初中線上教學方案精選(九篇)
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第1篇：初中線上教學方案范文
數(shù)學課堂數(shù)學文化數(shù)學素質在長期的傳統(tǒng)教學文化的熏陶下，我們的學生形成了一種學習意識：文本就是真理，教師就是權威。學生把學習理解成了讀教科書，做老師規(guī)定的習題、講義，認為答對了老師的問題，就是掌握了知識，形成了智慧和能力。于是，在我們的許多常態(tài)課堂中，我們經常聽到老師這樣問：聽懂了嗎？記住了嗎？會做了嗎？當我們看到這種現(xiàn)實的課堂文化，結合我們當前的課堂改革，我們迫切需要轉變教育觀念，改革課堂教學文化。因為我們認為沒有課堂文化的構建，課堂教學改革必將走向形式化，最終無功而回。
下面，筆者試就數(shù)學課堂教學中數(shù)學文化的構建，結合實例談幾點個人的看法。一、數(shù)學課堂文化的構建，需要著力創(chuàng)設在課堂中產生學生思想的時空
我們時常說，學生是教學的主體，教師處于主導地位。而在實際教學中，教師往往“越位”，把自己變成課堂的主宰，自己一講到底，課堂變成“一言堂”。這實質是課堂文化的專斷現(xiàn)象。在實施課堂改革的今天，教師必須轉換自己的課堂角色，把課堂的舞臺還給學生，讓他們成為課堂的主角。要使課堂產生學生的思想，教師應從以下方面努力。
1.營造寬容的課堂環(huán)境，樹立民主的課堂觀念
寬容是課堂生活的起點。因為寬容，學生才敢于道出困惑，才敢于質疑，才敢于創(chuàng)造；因為寬容，教師才能知道學生的困惑，才能聽到質疑的聲音，才能判斷教學的下一個方向在哪里。師生真正的思維對話與碰撞才得以展開。
2.豐富課堂活動形式，使學生能有所“表演”
把課堂的舞臺還給學生，讓學生成為主角，必須有能讓學生有所“表演”的形式。在傳統(tǒng)的課堂教學中，整堂課圍著習題轉的那種“版本”下，學生很難有所“表演”。教師不僅要使教學內容與學生實際生活相銜接，更是通過豐富多彩的課堂教學活動形式，為學生創(chuàng)造“表演”的機會?，F(xiàn)在不少教師所采用的“做一做”“畫一畫”“量一量”“猜一猜”“辨一辨”“估計一下”等方式，都是能讓學生有作為的好形式。還有像數(shù)學小游戲、小論文、辯論賽等各種開放型活動形式，只要組織得好，都能讓學生有所思、有所言，能讓他們樂于表達自己的數(shù)學思想，讓他們從中享受學習的樂趣，體驗到成功的快樂。
二、數(shù)學課堂文化的構建，應教給學生學會數(shù)學的思維和思想方法
數(shù)學家波利亞認為，中學數(shù)學教育的根本宗旨是“教會年輕人思考”。教師要努力啟發(fā)學生自己發(fā)現(xiàn)解法，從而在根本上提高學生的解題能力。為了使學生的學習更符合學習規(guī)律，并在知識學習過程中發(fā)展能力，學會學習，筆者在教學中，加強了知識形成過程的教學，并使學生更多地參與教學過程。學生如果掌握了這些學習新知識的基本方法和途徑，他們就掌握了打開寶庫的金鑰匙，獲得學習的主動權。
案例：在“二元一次方程組的解法”教學中，通過實際問題得到二元一次方程組然后，向同學們提出了問題。
教師：今天學元一次方程組的解法。按照以前研究和學習新知識的方法，應該怎么辦？
學生：（幾乎是異口同聲）轉化成已知的問題來解決。
教師：那么，我們已知哪些與之有關的知識？
學生1：一元一次方程的解法。
教師：那么，二元一次方程組與一元一次方程有什么區(qū)別？
學生2：二元一次方程組比一元一次方程多了一個未知數(shù)，多了一個方程。
教師：要實現(xiàn)“轉化”，關鍵要解決什么問題？
學生3：關鍵是消掉一個未知量。
教師：有沒有辦法做到這一點呢？
幾分鐘的討論，同學們不僅想到用代入消元法，而且也用到了加減消元法。在筆者進一步引導下，學生通過討論，也搞清楚了為什么用代入消元法和加減消元法，體會了“等量替換”的思想。
然后，在安排例題和練習時，有意識強調代入消元法，使同學們進一步鞏固和掌握它。
教師必須指導學生“會”學習，使他們能主動地、積極地、創(chuàng)造性地學習，教師要擺正自己在教學中的位置，真心誠意地把學生當作學習的主任，適時地發(fā)揮指導作用，要努力提高“導”的藝術，從而在教學中恰到好處地去啟發(fā)、點撥、設疑、解惑。要大力提倡教師在課堂教學中，少一點講解、分析、提問，多一點引導、點撥、激勵，徹底改變那種牽著學生走的狀態(tài)。這正是構建數(shù)學課堂文化的精髓所在。
三、數(shù)學課堂文化的構建，要注重展現(xiàn)知識的發(fā)生發(fā)展過程
在傳統(tǒng)的教學中，數(shù)學課堂教學最重要的還是如何讓學生掌握教材上的知識點，進而形成解決考試所需要的解題能力，根本就沒有考慮到如何利用展現(xiàn)知識的發(fā)生過程來滲透數(shù)學文化的科學教育價值。其實，每一個重要數(shù)學知識的產生都有其深刻的背景，我們的課堂教學不僅要讓學生獲得知識，而且更重要的是通過知識獲得的過程來發(fā)展學生的能力。
