàn)代邏輯學(xué)中的正統(tǒng)。邏輯真理為什么是同義反復(fù)的？正統(tǒng)的觀點(diǎn)似乎認(rèn)為，沒有更好的理由來解釋重言真理的永真性，因此邏輯真理的必然性只能導(dǎo)源于其同義反復(fù)性。[2] 在下文中我將舉出一些在我看來較充分的理由來論證事實(shí)并非如此。實(shí)際上大部分重言式都不是同義反復(fù)的；如果全部重言真理都必然地具有同義反復(fù)性，則經(jīng)典演繹邏輯系統(tǒng)的大部分定理將不能從該系統(tǒng)中推出來，因?yàn)樵谀欠N條件下經(jīng)典演繹系統(tǒng)的推演能力將是非常弱的。
一、論邏輯真理的本性
所謂“同義反復(fù)”從直覺上講有兩層意思：其一是指一推理的后件的內(nèi)容包含于其前件的內(nèi)容之中，其二指推理的前后件的內(nèi)容完全相同，無論該前后件的形式是否相同。關(guān)于經(jīng)驗(yàn)命題的事實(shí)內(nèi)容大小的測度是著名地困難的；就我所知，關(guān)于邏輯命題的邏輯內(nèi)容大小測度的問題，前輩邏輯哲學(xué)家似并沒有專門研究過。然而，若要弄清重言真理到底是否必然地為同義反復(fù)的，我們就必須找到一種方法，由此可直接衡量有關(guān)邏輯命題的邏輯內(nèi)容之大小，進(jìn)而判定有效推理在邏輯內(nèi)容上是否是可擴(kuò)大的。
經(jīng)典邏輯推理以實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)命題推導(dǎo)的有效性又由邏輯推理的規(guī)則所保證。因此可以說實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵是一切經(jīng)典形式科學(xué)的基礎(chǔ)。但現(xiàn)在的問題是，邏輯學(xué)家將實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵命題pq定義為p∨q，也就是說，在p和q的4種可能的真值組合中，只有事態(tài)p∧q使pq為假， 其它三種事態(tài)p∧q、p∧q、p∧q都使其為真；這就與日常生活和科學(xué)實(shí)踐中人們關(guān)于事實(shí)真理的推理之看法有了很大的差異。邏輯學(xué)家為什么要這么定義實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵？就我所知，前輩邏輯哲學(xué)家似乎沒有就此提出過合理的說明，而只是進(jìn)行一些實(shí)用的解釋。比如羅素曾說過：為了使從p得出q這一推論是正確無誤的，只須p為真和命題“非p或q”真；這種蘊(yùn)涵關(guān)系對數(shù)學(xué)推理來說是足夠的。[3] 塔爾斯基也表達(dá)了與此相同的觀點(diǎn)，并指出，將實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵作為數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)不僅非常方便，而且還取得了十分令人滿意的效果。[4] 然而對實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的這種實(shí)用解釋并不能滿足我們的理論興趣，更何況實(shí)用根本上乃是偶然的，無法說明重言真理的必然性。我們需要的是對實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵之所以如此定義的一個邏輯哲學(xué)上合理的解釋。
在日常生活和經(jīng)驗(yàn)科學(xué)研究中，關(guān)于因果性的命題可以表述為條件句的形式。就經(jīng)驗(yàn)知識而言，因果條件句的真值條件如何？倘若一因果條件句的前后件都是真的，則它就被認(rèn)為是真的；當(dāng)一條件句的前件真而后件假時，它便被認(rèn)為是假的；而當(dāng)一條件句的前件假時，則無論其后件的真值如何，該因果條件句都被認(rèn)為并未斷言任何內(nèi)容，它是無真值的。就事實(shí)真理觀來說，因果條件句具有上述的真值條件似應(yīng)無可置疑。因?yàn)槿藗儾粌H在日常生活中對因果條件句的真值持這種看法，而且在對科學(xué)命題的證實(shí)或確證中也是這么行事的。在科學(xué)實(shí)踐中作為證實(shí)或確證原則而普遍適用的尼柯標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定[5]：任一全稱條件句形式的假 說比如“所有的烏鴉是黑的”，都可符號化為（x）（F[，x]G[，x]）（1），對命題（1）來說，一個具有F[，a]∧G[，a]形式的個體確證它，一個F[，a]∧G[，a]個體否證它，而F[，a]∧G[，a]和F[，a]∧G[，a]與對（1）的確證不相干。這表明就事實(shí)真理觀來說，（x）（F[，x]G[，x]）（1）肯定的是所有的F[，a]∧G[，a]，它排斥的是任一個F[，a]∧G[，a]，而對F[，a]∧G[，a]和F[，a]∧G[，a]沒作任何斷言。另一方面，根據(jù)邏輯學(xué)的定義，（1）斷言的是F[，x]G[，x] 的所有替換事例都是真的，即F[，a]G[，a]、F[，b]G[，b]…等等都是真的。[6]由此看來，（1）獲得確證和否證的邏輯機(jī)制便十分明顯了。 為什么我們觀察到F[，a]∧G[，a]時就對（1）進(jìn)行了一次確證？因?yàn)镕[，a]∧G[，a]使（1）的一個替換事例F[，a]G[，a]為真，而（1 ）斷言的是所有它的替換事例都是真的，故而這就達(dá)到了對（1）的一次確證。同理，如果我們觀察到F[，a]∧G[，a]就使得（1）的一個替換事例F[，a]G[，a]為假，從而使得（1）關(guān)于其任何替換事例都為真的斷言不成立。與此相應(yīng)，當(dāng)我們觀察到F[，a]∧G[，a]或F[，a]∧G[，a]時，與對（1）的任何一個替換事例的證實(shí)和否證都不相干，故相應(yīng)地亦與（1 ）所斷言或排斥的內(nèi)容不相干。
以上討論使我們清楚了，就經(jīng)驗(yàn)知識所涉及的范圍而言，事態(tài)p∧q使因果條件句pq為真，事態(tài)p∧q使其為假，而p∧q和p∧q與對它的證實(shí)不相干。容易引起爭議的是，具有什么樣真值條件的條件句才可算作因果條件句，這個問題由于一時難以澄清，況且與本題并無直接關(guān)系，讓我們暫且擱置不論。在這里我們只需作一個推斷：上述真值條件是作為因果條件句的必要條件，但是否是作為因果條件句的充分條件暫且不論。
由此可知，就經(jīng)驗(yàn)和形式知識而言，對條件句pq可從事實(shí)真理觀和邏輯真理觀兩個方面來理解。作為經(jīng)驗(yàn)知識的因果句和作為形式知識的蘊(yùn)涵句在使其為假的事態(tài)上是完全一樣的，即僅p ∧ q使它們?yōu)榧?；但在使作為知識的條件句pq為真的事態(tài)的看法上，事實(shí)真理觀和邏輯真理觀卻有了差異。究其原因，乃因?yàn)?，一般而言事?shí)真理的本質(zhì)在于命題對相關(guān)事態(tài)的“符合”，這里只取這種“符合”的直覺含義。事實(shí)真理觀將其前后件都為真看作是因果句之唯一的為真的真值條件，正滿足了這種“符合”直覺。而倘若我們對邏輯學(xué)關(guān)于邏輯常詞的有關(guān)定義作一番細(xì)致深入的反思，就不難發(fā)現(xiàn)，邏輯真理實(shí)質(zhì)上無非是邏輯命題必然地排除使得自身為假的事態(tài)的方式而已。邏輯真理既必然地不可能為假，又必然地不可能只在“符合”的意義上為真；由此便得出，與事實(shí)真理的實(shí)質(zhì)在于“符合”不同，邏輯真理的實(shí)質(zhì)在于必然的排假。僅當(dāng)在必然的排假的意義上邏輯真理才可必然地為真，“符合”意義上的真理總是偶然的。