案例：在教學“三角形的三條重要線段”一節(jié)概念教學設計如下方案。
方案1：教師在黑板上畫ABC，邊畫邊解說，取BC的中點D，線段AD就是ABC的一條中線，作∠A的平分線AE，交BC于點E，則線段AE就是ABC的一條角平分線，作AFBC，垂足為F，則線段AF就是ABC的一條高。然后教師引導學生進行辨認訓練。方案2：教師請大家拿出紙、尺和筆，和學生一起回顧已學過的有關角平分線、垂線的畫法，再提問：如圖1，點P在ABC的邊BC上運動，當點P運動到什么位置，會有一些“特殊”的線段？
經片刻思考后，學生能陸續(xù)發(fā)現(xiàn)角平分線、垂線、中線，從而引出課堂：三角形的三條重要的線段。教師再補充完善概念，進行辨認訓練。
方案3：教師先提出問題，給定ABC，能否在BC邊上找到一點D，使得AD將ABC的面積平分？若BC上有一個動點P，當P運動到什么位置時，線段AP的長度最短？
教師提出“問題串”，引導學生思考：什么情況下兩個三角形的面積相等？直線外一點到直線上各點的距離何時最短？學生經過探究思考，不難得出正確結論，從而引出中線、高的概念，之后再引出角平分線的概念。
方案1形式單調，學生對學習這三類線段的價值心存茫然，只是依據(jù)老師的講解模仿、記憶和訓練，且思維要求較低；方案2是先通過師生畫圖復習舊知識，再提出一個精心預設的問題，引起了學生的探究欲望，因為有舊知識的鋪墊，學生容易掌握；方案3則是先創(chuàng)設一個幾何情境，提出“面積平分”問題，側重引出三條線段的必要性。方案2和方案3都是側重知識的發(fā)生發(fā)展過程，讓學生帶著問題探究思考，學生在了解知識的形成過程的同時，思維也得到了訓練。
以上僅從幾個方面探討了初中數(shù)學課堂文化的構建策略，但是策略的選擇具有動態(tài)生成性、選擇性、綜合性、靈活性和創(chuàng)新性等特點，教師應根據(jù)課堂教學目標、教學內容、師生實際、學校條件等因素，精心選擇、設計適宜的教學策略，最大限度地促使學生快樂高效學習?？傊?，只有我們教師不斷學習先進的教育教學理論，不斷反思自己的課堂教學行為，合理運用課堂文化的構建策略，才能真正提高和發(fā)展學生的數(shù)學能力，才能真正培養(yǎng)具有創(chuàng)新素質的人才，才能真正使教育成為學生幸福成長的奠基石。
參考文獻
[1]周茂生.追求有效的數(shù)學課堂教學[J].中學數(shù)學教學參考（中旬）,2010，（8）
[2]顧廣林.課堂教學中數(shù)學文化教育價值的挖掘[J].中國數(shù)學教育，2010，（11）
第2篇：初中線上教學方案范文
【關鍵詞】探究性；途徑；自主；合作
【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1009-5071(2012)01-0304-01
探究性學習即“學生在學科領域或現(xiàn)實生活的情境中，通過發(fā)現(xiàn)問題、調查研究、動手操作、表達與交流等探究性活動，獲得知識、技能和態(tài)度的學習方式和學習過程。”探究性學習主要在于學生的學，以獨立或小組合作的方式進行探索性、研究性學習活動，注重學生的主動探索、體驗和創(chuàng)新。下面我就探究性學習的實施途徑談一談在教學中的幾點體會。
1 在概念的教學中體驗知識的形成過程，進行探究性學習
概念的形成有一個從具體到表象到抽象的過程，學生獲得概念的過程，是一個抽象概括的過程。對抽象數(shù)學概念的教學，更要關注概念的實際背景與形成過程，讓學生體驗一些熟知的實例，克服機械記憶概念的學習方式，經歷知識的形成過程。比如函數(shù)概念，學生很難理解課本中給出的定義，教學中不能讓學生死記硬背定義，也不應只關注對其表達式、定義域、值域的討論，而應選取具體事例，使學生體會函數(shù)能夠反映實際事物的變化規(guī)律。如先讓學生指出下列問題中哪些是變量，它們之間的關系用什么方式表達：①火車的速度是每小時60千米，在t小時內行過的路程是s千米；②用表格給出的某水庫的存水量與水深；③等腰三角形的頂角與一個底角；④由某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時刻。（①②④均為教材例子）然后讓學生反復比較，得出各例中兩個變量的本質屬性：一個變量每取一個確定的值，另一個變量也相應地唯一確定一個值。再讓學生自己舉出函數(shù)的實例，辨別真假例子，抽象、概括出函數(shù)定義，至此學生能體會到函數(shù)“變”，但變化規(guī)律如何？教師要繼續(xù)引導探究實際事例（如上例④），指導學生開展以下活動：①描點：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描出相應的點。②判斷：判斷各點的位置是否在同一直線上。③求解：在判斷出這些點在同一直線上的情況下，由“兩點確定一條直線”，求出一次函數(shù)的表達式。④驗證：其余各點是否滿足所求的一次函數(shù)表達式。
2 在定理、法則的發(fā)現(xiàn)中進行探究性學習
前人的知識對學生來說是全新的，學習應是一個再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程，教師要引導學生置身于問題情境中，揭示知識背景，從數(shù)學家的廢紙簍里尋找探究痕跡，讓學生體驗數(shù)學家們對一個新問題是如何去研究創(chuàng)造的，暴露思維過程，體驗探索的真諦。如三角形內角和定理的教學，學生在小學時就知道把三個角剪下拼成一個平角，從而得出三角形內角和是180度，但定理是要經過嚴密論證的，教師要引導學生探究這個拼的實質。學生的拼法大致有以下四種情形，教師讓學生把拼的圖形畫下來，引導學生從拼法中探究證明的思路，自然地讓學生接觸到幾何中添輔助線的問題，體會到添輔助線這一抽象的數(shù)學手段的來歷和作用，同時定理的證明水到渠成。
3 在例題的引申拓展中進行探究性學習
在初二幾何“直角三角形全等的判定”中有這樣一個例題：“求證：有一條直角邊及斜邊上的高線對應相等的兩個直角三角形全等?！边@個問題學生不難證明，但教師不能到此為止，可以引導學生進行多方面的探索。
探索1：能否將斜邊上的高線改為斜邊上的中線和對應角的角平分線？
命題1：有一條直角邊及斜邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等。（真）
命題2：有一條直角邊及對應角的角平分線相等的兩個直角三角形全等。（真）
探索2：能否把直角三角形改為一般三角形？
命題3：有兩邊及第三邊上的高線對應相等的兩個三角形全等。
讓學生分組討論，命題錯誤，因為三角形的形狀不同，高線的位置不同。那么在什么條件下命題成立？學生自然提出下面三個命題。
命題4：如果兩個銳角三角形的兩條邊和第三邊的高線對應相等，那么這兩個三角形全等。
命題5：如果兩個直角三角形的兩條邊和第三邊的高線對應相等，那么這兩個三角形全等。
命題6：如果兩個鈍角三角形的兩條邊和第三邊的高線對應相等，那么這兩個三角形全等。
大多數(shù)學生認為這樣分類以后，三個命題肯定正確，對命題6教師引導學生畫圖探究， 可以發(fā)現(xiàn)下圖中的ΔABC和ΔADC符合條件但結論不成立。
4 數(shù)學問題在實際應用中的探究
教師應盡可能多提供一些現(xiàn)代生活中學生感興趣的事例進行探究。如市場銷售問題、辦廠贏虧測算、股票風險投資、貸款利息計算、道路交通狀況、環(huán)境資源調查、有獎銷售討論、體育比賽研究等等。如學習了函數(shù)和不等式的知識后，可以讓學生計算有關經濟問題。
例：有一批電腦，原銷售價格為每臺80000元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售。甲商場的促銷方法是：買一臺的單價為7800元，買兩臺的單價為7600元，依此類推，每多買一臺單價再減少200元，但每臺單價不能低于4400元；乙商場一律都按原價打七五折銷售。某校需購買一批此型號的電腦，請同學們幫學校算算，去哪家商場購買節(jié)約開支？
5 對實踐性作業(yè)的探究
第3篇：初中線上教學方案范文
第一部分
常見輔助線做法
等腰三角形:
1.
作底邊上的高，構成兩個全等的直角三角形
2.
作一腰上的高；
3
.過底邊的一個端點作底邊的垂線，與另一腰的延長線相交，構成直角三角形。
梯形
1.
垂直于平行邊
2.
垂直于下底，延長上底作一腰的平行線
3.
平行于兩條斜邊
4.
作兩條垂直于下底的垂線
5.
延長兩條斜邊做成一個三角形
菱形
1.
連接兩對角
2.
做高
平行四邊形
1.
垂直于平行邊
2.
作對角線——把一個平行四邊形分成兩個三角形
3.
做高——形內形外都要注意
矩形
1.
對角線
2.
作垂線
很簡單。無論什么題目，第一位應該考慮到題目要求，比如AB=AC+BD....這類的就是想辦法作出另一條AB等長的線段，再證全等說明AC+BD=另一條AB,就好了。還有一些關于平方的考慮勾股，A字形等。
三角形
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線（垂線段相等）。
也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。
角平分線平行線，等腰三角形來添。
角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。
要證線段倍與半，延長縮短可試驗。
三角形中兩中點，連接則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。
解幾何題時如何畫輔助線?