從歷史上看，真假的觀念最先起源于經(jīng)驗(yàn)知識方面，邏輯知識中的真假概念只是對它的引申而已。在事實(shí)真理觀看來，對一命題而言，在諸相關(guān)事態(tài)中，有的事態(tài)使其為真，有的事態(tài)使其為假，而其它事態(tài)則對該命題真值的確定無關(guān)。然而邏輯真理觀卻將那些與一命題真值無關(guān)的事態(tài)都定義為可使該命題為真；比如將p∧q和p∧q都定義為是使pq為真的真值條件。邏輯學(xué)家們?yōu)槭裁匆@樣定義？簡單地講，乃為了使邏輯學(xué)中所謂（與假相對而言的）真之實(shí)質(zhì)不在于“符合”，而在于排假，從而保持邏輯命題的二值性，以為邏輯真理之重言永真性奠定最廣闊的基礎(chǔ)；我們在下文的討論中將要表明，沒有這種定義所奠定的廣闊基礎(chǔ)，邏輯真理將只可能建立于嚴(yán)格的同義反復(fù)的狹隘基礎(chǔ)之上，這種條件下的邏輯真理從實(shí)質(zhì)上看的確瑣屑無聊。因此，邏輯真理之所以是永真的，或必然地不為假的，乃因?yàn)檫壿嬚胬肀厝坏嘏偶?，除此之外再無其它邏輯可能性。這即是邏輯推理的有效性的根源。
二、論有效演繹推理之邏輯內(nèi)容的必然保真的可擴(kuò)大性
倘若關(guān)于邏輯真理的這個觀點(diǎn)能夠成立，我們便可由此出發(fā)來論證有效的邏輯推理無論在事實(shí)內(nèi)容方面還是邏輯內(nèi)容方面都可是必然保真擴(kuò)大的；換言之，在這兩個方面有效推理都可不具同義反復(fù)性。以重言式pp∨q（2）為例，在事實(shí)真理觀看來，（2）之前件p所斷言的事實(shí)內(nèi)容為p，而既然合取命題p∧q和析取命題p∨q 所斷言的內(nèi)容在事實(shí)真理觀和邏輯真理觀來看基本相同，則我們就可認(rèn)為（2）之后件p∨q 所斷言的事實(shí)內(nèi)容即為p∨q。這樣從p所斷言的事實(shí)內(nèi)容p為真，可推出p∨q所斷言的事實(shí)內(nèi)容p∨q為真，但p和p∨q在自然語言中絕不必然同義，因而p∨q之事實(shí)內(nèi)容也不必然地與p的事實(shí)內(nèi)容相同或包含于其中。試設(shè)想一個使用自然語言十分嚴(yán)肅的場合比如法庭審判，假設(shè)p表示“A犯了謀殺罪”，p∨q表示“A犯了謀殺罪或A違反了交通規(guī)則”。在這里當(dāng)p真時，p∨q亦必真。按正統(tǒng)的觀點(diǎn)，pp∨q既是同義反復(fù)的，那么在p和p∨q的事實(shí)內(nèi)容的關(guān)系上就有兩種可能性：或者p∨q 的事實(shí)內(nèi)容包含于p的之中，或者p∨q的事實(shí)內(nèi)容與p的是相同的。不過既然p 是沒有邏輯結(jié)構(gòu)的原子命題，則p的事實(shí)內(nèi)容就是構(gòu)成命題的獨(dú)立的最小意義單位。因此，p∨q的事實(shí)內(nèi)容便不可能是p的事實(shí)內(nèi)容之一部分（即包含于p的之中），因?yàn)樽鳛槊}，p∨q的事實(shí)內(nèi)容不可能比p的事實(shí)內(nèi)容更小。所以唯一的可能是p∨q的事實(shí)內(nèi)容與p的事實(shí)內(nèi)容相同。 現(xiàn)在如果法庭認(rèn)定p為真，則應(yīng)依法對A處以極刑?？扇绶ㄍゲ恢猵為真，只認(rèn)定p∨q為真，則無論怎樣分析p∨q的意義也不能依法處A以極刑，因?yàn)閲?yán)格地講，p∨q僅表示關(guān)于兩個事實(shí)的可能性而非確鑿的事實(shí)。但若p∨q與p果真同義（即它們的事實(shí)內(nèi)容相同），則法庭只須分析清楚p∨q的涵義就應(yīng)依法對A處以極刑，就像在認(rèn)定p真時所該做的那樣?？煞ㄍナ菬o權(quán)只根據(jù)關(guān)于事實(shí)的可能性就依法給被告定罪的，即使這種可能性有著所謂充分的證據(jù)。所以p∨q和p在事實(shí)內(nèi)容上并不同義，就此而論，p∨q的事實(shí)內(nèi)容大于p的事實(shí)內(nèi)容，重言推理pp∨q在事實(shí)內(nèi)容方面必然保真地擴(kuò)大了。
另一方面，重言推理在邏輯內(nèi)容上也是可必然保真擴(kuò)大的。然而確切地講，什么是邏輯命題的邏輯內(nèi)容？邏輯真理的本質(zhì)既在于必然的排假，那么我們就可運(yùn)用邏輯命題所排除之事態(tài)的大小來定義命題的邏輯內(nèi)容。但內(nèi)容是一個相對的概念，只有在與其它內(nèi)容的比較中一內(nèi)容才可得到自身明確的定義。并不是任意兩個邏輯命題的邏輯內(nèi)容都是可比較的，正如并非任意兩個事實(shí)命題的事實(shí)內(nèi)容都是可比較的一樣。我們必須運(yùn)用邏輯命題的排假方式（即使得該命題為真的真值條件）和命題使用這些排假方式所排除之事態(tài)（即使得該命題為假的真值條件）的結(jié)合來為命題的邏輯內(nèi)容下定義：僅當(dāng)兩個邏輯命題的排假方式以如下形式相聯(lián)系，使得在這兩個命題分別作為一推理的前后件時，該推理的形式是個重言式；在這種條件下，這兩個命題的邏輯內(nèi)容才是可比的，而這些命題所排事態(tài)之大小就是衡量它們邏輯內(nèi)容大小的標(biāo)準(zhǔn)。換言之，只有有效推理之前后件的邏輯內(nèi)容才是可比較的，因?yàn)槲覀冎粚τ行评砀信d趣，只有有效推理所產(chǎn)生的結(jié)果才可作為邏輯知識，根據(jù)上述定義，命題pp∨q（2）既是個重言式，其前后件的邏輯內(nèi)容就是可比的。（2）之前件所排事態(tài)為p，其后件所排事態(tài)則為p∧q，其后件所排事態(tài)明顯地大于其前件所排之事態(tài)，故命題（2 ）為邏輯內(nèi)容必然保真擴(kuò)大推理。重言命題（3）p（qp）的情況也一樣，因?yàn)樗暮蠹攀聭B(tài)q∧p明顯地大于其前件所排事態(tài)p。同理，（qr ）［p∨（qr）］（4）之前件所排事態(tài)為q∧r，其后件所排事態(tài)為p∧（q∧r），其后件所排事態(tài)亦明顯地大于其前件所排事態(tài)。故（2）、（3）和（4）之前后件都并非是同義反復(fù)表達(dá)式：它們因此都是必然保真擴(kuò)大推理。此外，重言式p∨p排除的是矛盾式p∧p，后者表示不可能事態(tài)，故凡是排除可能事態(tài)的命題之邏輯內(nèi)容都大于p∨p的邏輯內(nèi)容。而p∧p既是永假式，則就沒有任何邏輯內(nèi)容。
然而我們現(xiàn)在似乎遇到了一個反例；為了弄清這一點(diǎn)，首先讓我們考察一下邏輯等值意味著什么。按照傳統(tǒng)的觀點(diǎn)，邏輯等值命題的內(nèi)容是相同的；確切地講，按照我們的觀點(diǎn)，就兩個等值命題的關(guān)系而言，邏輯等值式實(shí)際上乃表示等值命題可用互相通用的方式對同一使它們?yōu)榧俚氖聭B(tài)的排除。以pqp∨q（5）為例，該等值式表示，在p和q的4種可能的真值組合中，其左右支均可用p∧q、p∧q、p∧q這三種方式排除唯一使它們?yōu)榧俚氖聭B(tài)p∧q。既然pq和p∨q所排除之事態(tài)和所用之排假方式都相同，故它們的邏輯內(nèi)容完全相同，（5 ）式之重言性就表明了這一點(diǎn)。但是，命題（6）pp∨（q∧q ）也是重言等值式，由于p∨（q∧q）可變形為（p∨q）∧（p∨q），根據(jù)（6），pp∨q（2）即可表示為（p∨q）∧（p∨q）p∨q（7），在p和q的4種可能真值組合（事態(tài)）1.p∧q、2.p∧q、3.p∧q、4.p∧q中，（7）之前件排除3和4事態(tài)，而其后件僅排除3事態(tài)，因此（7）之前件的邏輯內(nèi)容大于其后件的邏輯內(nèi)容。p既與（7 ）之前件邏輯等值，p的邏輯內(nèi)容就應(yīng)大于p∨q的邏輯內(nèi)容； 這對我們在前面關(guān)于pp∨q（2）在邏輯內(nèi)容上是必然保真擴(kuò)大推理的論證是個反例，它促使我們進(jìn)一步地去研究邏輯等值到底意味著什么。
為了較精確表述起見，我將“邏輯內(nèi)容[，1]”定義為可使有效推理的前后件都具有真值的原子事態(tài)如p、q、r等， 由這類原子事態(tài)所組成的復(fù)合事態(tài)如p∧q等亦屬這個范疇；將“邏輯內(nèi)容[，2]”定義為只使有效推理的前后件之一個具有真值而不能使另一個也具有真值的（原子）事態(tài)。再以pp∨q（2）為例，p可使（2）之前后件都具有真值，當(dāng)p出現(xiàn)時，其前后件都為真，故p對（2）而言是邏輯內(nèi)容[，1]。另一方面，q只能使（2）之后件p∨q具有真值，卻不能使其前件p具有真值，因 為p的真值與q是否出現(xiàn)無關(guān)，q對于（2）即是邏輯內(nèi)容[，2]。具體說來，（6）可改寫成pp∧（q∨q）（8），而（8）之左支所排對象為p，其右支所排對象為p∨（q∧q），在這里對（8）而言，由于其左右支都排除了p，故p是邏輯內(nèi)容[，1]；而（q∧q）則涉及到了可能事態(tài)q。因?yàn)閝∧q作為復(fù)合命題雖表示不可能事態(tài)， 但其由以構(gòu)成的原子命題卻涉及了可能事態(tài)q，這一點(diǎn)在推論中對有關(guān)命題的邏輯內(nèi)容的確定起到了重要的作用。如果說任何命題的確立都是以否定矛盾式為前提的，那么（8）之左支p所排除的矛盾式應(yīng)是（p∧p）而不是（q∧q）。簡而言之，（8）之左右支所排邏輯內(nèi)容[，1]相同，但其所排邏輯內(nèi)容[，2]卻不同。聯(lián)系到前面對等值式的討論，可知等值命題之左右支所排邏輯內(nèi)容[，1]是相同的，可如涉及了邏輯內(nèi)容[，2]［像（8）那樣］，則它們所排邏輯內(nèi)容[，2]自然并不相同。如此說來，（8 ）之左右支的邏輯內(nèi)容[，1]相同，但其右支涉及了作為邏輯內(nèi)容[，2]的q，其左支與q無關(guān)，故（8）之右支的邏輯內(nèi)容[，2]大于其左支的邏輯內(nèi)容[，2]。由此可知，諸邏輯等值命題的邏輯內(nèi)容[，1]必相同；但如果其中一命題論及了而另一命題卻沒有論及邏輯內(nèi)容[，2]，則當(dāng)然前一命題的邏輯內(nèi)容[，2]大于后一命題的邏輯內(nèi)容[，2]。這樣，回過頭來再考察前面所述的那個反例，即可看出，p的邏輯內(nèi)容[，2]小于（p∨q）∧（p∨q）的邏輯內(nèi)容[，2]；但它們的邏輯內(nèi)容[，1]則相同，這使得p和（p∨q）∧（p∨q）在有效推理中可互相等值地代換而不影響推理的有效性。這就說明了何以pp∨q（2）是并非同義反復(fù)的重言式，而從（2）通過（6）推導(dǎo)出的（p∨q）∧（p∨q）p∨q（7 ）卻是同義反復(fù)的重言式的緣故。因?yàn)閜∨q的邏輯內(nèi)容[，2]大于p的邏輯內(nèi)容[，2]， 盡管它們的邏輯內(nèi)容[，1]相同，因此pp∨q（2）是邏輯內(nèi)容擴(kuò)大的重言推理。另一方面，（7）之前件（p∨q）∧（p∨q）的邏輯內(nèi)容[，1]大于其后件p∨q的邏輯內(nèi)容[，1]，由于（7）的前后件涉及的事態(tài)完全相同，使得（7）沒有邏輯內(nèi)容[，2]，故（7）是同義反復(fù)的重言式。而由（2）的非同義反復(fù)性推出（7）的同義反復(fù)性，乃是利用了（6 ）的邏輯內(nèi)容[，2]之?dāng)U大性的緣故，換言之，在通過（6 ）從邏輯內(nèi)容上具有非同義反復(fù)性的（2）推出（7）的過程中，就將（6 ）的所擴(kuò)大了的邏輯內(nèi)容代入了（2）之前件從而得出了（7）的同義反復(fù)性。至此即可得出，（2）和（3）p（qp ）的并非同義反復(fù)性都導(dǎo)源于它們的邏輯內(nèi)容[，2]的擴(kuò)大。（3）之后件所排對象為q∧p，其前件所排對象為p，所以其后件在邏輯內(nèi)容[，2]上大于其前件。p（pq）（9）的情況也一樣，（9）之前件所排對象為p，其后件所排對象為p∧q，故（9）之后件的邏輯內(nèi)容[，2]大于其前件的邏輯內(nèi)容[，2]。另一方面，以p∧qp（10）為例，其前件所排對象p∨q， 其后件所排對象是p，因此（10）之前后件的邏輯內(nèi)容[，1]相同，可其前件的邏輯內(nèi)容[，2]大于其后件的邏輯內(nèi)容[，2]，故（10）是同義反復(fù)的。
綜上所述，我們似已有較充分的理由作出如下推斷：有效邏輯推理在邏輯內(nèi)容上有不擴(kuò)大（同義反復(fù)）的和擴(kuò)大（非同義反復(fù)）的兩類。有效推理的邏輯內(nèi)容[，1]必不是擴(kuò)大的；而凡是并非同義反復(fù)的有效推理，其邏輯內(nèi)容的擴(kuò)大必是其邏輯內(nèi)容[，2]的擴(kuò)大之所致。從理論上講，這是因?yàn)楦鶕?jù)有效推理的邏輯本性，其前件為假的真值條件的數(shù)目不可能少于其后件為假的真值條件的數(shù)目，否則即為無效推理。這事實(shí)使得有效推理的邏輯內(nèi)容[，1]必不是擴(kuò)大的；換言之，有效推理的必然保真性使得其邏輯內(nèi)容[，1]必具不擴(kuò)大性。此外，這事實(shí)并不排斥有效推理在邏輯內(nèi)容[，2]上的可擴(kuò)大性；換言之，其邏輯內(nèi)容[，2]的可擴(kuò)大性，使得有效推理可具有必然保真的并非同義反復(fù)性。事實(shí)上，我們現(xiàn)在已有理由斷言，大部分重要的重言式都因此而具有非同義反復(fù)性。