①見中點引中位線，見中線延長一倍
在幾何題中，如果給出中點或中線，可以考慮過中點作中位線或把中線延長一倍來解決相關問題。
②在比例線段證明中，常作平行線。
作平行線時往往是保留結論中的一個比，然后通過一個中間比與結論中的另一個比聯(lián)系起來。
③對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有
1、過上底的兩端點向下底作垂線
2、過上底的一個端點作一腰的平行線
3、過上底的一個端點作一對角線的平行線
4、過一腰的中點作另一腰的平行線
5、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交
6、作梯形的中位線
7、延長兩腰使之相交
四邊形
平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。
梯形里面作高線，平移一腰試試看。
平行移動對角線，補成三角形常見。
證相似，比線段，添線平行成習慣。
等積式子比例換，尋找線段很關鍵。
直接證明有困難，等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線
初中數(shù)學輔助線的添加淺談
人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當問題的條件不夠時，添加輔助線構成新圖形，形成新關系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。
一．添輔助線有二種情況：
1按定義添輔助線：
如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90°；證線段倍半關系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關系也可類似添輔助線。
2按基本圖形添輔助線：
每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們
把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：
（1）平行線是個基本圖形：
當幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線
（2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：
當幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：
出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。
（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形
出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。
（5）三角形中位線基本圖形
幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當出現(xiàn)線段倍半關系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當出現(xiàn)線段倍半關系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。
（6）全等三角形：
全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或將三角形沿對稱軸翻轉。當幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結或過二端點添平行線
（7）相似三角形：
相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉型；當出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。
（8）特殊角直角三角形
當出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進行證明
（9）半圓上的圓周角
出現(xiàn)直徑與半圓上的點，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對弦---直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。
二．基本圖形的輔助線的畫法
1.三角形問題添加輔助線方法
方法1：有關三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結論恰當?shù)霓D移，很容易地解決了問題。
方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質和題中的條件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。
方法3：結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形，或利用關于平分線段的一些定理。
方法4：結論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。
2.平行四邊形中常用輔助線的添法
平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：
（1）連對角線或平移對角線：
（2）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形
（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或中位線
（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形。
（5）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等.
3.梯形中常用輔助線的添法
梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：
（1）在梯形內部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰
（3）梯形內平移兩腰
（4）延長兩腰
（5）過梯形上底的兩端點向下底作高
（6）平移對角線
（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。
（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。
（9）作中位線
當然在梯形的有關證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關鍵。
4.圓中常用輔助線的添法
在平面幾何中，解決與圓有關的問題時，常常需要添加適當?shù)妮o助線，架起題設和結論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。
（1）見弦作弦心距
有關弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應的半徑），通過垂徑平分定理，來溝通題設與結論間的聯(lián)系。
（2）見直徑作圓周角
在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用“直徑所對的圓周角是直角“這一特征來證明問題。
（3）見切線作半徑
命題的條件中含有圓的切線，往往是連結過切點的半徑，利用“切線與半徑垂直“這一性質來證明問題。
（4）兩圓相切作公切線
對兩圓相切的問題，一般是經過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關的角的關系。
（5）兩圓相交作公共弦
對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。作輔助線的方法
一：中點、中位線，延線，平行線。
如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應用某個定理或造成全等的目的。
二：垂線、分角線，翻轉全等連。
如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。
三：邊邊若相等，旋轉做實驗。
如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉兩種。
四:造角、平、相似，和、差、積、商見。
如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！?/p>
托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）
五：兩圓若相交，連心公共弦。
如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。
六：兩圓相切、離，連心，公切線。
如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內切），或相離（內含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內外公切線。
七：切線連直徑，直角與半圓。
如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。
如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。
如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。
如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。
有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內角和圓外角也存在因果關系互相聯(lián)想作輔助線。
九：面積找底高，多邊變三邊。
如遇求面積，（在條件和結論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。
如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。
另外，我國明清數(shù)學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變三邊”。
第二部分
常考題型解析
三角形中作輔助線的常用方法舉例
一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，如：
例1：已知如圖1-1：D、E為ABC內兩點,求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC
于M、N，
在AMN中，AM＋AN
＞
MD＋DE＋NE;（1）
在BDM中，MB＋MD＞BD；
（2）
在CEN中，CN＋NE＞CE；
（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
AB＋AC＞BD＋DE＋EC
（法二：）如圖1-2，
延長BD交
AC于F，延長CE交BF于G，
在ABF和GFC和GDE中有：
AB＋AF＞
BD＋DG＋GF?（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）
GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）
DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：
例如：如圖2-1：已知D為ABC內的任一點，求證：∠BDC＞∠BAC。
分析：因為∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內角的位置；
證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是EDC的外角，
∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∠BDC＞∠BAC
證法二：連接AD，并延長交BC于F
∠BDF是ABD的外角
∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD
∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。
三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，如：
例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。
分析：要證BE＋CF＞EF
，可利用三角形三邊關系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個三角形中。
證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，
在DBE和DNE中：
DBE≌DNE
（SAS）
BE＝NE（全等三角形對應邊相等）
同理可得：CF＝NF
在EFN中EN＋FN＞EF（三角形兩邊之和大于第三邊）
BE＋CF＞EF。
注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的性質得到對應元素相等。
四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。
例如：如圖4-1：AD為ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF
證明：延長ED至M，使DM=DE，連接
CM，MF。在BDE和CDM中，
BDE≌CDM
（SAS）
又∠1＝∠2，∠3＝∠4
（已知）
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定義）
∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°
∠FDM＝∠EDF
＝90°
在EDF和MDF中
EDF≌MDF
（SAS）
EF＝MF
（全等三角形對應邊相等）
在CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）
BE＋CF＞EF
注：上題也可加倍FD，證法同上。
注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。
五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。
例如：如圖5-1：AD為
ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。
分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到：
AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋
BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結論多BD＋CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去。
證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE＝2AD
AD為ABC的中線
（已知）
BD＝CD
（中線定義）
在ACD和EBD中
ACD≌EBD
（SAS）
BE＝CA（全等三角形對應邊相等）
在ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊）
AB＋AC＞2AD。
（常延長中線加倍，構造全等三角形）
練習：已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2，
求證EF＝2AD。
六、截長補短法作輔助線。
例如：已知如圖6-1：在ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任一點。求證：AB－AC＞PB－PC。
分析：要證：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三邊關系定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，
再連接PN，則PC＝PN，又在PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。
證明：（截長法）
在AB上截取AN＝AC連接PN
,
在APN和APC中
APN≌APC
（SAS）
PC＝PN
（全等三角形對應邊相等）
在BPN中，有
PB－PN＜BN
（三角形兩邊之差小于第三邊）
BP－PC＜AB－AC
證明：（補短法）
延長AC至M，使AM＝AB，連接PM，
在ABP和AMP中
ABP≌AMP
（SAS）
PB＝PM
（全等三角形對應邊相等）
又在PCM中有：CM＞PM－PC(三角形兩邊之差小于第三邊)
AB－AC＞PB－PC。
七、延長已知邊構造三角形：
例如：如圖7-1：已知AC＝BD，ADAC于A
，BCBD于B，
求證：AD＝BC
分析：欲證
AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與BCD，AOD與BOC，ABD與BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。
證明：分別延長DA，CB，它們的延長交于E點，
ADAC
BCBD
（已知）
∠CAE＝∠DBE
＝90°
（垂直的定義）
在DBE與CAE中
DBE≌CAE
（AAS）
ED＝EC
EB＝EA
（全等三角形對應邊相等）
ED－EA＝EC－EB
即：AD＝BC。
（當條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）
八
、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。
例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC
求證：AB=CD。
分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關知識，必須把它轉化為三角形來解決。
證明：連接AC（或BD）
AB∥CD
AD∥BC
（已知）
∠1＝∠2，∠3＝∠4
（兩直線平行，內錯角相等）
在ABC與CDA中
ABC≌CDA
（ASA）
AB＝CD（全等三角形對應邊相等）
九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。
例如：如圖9-1：在RtABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CEBD的延長于E
。求證：BD＝2CE
分析：要證BD＝2CE，想到要構造線段2CE，同時CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長。
證明：分別延長BA，CE交于點F。
BECF
（已知）
∠BEF＝∠BEC＝90°
（垂直的定義）
在BEF與BEC中，
BEF≌BEC（ASA）CE=FE=CF
（全等三角形對應邊相等）
∠BAC=90°
BECF
（已知）
∠BAC＝∠CAF＝90°
∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
∠BDA＝∠BFC
在ABD與ACF中
ABD≌ACF
（AAS）BD＝CF
（全等三角形對應邊相等）
BD＝2CE
十、連接已知點，構造全等三角形。
例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。
分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形ABO和DCO全等，而只有AB＝DC和對頂角兩個條件，差一個條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則ABC和DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。
證明：連接BC，在ABC和DCB中
ABC≌DCB
(SSS)
∠A＝∠D
(全等三角形對應邊相等)
十一、取線段中點構造全等三有形。
例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D
求證：∠ABC＝∠DCB。
分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點N，連接NB，NC，再由SAS公理有ABN≌
DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點M，連接MN，則由SSS公理有NBM≌NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問題得證。
證明：取AD，BC的中點N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在ABN和DCN中
ABN≌DCN
（SAS）
∠ABN＝∠DCN
NB＝NC
（全等三角形對應邊、角相等）
在NBM與NCM中
NMB≌NCM，(SSS)
∠NBC＝∠NCB
（全等三角形對應角相等）∠NBC＋∠ABN
＝∠NCB＋∠DCN
即∠ABC＝∠DCB。
巧求三角形中線段的比值
例1.
如圖1，在ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。
解：過點D作DG//AC，交BF于點G
所以DG：FC＝BD：BC
因為BD：DC＝1：3
所以BD：BC＝1：4
即DG：FC＝1：4，F(xiàn)C＝4DG
因為DG：AF＝DE：AE
又因為AE：ED＝2：3
所以DG：AF＝3：2
即
所以AF：FC＝：4DG＝1：6
例2.
如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD
解：過點C作CG//DE交AB于點G，則有EF：GC＝AF：AC
因為AF＝FC
所以AF：AC＝1：2
即EF：GC＝1：2，
因為CG：DE＝BC：BD
又因為BC＝CD
所以BC：BD＝1：2
CG：DE＝1：2
即DE＝2GC
因為FD＝ED－EF＝
所以EF：FD＝
小結：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點處，且所作的輔助線與結論中出現(xiàn)的線段平行。請再看兩例，讓我們感受其中的奧妙！
例3.