到此為止，我們自然會面臨這樣的問題：既然有效推理將其前件的真必然地傳遞到了其后件的真之上，那么有效推理的內(nèi)容何以能擴(kuò)大？事實(shí)上根據(jù)前面的分析經(jīng)驗(yàn)我們便可知道，有效推理的前件可在事實(shí)真理意義上為真，而其后件則可在邏輯真理意義上為真，在這種條件下，有效推理并非將其前件事實(shí)的真必然地傳遞到了其后件之上，因?yàn)槠淝昂蠹窃诓煌饬x上為真的。再以命題（3）p（qp）為例，（3 ）之前件p沒有邏輯結(jié)構(gòu)，故只能在“符合”的意義上為真，但（3）既是重言式，其后件qp中的q就可取任意真值，因此其后件qp 只能在排假的意義上為真。當(dāng)（3）之前件為真時， 其后件是在不同意義上必然為真的；而在此條件下如（3 ）的后件之為真確實(shí)只能來自于其前件之為真的傳遞，則（3）之前后件就必然地只能在相同的意義上為真。 所以（3）之為永真式不可能是因?yàn)椋?）將其前件p 對某事態(tài)的符合必然地傳遞到了只是作為排假方式的其后件qp之上，而是因?yàn)椋? ）之前后件各自排假方式的邏輯結(jié)合使得（3 ）必然地排除了使它為假的真值條件p∧（qp）。我還可以舉出一個論據(jù)來支持這個論點(diǎn)， 那就是當(dāng)p為假時，（3）仍是有效的，即仍具有必然保真性。這事實(shí)理應(yīng)會使那種只用“真理的傳遞”來解釋重言推理之必然保真性的觀點(diǎn)不能成立，因?yàn)槿纾?）的有效性果真必然地只來自于對真的傳遞， 則在這種完全沒有任何意義上的真理的傳遞的情況下，（3 ）必不再具有必然保真性（有效性），但事實(shí)上（3）仍是永真（有效）的，因?yàn)椋?）永在排假。另以qp∨p（11）為例，當(dāng)其前件q為真時，只能是事實(shí)的真，其后件p∨p本身乃是重言式即邏輯真理，我想這便足以證明了，（11）之為重言式不可能由于其后件的真必然地來自于其前件的真的傳遞，一個偶然的真是不可能產(chǎn)生必然的真的；（11）之重言永真性只可能得自于（11）自身的邏輯形式。總之，當(dāng)其前件為真時，有效推理之后件的真的必然性，并非必然地來自于有效推理之前后件為真的相同性，而是必然地來自于有效推理之前后件的排假方式之結(jié)合使得有效推理的邏輯形式必然地排假，后者之所以會產(chǎn)生，則根本上導(dǎo)源于邏輯學(xué)對邏輯常詞的定義，主要是邏輯學(xué)家將假命題之外的一切命題都定義為真。所以嚴(yán)格地講，邏輯真理之永真性必然地來自于邏輯學(xué)根據(jù)邏輯基本規(guī)律將假命題以外的一切命題都定義為真；換言之，來自于將邏輯真理定義為邏輯命題的必然的排假方式；有效推理的事實(shí)或邏輯內(nèi)容之必然保真地擴(kuò)大根本上即導(dǎo)源于此。既然邏輯真理觀將邏輯命題真值的二值性絕對化了，只要一邏輯命題必然地不假，它就必然地為真。邏輯真理的這種永真性表明了，邏輯真理不是對某具體事態(tài)的“符合”而是對可能經(jīng)驗(yàn)（事態(tài)）由以呈現(xiàn)的基本框架的顯示，這種顯示依重言式的本性是不可能出錯的。此外，倘若其前件為真時，有效推理的后件之為真的必然性只來自于有效推理將其前件的真?zhèn)鬟f到其后件之上，則作為經(jīng)典演繹系統(tǒng)基礎(chǔ)的命題邏輯的推演能力將是非常弱的，因?yàn)檫@樣的話，只能有一小部分重言式（即那些同義反復(fù)的重言式）才可以從該系統(tǒng)中推出來，而其它許多因其具有并非同義反復(fù)性故而更重要的重言式，將不能從該系統(tǒng)中推出來，因?yàn)檫@些重言式之為永真明顯地于這種所謂“真理的傳遞”即在為真意義上的同義反復(fù)無關(guān)。前述p（qp）和qp∨p等等重言式即屬此例。換言之，如果只有具有同義反復(fù)性的重言式才是命題邏輯的定理，則命題邏輯系統(tǒng)將是不完全的；所以已獲證明的命題邏輯系統(tǒng)的完全性就足以證明了重言推理的有效性不必然來自于這種“真理的傳遞”。
按照傳統(tǒng)的觀點(diǎn)，在經(jīng)驗(yàn)科學(xué)中科學(xué)家使用邏輯推導(dǎo)一般服務(wù)于兩種基本目的：其一是從一為真的事實(shí)命題出發(fā)，經(jīng)過特定而有效的邏輯推導(dǎo)，以將被前提所包含的內(nèi)容用清晰或便于操作的形式表達(dá)出來。其二是從一假說推導(dǎo)出可觀察的結(jié)論，以檢驗(yàn)該假說的真實(shí)性。如果有效邏輯推理的內(nèi)容果真是可必然保真地擴(kuò)大的，那么在這兩個方面會產(chǎn)生什么影響？先看第一個方面。一般而言，科學(xué)中的傳統(tǒng)認(rèn)為，從一為真的事實(shí)命題出發(fā)，無論經(jīng)過怎么復(fù)雜曲折的有效推導(dǎo)，最終結(jié)論的內(nèi)容總歸仍是處于其前提的斷言范圍之內(nèi)。然而，從另一方面來看，實(shí)際上科學(xué)實(shí)踐本身早已為我們作出了有關(guān)啟示：在對一為真的前提所作的科學(xué)推導(dǎo)的過程中，邏輯推導(dǎo)的步驟無論經(jīng)過多么嚴(yán)格的檢驗(yàn)，所推出的結(jié)論必須經(jīng)過觀察的確證方可最終得以確立或生效，這乃是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)研究中的通例?？茖W(xué)家們?yōu)槭裁匆绱诵惺?？按照我們在上文中所表述的觀點(diǎn)，可靠的推理的結(jié)論與其前提可在不同的意義上為真。這就意味著，可靠推理的前提可以斷言的是一回事，而其結(jié)論可以斷言的是另一回事，盡管該結(jié)論是不可能為假的，但該推理的前后件所斷言的內(nèi)容在事實(shí)真理觀看來卻可并不相同乃至并不相干。事實(shí)上，經(jīng)驗(yàn)科學(xué)中凡意義重大的推理大部分都是這種性質(zhì)的推理。這表明，即使在科學(xué)研究中所做的推理是可靠的，最后所得出的結(jié)論的內(nèi)容也很可能在原則上而非僅僅在形式上是新的，因此最終只有觀察才能告訴我們該推理所產(chǎn)生的結(jié)論到底斷言的是什么以及其斷言的內(nèi)容是否為事實(shí)真理；因?yàn)樗瞥鲋Y(jié)論有可能是在排假意義的邏輯的真。
至于觀察對從一假說推導(dǎo)出的結(jié)論的檢驗(yàn)作用到底說明了什么這問題，除了從假說直接推導(dǎo)出可觀察結(jié)論這一簡單的方面以外，更復(fù)雜的一方面由于確證悖論的存在，一直爭議很大。就假說“所有的烏鴉是黑的”（x）（F[，x]G[，x]）（1）而言，由于它邏輯等值于另一命題“所有的非黑色的東西都是非烏鴉”（x）（G[，x]F[，x]）（12），并且傳統(tǒng)認(rèn)為邏輯等值命題的內(nèi)容是完全相同的，因此一個非黑色且非烏鴉的東西（G[，a]∧F[，a]）比如我的手表既然是命題（12）的確證事例，則亦應(yīng)是（1）的確證事例，但這是非常違反直覺的， 不過按我們在本文中所闡明的方法，這個疑難則不難澄清。我們已經(jīng)論證了，在不涉及邏輯內(nèi)容[，2]的情況下，所謂邏輯等值只表明等值命題的邏輯內(nèi)容是相同的，但它們的事實(shí)內(nèi)容則可并不相同，就（1）的替換事例F[，a]G[，a]（1′）和（12）的替換事例G[，a]F[，a]（12′）而言，（1′）的事實(shí)內(nèi)容為F[，a]∧G[，a]，（12′）的事實(shí)內(nèi)容則為G[，a]∧F[，a]，這說明（1′）和（12′）盡管邏輯等值， 但事實(shí)內(nèi)容卻并不相同。而科學(xué)確證或證實(shí)只能是對科學(xué)命題的事實(shí)內(nèi)容而非邏輯內(nèi)容的確證或證實(shí)，故（1′）和（12′）的證實(shí)事例不可互換使用。將這道理推及到（1）和（12）上，則表明（1）和（12）的確證事例不可互相通用。由此可得出，就科學(xué)實(shí)踐而言，當(dāng)我們要檢驗(yàn)一個假說時，企圖通過使用該假說的等值命題的更好操作的確證事例來確證該假說，在理論是無效的，如果這些等值命題的事實(shí)內(nèi)容不同的話。