如圖3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。
解：過點B作BG//AD，交CE延長線于點G。
所以DF：BG＝CD：CB
因為BD：DC＝1：3
所以CD：CB＝3：4
即DF：BG＝3：4，
因為AF：BG＝AE：EB
又因為AE：EB＝2：3
所以AF：BG＝2：3
即
所以AF：DF＝
例4.
如圖4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。
解：過點D作DG//CE，交AB于點G
所以EF：DG＝AF：AD
因為AF＝FD
所以AF：AD＝1：2
圖4
即EF：DG＝1：2
因為DG：CE＝BD：BC，又因為BD：CD＝1：3，
所以BD：BC＝1：4
即DG：CE＝1：4，CE＝4DG
因為FC＝CE－EF＝
所以EF：FC＝＝1：7
練習：
1.
如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。
2.
如圖6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。
答案：1、1：10；
2.
9：1
初中幾何輔助線
一
初中幾何常見輔助線口訣
人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。
還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經驗。
三角形
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。
角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。
線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。
四邊形
平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉換，變?yōu)楹汀?/p>
平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。
上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習慣。
等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線，比例中項一大片。
圓形
半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。
切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。
是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。
要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓
如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。
若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。
注意點
輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。
基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經常總結方法顯。
切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。
虛心勤學加苦練，成績上升成直線。
二
由角平分線想到的輔助線
口訣：
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。
角平分線具有兩條性質：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。
①從角平分線上一點向兩邊作垂線；
②利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。
通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。
與角有關的輔助線
（一）、截取構全等
幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學們能掌握相關的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。
如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OED≌OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。
例1．
如圖1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。
分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構造全等三角形，即利用解平分線來構造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。
簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。
例2．
已知：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DCAC
分析：此題還是利用角平分線來構造全等三角形。構造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。
例3．
已知：如圖1-4，在ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB-AC=CD
分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？
練習
1．
已知在ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC
2．
已知：在ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE
3．
已知：在ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC
4．
已知：D是ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。
（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等
過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題。
例1．
如圖2-1，已知AB>AD,
∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求證：∠ADC+∠B=180
分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。
例2．
如圖2-2，在ABC中，∠A=90?，AB=AC，∠ABD=∠CBD。
求證：BC=AB+AD
分析：過D作DEBC于E，則AD=DE=CE，則構造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。
例3．
已知如圖2-3，ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：∠BAC的平分線也經過點P。
分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。
練習：
1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15?，PC//OA，PDOA，
如果PC=4，則PD=（
）
A
4
B
3
C
2
D
1
2．已知在ABC中，∠C=90?，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。
3．已知：如圖2-5,
∠BAC=∠CAD,AB>AD，CEAB，
AE=（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180?。
4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD
的中點，F(xiàn)為BC
上的點，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。
5．
已知：如圖2-7，在RtABC中，∠ACB=90?,CDAB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。
（三）：作角平分線的垂線構造等腰三角形
從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。
例1．
已知：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中點。求證：DH=（AB-AC）
分析：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。
例2．
已知：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90?，AD為∠ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。
分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構造出等腰三角形。
例3．已知：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別∠BAC的內、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結FC并延長交AE于M。
求證：AM=ME。
分析：由AD、AE是∠BAC內外角平分線，可得EAAF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。
例4．
已知：如圖3-4，在ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CMAD交AD延長線于M。求證：AM=（AB+AC）
分析：題設中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作ABD關于AD的對稱AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關于CM的對稱FCM，然后只需證DF=CF即可。
練習：
1．
已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是∠BAC的平分線，且CEAE于E，連接DE，求DE。
2．
已知BE、BF分別是ABC的∠ABC的內角與外角的平分線，AFBF于F，AEBE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC
（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線
有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰三角形。或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。
1
2
A
C
D
B
例4
如圖，AB>AC,
∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。
例5
如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。
B
D
C
A
A
B
E
C
D
例6
如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。
練習：
1.
已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：ABC是直角三角形。
C
A
B
2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DCAC
A
B
D
C
1
2
3．已知CE、AD是ABC的角平分線，∠B=60°，求證：AC=AE+CD
A
E
B
D
C
4．已知：如圖在ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，求證：BC=AB+AD
A
B
C
D
三
由線段和差想到的輔助線
口訣：
線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：
1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；
2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。
對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。
一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，如：
例1、
已知如圖1-1：D、E為ABC內兩點,求證:AB+AC>BD+DE+CE.