比如我們找到（12）的確證事例G[，a]∧F[，a]并不能在嚴(yán)格意義上確證（1），因?yàn)楫獹[，a]∧F[，a]的出現(xiàn)只能起排假的作用，即排除了使得（1）和（12）為假之事態(tài)F[，a]∧G[，a]出現(xiàn)的一次機(jī)會；但這同時也減少了（1）的確證事例F[，a]∧G[，a]出現(xiàn)的一次機(jī)會；故G[，a]∧F[，a]的出現(xiàn)不能提高（1）的真實(shí)（確證）度。因此， 就從一假說經(jīng)過等值變換所推導(dǎo)出的便于觀察的結(jié)論而言，如該推導(dǎo)的前后件在事實(shí)內(nèi)容上是不相同的，則觀察對該結(jié)論的成功檢驗(yàn)并不能在嚴(yán)格意義上確證該初始假說，而只能起到排除該假說的否證事例實(shí)際出現(xiàn)的機(jī)會的作用。倘若固守等值條件的普遍有效性，不考慮等值命題的事實(shí)內(nèi)容是否相同，只根據(jù)它們的邏輯內(nèi)容相同就斷定等值命題的確證或證實(shí)事例是可互相通用的，那么我們就很容易據(jù)此確證或證實(shí)不存在的東西的存在。舉例來說，如設(shè)“所有的獨(dú)角獸都是有尾的”可符號化為（x）（B[，x]R[，x]）（13），獨(dú)角獸既不存在，（13）當(dāng)然不可能有確證事例和事實(shí)內(nèi)容。但（13）與（x）（R[，x]B[，x]）（14）邏輯等值。若認(rèn)為凡等值命題的確證事例都可互換使用，則（13）就可因R[，a]∧B[，a]這類事例而得到確證，因?yàn)楫玆[，a]∧B[，a]乃是（x）（R[，x]B[，x]）（14）的確證事例，而（14）的確證事例R[，a]∧B[，a]（意即無尾且不是獨(dú)角獸的東西如我的手表等）是隨處可找到的。事實(shí)上，按照該思路，我們可以從經(jīng)驗(yàn)的東西，通過邏輯手段符合科學(xué)程序地確證或證實(shí)一切虛構(gòu)的東西的存在。（13）沒有事實(shí)內(nèi)容，而（14）則有很容易得到確證的事實(shí)內(nèi)容，盡管（13）和（14）是邏輯等值的，這事實(shí)難道不是有力地表明了科學(xué)確證或證實(shí)只能是對命題的事實(shí)內(nèi)容而非邏輯內(nèi)容的確證或證實(shí)嗎？如果我們將命題的事實(shí)內(nèi)容與它的邏輯內(nèi)容區(qū)分開來的工作是有效的，那么等值條件所持的等值命題的全部內(nèi)容都是相同的觀點(diǎn)就只適用于等值命題的邏輯內(nèi)容，而不適合于它們的事實(shí)內(nèi)容了。
參考文獻(xiàn)
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第9篇：邏輯中的基本推理方式范文
關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)主義；現(xiàn)代邏輯學(xué)；結(jié)構(gòu)；關(guān)系
關(guān)于數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系問題，費(fèi)雷格學(xué)派主張：“數(shù)學(xué)是邏輯學(xué)的一個分支”；布爾學(xué)派則認(rèn)為：“邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)的一個分支”[1]220。不爭的事實(shí)則是：邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)不能相互剝離，它們“血脈相連”、“生命相依”，二者“你中有我，我中有你”[1]220。從邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)雙重視域來看，形式化的現(xiàn)代邏輯學(xué)可以說是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個分支，其高度抽象性和形式化特征決定了它像數(shù)學(xué)一樣具有廣泛的應(yīng)用性?，F(xiàn)代邏輯學(xué)的蓬勃發(fā)展，離不開對邏輯進(jìn)行哲學(xué)反思。
邏輯哲學(xué)就是對邏輯進(jìn)行哲學(xué)反思的科學(xué)。而數(shù)學(xué)哲學(xué)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，“是研究數(shù)學(xué)的本體論、認(rèn)識論和方法論以及其他問題的知識體系”，數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的問題最后都會涉及到數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系[2]15。雖然邏輯哲學(xué)與數(shù)學(xué)哲學(xué)在研究的論題、研究的視角、研究的側(cè)重點(diǎn)和研究方式等方面都有所不同，但是由于邏輯(尤其是形式化的現(xiàn)代邏輯學(xué))與數(shù)學(xué)具有如下共同特征：純形式化特征、高度抽象性、極端精確性和嚴(yán)格性、廣泛的應(yīng)用性[2]15-16。這些共同特征以及數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)常常具有一批共同或類似的課題，決定了邏輯哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)具有非常密切的關(guān)系。因此，從某種意義上說，對邏輯的哲學(xué)思考，很大程度上就是對數(shù)學(xué)的哲學(xué)思考。就像邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)不能相互剝離一樣，邏輯哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)其實(shí)也是很難剝離開來的。
20世紀(jì)以來，結(jié)構(gòu)主義在數(shù)學(xué)哲學(xué)中占據(jù)著主導(dǎo)地位，那么結(jié)構(gòu)主義是否在邏輯學(xué)中也有所反映呢？這正是本文要探討的問題。
一結(jié)構(gòu)主義的四大學(xué)派及其基本觀點(diǎn)
19世紀(jì)，在微積分的算術(shù)化和集合論的建立基礎(chǔ)上，逐步形成了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派——邏輯主義、形式主義和直覺主義。邏輯實(shí)證主義者主張哲學(xué)唯一合法的研究領(lǐng)域是邏輯學(xué)，數(shù)學(xué)哲學(xué)則是研究數(shù)學(xué)語言的邏輯句法學(xué)和邏輯語義學(xué)[3]9。
20世紀(jì)初，哥德爾提出的不完全性定理說明，邏輯分析以存在建構(gòu)自身作為參照，不然則會陷入無窮回歸；而邏輯分析則是在集合論語言的基礎(chǔ)上建構(gòu)數(shù)學(xué)存在，這些觀點(diǎn)蘊(yùn)含了結(jié)構(gòu)主義的思想[3]9。20世紀(jì)60年代，奎因認(rèn)為，約束邏輯變元的取值其實(shí)就是存在，哲學(xué)本體論可以通過語言加以研究，利用語言可以研究存在，結(jié)構(gòu)主義因而進(jìn)行了數(shù)學(xué)哲學(xué)的范式轉(zhuǎn)換。關(guān)系與其所依附的所有個體共同組成結(jié)構(gòu)。根據(jù)結(jié)構(gòu)所依附的個體的不同類型來看，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義主要包括四大學(xué)派：集合論結(jié)構(gòu)主義[4]184-211[5]、先物(anterem)結(jié)構(gòu)主義[4]188-198、范疇論結(jié)構(gòu)主義[6][7]、模態(tài)結(jié)構(gòu)主義[8]。
集合論結(jié)構(gòu)主義使用模型論中熟知的方式，來描述數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系。模態(tài)結(jié)構(gòu)主義，不是通過對結(jié)構(gòu)或位置進(jìn)行字面上的量化，而是通過借助于適當(dāng)?shù)年P(guān)系和定義域的(二階)邏輯可能性，來滿足經(jīng)典公理系統(tǒng)的隱含定義條件[4]185。先物結(jié)構(gòu)主義則主張：利用結(jié)構(gòu)中的位置可以定義數(shù)學(xué)對象，數(shù)學(xué)對象的指稱則要求結(jié)構(gòu)與能夠例示它們的任何系統(tǒng)是相互獨(dú)立[9]；數(shù)學(xué)公式能夠由相干公式來描述，而且這些相干公式能夠由實(shí)際存在的先物結(jié)構(gòu)來滿足[10]。范疇論結(jié)構(gòu)主義本質(zhì)上是通過一系列結(jié)構(gòu)保持映射，為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供系統(tǒng)概念，從而為數(shù)學(xué)作出哲學(xué)解釋[7]。夏皮諾(Shapiro)認(rèn)為，雖然這些學(xué)派有著明顯的區(qū)別，但是，不論是從主流數(shù)學(xué)的目的來看，還是從某種更深層次的哲學(xué)意義來看，這幾大學(xué)派其實(shí)是等價的。例如：處理哲學(xué)問題的一種方法與處理這種問題的其他方法，具有關(guān)聯(lián)性，這種關(guān)聯(lián)性可以通過系統(tǒng)間的自然轉(zhuǎn)換來表達(dá)[4]184。這些學(xué)派通過語言的途徑，把數(shù)學(xué)哲學(xué)引向了對意義和真理的探討以及對數(shù)學(xué)對象的存在建構(gòu)[3]10。
結(jié)構(gòu)主義對數(shù)學(xué)存在的語言建構(gòu)是建立在邏輯主義、形式主義和直覺主義這三大學(xué)派的研究基礎(chǔ)之上的。這三大學(xué)派認(rèn)為：結(jié)構(gòu)主義可以利用語言框架來建構(gòu)數(shù)學(xué)對象，這一點(diǎn)在模態(tài)結(jié)構(gòu)主義和集合論結(jié)構(gòu)主義中表現(xiàn)得尤為明顯，這使得結(jié)構(gòu)主義的本體論建構(gòu)與作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的邏輯研究之間能夠建立起密切的關(guān)系，從而為邏輯學(xué)與本體論之間搭建了溝通的橋梁[3]12。范疇論結(jié)構(gòu)主義掙脫了邏輯語言的束縛，創(chuàng)立了嶄新的本體論語言，在把語言納入存在的內(nèi)涵的同時，還把存在上升到了語言的境界，并通過集合論與邏輯語言保持緊密的聯(lián)系，從而使得存在建構(gòu)能夠像邏輯建構(gòu)那樣成為嚴(yán)密的科學(xué)[3]13。
二現(xiàn)代邏輯學(xué)具有結(jié)構(gòu)主義特征
形式主義是20世紀(jì)上半葉出現(xiàn)的一種數(shù)學(xué)哲學(xué)思潮，它是極端唯名論在數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn)。而形式化則是現(xiàn)代邏輯學(xué)最重要的研究方法。形式化過程一般包括：進(jìn)行預(yù)備性研究、構(gòu)造形式系統(tǒng)并對其進(jìn)行解釋、關(guān)于形式系統(tǒng)的元邏輯研究這幾大步驟[2]124-130。具體地說，對現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行模擬的現(xiàn)代邏輯學(xué)形式系統(tǒng)，一般都遵循這樣的研究思路：首先，根據(jù)研究對象給出一個沒有歧義的形式語言，目的是規(guī)定哪些符號串是所研究的形式系統(tǒng)的合式公式；其次，給出這一形式語言的語義解釋，這需要利用賦值給出合式公式有效性定義；然后，給出這一形式系統(tǒng)的公理和推理規(guī)則；再次，根據(jù)這一形式系統(tǒng)的語言、語義、公理和推理規(guī)則，尋找相關(guān)定理；最后，研究系統(tǒng)的可靠性、完全性、可判定性和復(fù)雜性等等。
哲學(xué)本體論是研究隱藏在真實(shí)世界背后存在的最高本質(zhì)，即對本體、屬性和關(guān)系進(jìn)行哲學(xué)思考。因此，現(xiàn)代邏輯學(xué)本體論的現(xiàn)實(shí)原型就是現(xiàn)實(shí)世界的本體、屬性和關(guān)系。從科學(xué)哲學(xué)的視角看，不論是計算機(jī)科學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，還是邏輯學(xué)，一般都遵循著相同的研究思想——結(jié)構(gòu)主義的研究思想：重要的不是個體對象、集合，而是所研究對象的結(jié)構(gòu)以及結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。正如高斯所說：“數(shù)學(xué)是關(guān)于關(guān)系的科學(xué)，從關(guān)系中可以抽象出任何概念?！迸砑永找舱J(rèn)為，“數(shù)學(xué)家不是研究對象，而是研究對象之間的關(guān)系”[11]1-34。計算科學(xué)的基本特征就是研究對象的構(gòu)造性的數(shù)學(xué)特征，并利用定義和解釋，在對現(xiàn)實(shí)中的對象進(jìn)行抽象和模型化的基礎(chǔ)上，給出相關(guān)定理的證明[12]89。
從19世紀(jì)末以來發(fā)展起來的數(shù)理邏輯、模態(tài)邏輯、動態(tài)邏輯(包括命題動態(tài)邏輯、量化動態(tài)邏輯)、認(rèn)知邏輯、廣義量詞理論、類型邏輯語法、范疇類型邏輯等邏輯分支，都或明或暗地采用了結(jié)構(gòu)主義的方法，即對象的結(jié)構(gòu)化的總體特征常常靠利用公理化方法、對象間的映射與同構(gòu)來加以研究。從20世紀(jì)以來，作為數(shù)學(xué)哲學(xué)的結(jié)構(gòu)主義，就已經(jīng)成為研究邏輯學(xué)的主導(dǎo)方法，在模態(tài)邏輯、命題動態(tài)邏輯、廣義量詞理論和范疇類型邏輯中表現(xiàn)得尤為突出。從總體上看，結(jié)構(gòu)主義的特征在邏輯學(xué)一直或隱或顯地存在著，正是這一結(jié)構(gòu)主義特征激發(fā)了邏輯學(xué)界、科學(xué)哲學(xué)界等對結(jié)構(gòu)主義進(jìn)行深入研究的興趣。