證明：（法一）
將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，
在AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）
在BDM中，MB+MD>BD；（2）
在CEN中，CN+NE>CE；（3）
由（1）+（2）+（3）得：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
AB+AC>BD+DE+EC
（法二：圖1-2）
延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：
AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）
GF+FC>GE+CE（同上）（2）
DG+GE>DE（同上）（3）
由（1）+（2）+（3）得：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
AB+AC>BD+DE+EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：
例如：如圖2-1：已知D為ABC內的任一點，求證：∠BDC>∠BAC。
分析：因為∠BDC與∠BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內角的位置；
證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是EDC的外角，
∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∠BDC>∠BAC
證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時∠BDF是ABD的
外角，∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∠BDF+
∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。
注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。
三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，如：
例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。
分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1=∠2，
∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。
證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，
在DBE和NDE中：
DN=DB（輔助線作法）
∠1=∠2（已知）
ED=ED（公共邊）
DBE≌NDE（SAS）
BE=NE（全等三角形對應邊相等）
同理可得：CF=NF
在EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）
BE+CF>EF。
注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的對應性質得到相等元素。
四、截長補短法作輔助線。
例如：已知如圖6-1：在ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD上任一點
求證：AB-AC>PB-PC。
分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PN
即：AB-AC>PB-PC。
證明：（截長法）
在AB上截取AN=AC連接PN,在APN和APC中
AN=AC（輔助線作法）
∠1=∠2（已知）
AP=AP（公共邊）
APN≌APC（SAS）,PC=PN（全等三角形對應邊相等）
在BPN中，有PB-PN
BP-PC
證明：（補短法）
延長AC至M，使AM=AB，連接PM，
在ABP和AMP中
AB=AM（輔助線作法）
∠1=∠2（已知）
AP=AP（公共邊）
ABP≌AMP（SAS）
PB=PM（全等三角形對應邊相等）
又在PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)
AB-AC>PB-PC。
D
A
E
C
B
例1．如圖，AC平分∠BAD，CEAB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。
例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，
求證：∠ADC+∠B=180o
例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。
D
C
B
A
求證：BC=AB+DC。
M
B
D
C
A
例4如圖，已知RtABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線，DMAB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。
1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。
E
D
C
B
A
2.如圖，ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側，
BDAE于D，CEAE于E。求證：BD=DE+CE
四
由中點想到的輔助線
口訣：
三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。
在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質），然后通過探索，找到解決問題的方法。
（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形
即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因為ΔABD與ΔACD是等底同高的）。
例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。
解：因為AD是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，
因DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。
ΔCDF的面積為。
（二）、由中點應想到利用三角形的中位線
例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。
證明：連結BD，并取BD的中點為M，連結ME、MF，
ME是ΔBCD的中位線，
MECD，∠MEF=∠CHE，
MF是ΔABD的中位線，
MFAB，∠MFE=∠BGE，
AB=CD，ME=MF，∠MEF=∠MFE，
從而∠BGE=∠CHE。
（三）、由中線應想到延長中線
例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。
解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。
在ΔACD和ΔEBD中，
AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
ΔACD≌ΔEBD，AC=BE，
從而BE=AC=3。
在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，
BD===，故BC=2BD=2。
例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。
證明：延長AD到E，使DE=AD。
仿例3可證：
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
又∠1=∠2，
∠1=∠E，
AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
（四）、直角三角形斜邊中線的性質
例5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。
證明：取AB的中點E，連結DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。
AB//DC，
∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，
∠1=∠2，
在ΔADE和ΔBCE中，
DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，
ΔADE≌ΔBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。
（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線
例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。
證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，
∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，
ΔBEF≌ΔBEC，EF=EC，從而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
ΔABD≌ΔACF，BD=CF，BD=2CE。
注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。
（六）中線延長
口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。
題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。
例一：如圖4-1：AD為ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF。
證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在BDE和CDM中，
BD=CD（中點定義）
∠1=∠5（對頂角相等）
ED=MD（輔助線作法）
BDE≌CDM（SAS）
又∠1=∠2，∠3=∠4（已知）
∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定義）
∠3+∠2=90°
即：∠EDF=90°
∠FDM=∠EDF=90°
在EDF和MDF中
ED=MD（輔助線作法）
∠EDF=∠FDM（已證）
DF=DF（公共邊）
EDF≌MDF（SAS）
EF=MF（全等三角形對應邊相等）
在CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）
BE+CF>EF
上題也可加倍FD，證法同上。
注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。
例二：如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。
分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去
證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE
AD為ABC的中線（已知）
BD=CD（中線定義）
在ACD和EBD中
BD=CD（已證）
∠1=∠2（對頂角相等）
AD=ED（輔助線作法）
ACD≌EBD（SAS）
BE=CA（全等三角形對應邊相等）
在ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）
AB+AC>2AD。
練習：
1
如圖，AB=6，AC=8，D為BC
的中點，求AD的取值范圍。
B
A
D
C
8
6
2
如圖，AB=CD，E為BC的中點，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE。
B
E
C
D
A
3
如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，∠BAC=∠DAE=90°。求證：AMDC。
D
M
CD
ED
AD
BD
4，已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。
A
B
D
C
E
F
5．已知：如圖AD為ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC
五
全等三角形輔助線
找全等三角形的方法：
（1）可以從結論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；
（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；
（3）從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；
（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。
三角形中常見輔助線的作法：
①延長中線構造全等三角形；
②利用翻折，構造全等三角形；
③引平行線構造全等三角形；
④作連線構造等腰三角形。
常見輔助線的作法有以下幾種：
1)
遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”．
2)
遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”．
3)
遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．
4)
過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”
5)
截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．
特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．
（一）、倍長中線（線段）造全等
1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.
2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.
3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.