筆者認(rèn)為：不論數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義有多少種學(xué)派，也不論各學(xué)派之間有何分歧，邏輯學(xué)，尤其是形式化的現(xiàn)代邏輯學(xué)，幾乎都或隱或顯地采用了結(jié)構(gòu)主義的研究方法。也就是說，形式化的現(xiàn)代邏輯學(xué)主要是描述各自論域中的各種研究對象的結(jié)構(gòu)性特征及其相互關(guān)系，而不必考慮具體對象的內(nèi)在的品質(zhì)，不同的邏輯對象可以由其相應(yīng)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)或結(jié)構(gòu)之間的基本關(guān)系來表示。
比如：模態(tài)邏輯充分考慮了含有“可能”和“必然”的模態(tài)語句的這一命題結(jié)構(gòu)，引入了“可能”和(或)“必然”模態(tài)詞，對傳統(tǒng)的一階邏輯進(jìn)行擴(kuò)展而得到的。因?yàn)轭A(yù)設(shè)的公理和推理規(guī)則不同，而得到的模態(tài)系統(tǒng)也不同，對這些模態(tài)系統(tǒng)的框架進(jìn)行解釋就可以得到不同的模型。認(rèn)知邏輯則是模態(tài)邏輯的改版，即：把模態(tài)邏輯中的必然算子，解釋成相信算子或知道算子等而得到的。雖然各個邏輯系統(tǒng)千差萬別，但是，各個系統(tǒng)所給出的句法和語義，以及隨之而定義的框架與模型和在此基礎(chǔ)上對可靠性和完全性、可判定以及復(fù)雜性的探討等等，都或隱或顯地彰顯了結(jié)構(gòu)主義的特征。
由于很多數(shù)學(xué)都研究抽象的結(jié)構(gòu)，因此，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義在數(shù)學(xué)哲學(xué)中占據(jù)著主導(dǎo)的地位。根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)理論描述各自論域中的結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，而不必考慮所討論對象的內(nèi)在品質(zhì)[13]。狄德金主張把數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作為以集合、運(yùn)算和關(guān)系的系統(tǒng)的基礎(chǔ)，并認(rèn)為同構(gòu)概念與結(jié)構(gòu)的類型緊密相關(guān)[3]10。為了準(zhǔn)確清晰地表述“結(jié)構(gòu)”或“結(jié)構(gòu)映射”的概念，數(shù)學(xué)只有利用集合論，或者只有利用作為結(jié)合論的一個分支的模型論，才能夠準(zhǔn)確表征結(jié)構(gòu)、結(jié)構(gòu)映射等概念。因此，集合論就成為結(jié)構(gòu)主義重建數(shù)學(xué)的語言基礎(chǔ)，成為結(jié)構(gòu)主義表述各種數(shù)學(xué)對象及其相互關(guān)系的基本語言。作為現(xiàn)代邏輯學(xué)的重要分支之一的廣義量詞理論，集合論語言是其基本語言，因此，廣義量詞理論也采用了結(jié)構(gòu)主義的研究方法。下面，筆者將以廣義量詞理論為例，來考察結(jié)構(gòu)主義在現(xiàn)代邏輯學(xué)中的具體體現(xiàn)。
三結(jié)構(gòu)主義在現(xiàn)代邏輯學(xué)中的具體實(shí)例
廣義量詞理論是揭示廣義量詞的普遍語義性質(zhì)和推理特征的自然語言邏輯理論。集合論視域下的廣義量詞是通過對自然語言中的名詞短語或其限定詞進(jìn)行語義解釋后而得到的。即：廣義量詞對應(yīng)于所有名詞短語或其限定詞的指稱。一階邏輯的全稱量詞和存在量詞也是廣義量詞。可見，廣義量詞理論是在一階邏輯和集合論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它對廣義量詞的真值定義是建立在標(biāo)準(zhǔn)模型論的基礎(chǔ)之上，廣義量詞的量化論域是由個體組成的集合，真值的模型論概念則是利用非邏輯符號的解釋和量化論域來加以表述的[14]40-41。廣義量詞理論以集合論語言作為其基本語言，而集合論語言是結(jié)構(gòu)主義表述各種數(shù)學(xué)對象及其相互關(guān)系的基本語言，因此，廣義量詞理論在諸多方面都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的思想。
(一)廣義量詞的同構(gòu)閉包性彰顯了結(jié)構(gòu)主義的思想
1957年，莫斯托維斯基(Mostowski)為〈1〉類型廣義量詞附加了這樣條件：不允許我們對論域中的元素加以區(qū)分。1966年，林登斯托姆(Lindstr?m)把這一條件推廣到更為普遍的情況，而且這一條件得到了邏輯學(xué)家的公認(rèn)。這一條件被稱為同構(gòu)閉包(isomorphismclosure)，即：在邏輯中，只有結(jié)構(gòu)才是重要的，個體對象、集合本身并不重要。這一思想與數(shù)學(xué)哲學(xué)中的結(jié)構(gòu)主義思想不謀而合。用邏輯的術(shù)語來表述同構(gòu)閉包的思想就是：如果一個邏輯語言中的語句在一個模型中為真，那么該語句在所有的同構(gòu)模型中為真。即：邏輯是主題中立的[14]95。如果邏輯是獨(dú)立于主題事物，那么邏輯常元將在論域間的任意雙射下都是不變的，或者更弱一點(diǎn)地說，邏輯常元在論域的任意置換下是不變的[14]324-325。比如：假設(shè)把“學(xué)生”一一映射成“狗狗”，把“面包”一一映射成“骨頭”，把“在吃”一一映射成“在啃”，那么，如果“每個學(xué)生最少吃三塊面包”在一個模型中為真，那么“每個狗狗最少啃三塊骨頭”肯定在其同構(gòu)模型中也為真。這說明，“每個”和“最少三(塊)”具有同構(gòu)閉包性?？梢?，邏輯學(xué)對所有對象都同等對待，邏輯性質(zhì)不但在嚴(yán)格變換下是不變的，而且在所有雙射下也是不變的[14]325。
同構(gòu)閉包不僅僅局限于量詞。比如，命題聯(lián)結(jié)詞也不關(guān)注主題事物：合取詞可以統(tǒng)一運(yùn)用于兩個語句或兩個集合或兩個別的對象，而不考慮這兩個對象的具體內(nèi)容，僅僅考慮這兩個對象的結(jié)構(gòu)。這說明，同構(gòu)閉包表達(dá)的思想與結(jié)構(gòu)主義的思想也是相通的。對于自然語言量化而言，同構(gòu)閉包具有重要的意義。莫斯托維斯、林登斯托姆、塔斯基和范本特姆都認(rèn)為，滿足同構(gòu)閉包性是滿足邏輯性的必要條件[14]327-328。值得我們注意的是，邏輯學(xué)家和計算機(jī)科學(xué)家，在實(shí)踐中提出的所有形式語言都具有這樣的性質(zhì)：真在同構(gòu)下得以保持，在系統(tǒng)中使用的所有算子以及由這些算子定義的別的所有算子，都滿足同構(gòu)閉包性[14]328。
(二)廣義量詞的真值定義體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)主義的思想
從語法的視角看，一個廣義量詞是一個變元約束算子，此算子把每個定義域與其任意子集間的一個二元關(guān)系聯(lián)系起來。從語義的視角看，一個廣義量詞是一個映射，此映射通過表征廣義量詞的論元集合的性質(zhì)或論元集合之間的關(guān)系，來揭示廣義量詞的語義性質(zhì)[15]。例如：每個亞氏量詞(即：all、some、no、notall這四個特殊的廣義量詞)實(shí)際上表示的是個體的集合之間的一個特殊的二元關(guān)系。比如：在“所有學(xué)生都去操場了”中，令論域中所有學(xué)生組成的集合用S表示，論域中所有去操場的個體組成的集合用P表示，這一語句就可以表示為all(S，P)這一三分結(jié)構(gòu)，其真值定義all(S，P)?S?P的意思是，集合S是包含在集合P中，即：論域中，所有學(xué)生組成的集合包含在所有去操場的個體組成的集合中。
從以上的分析可以看出，廣義量詞理論很好地詮釋了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的內(nèi)涵。比如：all(S，P)這一三分結(jié)構(gòu)還可以表示“所有的人都是要死的”、“所有的狗狗都要睡覺”、“所有的大米都吃完了”等等，這里的“學(xué)生”“人”、“狗狗”“大米”等對象所組成的集合S，以及這些對象分別與“去操場了”、“要死的”、“要睡覺”和“吃完了”等對象所組成的集合P，這些具體對象本身并不重要，重要的是這些語句都可以用all(S，P)這一三分結(jié)構(gòu)來加以統(tǒng)攝。其真值條件就是，當(dāng)S?P(即S包含于P時)時，all(S，P)就為真。
(三)廣義量詞理論對單調(diào)性的處理也展示了結(jié)構(gòu)主義的思想
廣義量詞的單調(diào)性是廣義量詞最為重要的語義性質(zhì)。例如：至少三分之二的學(xué)生認(rèn)真完成了作業(yè)。?至少三分之二的學(xué)生完成了作業(yè)。令S表示論域中所有學(xué)生組成的集合，P表示論域中認(rèn)真完成作業(yè)的個體組成的集合，P′表示論域中完成作業(yè)的個體組成的集合?！爸辽偃种膶W(xué)生認(rèn)真完成了作業(yè)”可表示成atleast2/3(S，P)這樣的三分結(jié)構(gòu)，“至少三分之二的學(xué)生完成了作業(yè)”可表示成atleast2/3(S，P)這樣的三分結(jié)構(gòu)。這一單調(diào)性推理可形式化為atleast2/3(S，P)?atleast2/3(S，P′)，由于P?P′，由P到P′，集合在增大，因此，這一推理體現(xiàn)了“至少三分之二的”這一廣義量詞的右單調(diào)遞增的性質(zhì)。而P?P′可以理解為，所有的P都是P′，這可表示成all(P，P′)。具體地說，就是：所有認(rèn)真完成了作業(yè)的個體都是完成了作業(yè)的個體。這一單調(diào)性推理其實(shí)是省略了all(P，P′)這一前提的廣義三段論推理，其形式化結(jié)構(gòu)為：atleast2/3(S，P)∧all(P，P′)?atleast2/3(S，P′)。事實(shí)上，所有關(guān)于廣義量詞的單調(diào)性推理，都是省略了一個暗含前提的廣義三段論推理。
可見，廣義量詞理論對單調(diào)性的處理所使用的基本語言也是集合論語言，這一語言也是結(jié)構(gòu)主義的基本語言，因而體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)主義的思想。1984年范本特姆提出的利用數(shù)字三角形方法，來表征具有駐留性、擴(kuò)展性和同構(gòu)閉包性的〈1〉類型和〈1，1〉類型廣義量詞的單調(diào)性，其背后也暗含了濃烈的結(jié)構(gòu)主義思想。限于篇幅，不再詳細(xì)論述。
(四)基于廣義量詞理論的廣義三段論推理蘊(yùn)涵了結(jié)構(gòu)主義的思想
正如一階邏輯的全稱量詞和存在量詞是廣義量詞的特例一樣，亞氏三段論也是廣義三段論的特例。自亞里士多德開始的很長時期內(nèi)，對亞氏三段論的有效性的研究，幾乎都是采用的是非形式化的方法。自從有了廣義量詞理論后，對包括亞氏三段論在內(nèi)的廣義三段論的研究，就可以用形式化的方法來對其進(jìn)行表示和有效性的證明[1]155-202。而且利用廣義量詞理論，不僅可以對24個有效的亞氏三段論進(jìn)行形式化，而且還可以對其進(jìn)行公理化[16]。這種形式化的邏輯研究方法不僅拓展了邏輯研究的范圍、提升了邏輯學(xué)的研究能力，更重要的是有利于計算機(jī)科學(xué)中的知識表示、知識推理和自然語言信息處理。
廣義量詞理論完成以上這些任務(wù)主要還是利用了集合論語言，彰顯了結(jié)構(gòu)主義的思想。具體地說，就是充分利用了“含有〈1，1〉類型的廣義量詞Q的量化語句具有Q(S，P)這樣的三分結(jié)構(gòu)”這一知識?！?，1〉類型的廣義量詞揭示的是所涉及的左論元所組成的集合與其右論元所組成的集合之間的二元關(guān)系。〈1〉類型的廣義量詞揭示的是所涉及的論元所組成的集合的性質(zhì)。由于自然語言中的廣義量詞絕大多數(shù)都是〈1〉類型和〈1，1〉類型的廣義量詞，而且對〈1〉類型的廣義量詞的研究可以轉(zhuǎn)化為對其〈1，1〉類型的親緣廣義量詞的研究[1]46。因此，利用這一結(jié)構(gòu)主義思想，就可以對自然語言中絕大部分廣義三段論進(jìn)行形式化和有效性的證明。簡言之，這一結(jié)構(gòu)主義的研究方法具有很強(qiáng)普適性。
例如：“所有渴望暴富的人都是浮躁之人。大多數(shù)人都是渴望暴富的人。所以，大多數(shù)人都是浮躁之人。”其中的“大多數(shù)的”對應(yīng)的是〈1，1〉類型的廣義量詞。令論域中所有人組成的集合用S表示，論域中浮躁之人組成的集合用P表示，論域中渴望暴富的人組成的集合用M表示。利用結(jié)構(gòu)主義的形式化表示方法，這一廣義三段論，可以形式化為：all(M，P)∧most(S，M)?most(S，P)。利用廣義量詞的真值定義就可證明這一廣義三段論的有效性。證明：假設(shè)all(M，P)與most(S，M)這兩個條件均成立。根據(jù)all和most的真值定義可知：all(M，P)?M?P，且most(S，M)?|S∩M|≥|0.55|S|，因此，|S∩P|≥0.55|S|。再根據(jù)most的真值定義“most(S，P)?|S∩P|≥0.55|S|”可知：most(S，P)成立。證畢。對亞氏三段論和其他廣義三段論的形式化及其有效性的證明均可以類似處理?？梢?，利用結(jié)構(gòu)主義的形式化研究方法，可以簡潔明了地對包括亞氏三段論在內(nèi)的廣義三段論進(jìn)行形式化及其有效性的證明。
筆者多年的研究表明：這一結(jié)構(gòu)主義研究方法普適性非常強(qiáng)。因?yàn)椴徽撌亲匀徽Z言中無處不在的廣義量詞的單調(diào)性推理，還是亞氏三段論推理，抑或是廣義三段論推理，以及建基于這三種推理之上的語篇推理，都可以使用這種結(jié)構(gòu)主義的研究方法來進(jìn)行形式化及其有效性的證明。
四結(jié)論