中考應用
（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關系及數(shù)量關系．
（1）如圖①
當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是
，
線段AM與DE的數(shù)量關系是
；
（2）將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0
（二）、截長補短
1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC
2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點E，求證;AB＝AC+BD
3：如圖，已知在內，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP
4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：
5:如圖在ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC
中考應用
（08海淀一模）
（三）、平移變換
1.AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點，ABC周長記為，EBC周長記為.求證＞.
2：如圖，在ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.
（四）、借助角平分線造全等
1：如圖，已知在ABC中，∠B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD
2：（06鄭州市中考題）如圖，ABC中，AD平分∠BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F.
（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.
中考應用
（06北京中考）如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系；
(第23題圖)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
圖①
圖②
圖③
（2）如圖③，在ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。
（五）、旋轉
1：正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).
2：D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。
（1）
當繞點D轉動時，求證DE=DF。
（2）
若AB=2，求四邊形DECF的面積。
3.如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為
；
中考應用
（07佳木斯）已知四邊形中，，，，，，繞點旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于．
當繞點旋轉到時（如圖1），易證．
當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明．
（圖1）
（圖2）
（圖3）
（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.
(1)如圖,當∠APB=45°時,求AB及PD的長;
(2)當∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應∠APB的大小.
（09崇文一模）在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,,BD=DC.
探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系．
圖1
圖2
圖3
（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是
；
此時
；
（II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；
（III）
如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，
若AN=，則Q=
（用、L表示）．
六
梯形的輔助線
口訣：
梯形問題巧轉換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。
通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：
作法
圖形
平移腰，轉化為三角形、平行四邊形。
平移對角線。轉化為三角形、平行四邊形。
延長兩腰，轉化為三角形。
作高，轉化為直角三角形和矩形。
中位線與腰中點連線。
（一）、平移
1、平移一腰：
例1.
如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.
求CD的長.
解：過點D作DE∥BC交AB于點E.
又AB∥CD，所以四邊形BCDE是平行四邊形.
所以DE＝BC＝17，CD＝BE.
在RtDAE中，由勾股定理，得
AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.
所以AE＝8.
所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.
即CD＝8.
例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。
解：過點B作BM//AD交CD于點M，
在BCM中，BM=AD=4，
CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，
所以BC的取值范圍是：
5－4
2、平移兩腰：
例3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，連接EF，求EF的長。
解：過點E分別作AB、CD的平行線，交BC于點G、H，可得
∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°
則EGH是直角三角形
因為E、F分別是AD、BC的中點，容易證得F是GH的中點
所以
3、平移對角線：
例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積．
解：如圖，作DE∥AC，交BC的延長線于E點．
A
B
D
C
E
H
AD∥BC
四邊形ACED是平行四邊形
BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4
在DBE中，
BD=3，DE=4，BE=5
∠BDE=90°．
作DHBC于H，則
．
例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求證：ACBD。
解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E，
易得四邊形BCED是平行四邊形，
則DE=BC，CE=BD=，
所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，
所以在ACE中，，
從而ACCE，于是ACBD。
例6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。
解：過點D作DE//AC，交BC的延長線于點E，
則四邊形ACED是平行四邊形，
即。
所以
由勾股定理得
（cm）
（cm）
所以，即梯形ABCD的面積是150cm2。
（二）、延長
即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉化為三角形。
例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長。
解：延長BA、CD交于點E。
在BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，從而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC－ED=5－2=3
例8.
如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.
判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結論.
解：四邊形ABCD是等腰梯形.
證明：延長AD、BC相交于點E，如圖所示.
AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，
DAB≌CBA.
∠DAB＝∠CBA.
EA＝EB.
又AD＝BC，DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.
而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，
∠EDC＝∠EAB，DC∥AB.
又AD不平行于BC，
四邊形ABCD是等腰梯形.
（三）、作對角線
即通過作對角線，使梯形轉化為三角形。
例9如圖6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，ABAD，BC=CD，BECD于點E，求證：AD=DE。
解：連結BD，
由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；
由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，
所以RtBAD≌RtBED，
得AD=DE。
（四）、作梯形的高
1、作一條高
例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線ACBD，垂足為F，過點F作EF//AB，交AD于點E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。
證：過點D作DGAB于點G，
則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因為AB=2DC，所以AG=GB。
從而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。
2、作兩條高
例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：(1)腰AB的長；(2)梯形ABCD的面積．
A
B
C
DD
ED
FD
解：作AEBC于E，DFBC于F，又AD∥BC，
四邊形AEFD是矩形，
EF=AD=3cm
AB=DC
在RtABE中，∠B=60°，BE=1cm
AB=2BE=2cm，
例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。
證：作AEBC于E，作DFBC于F，則易知AE=DF。
在RtABE和RtDCF中，
因為AB>CD，AE=DF。
所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。
在RtBDF和RtCAE中
由勾股定理得BD>AC
（五）、作中位線
1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。
例13如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點，∠AOD=90°，求證：AB＋CD=AD。
證：取AD的中點E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（AB＋CD）①
在AOD中，∠AOD=90°，AE=DE
所以
②
由①、②得AB＋CD=AD。
2、已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉化為三角形中位線。
例14如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點，求證：（1）EF//AD；（2）。
證：連接DF，并延長交BC于點G，易證AFD≌CFG
則AD=CG，DF=GF
由于DE=BE，所以EF是BDG的中位線
從而EF//BG，且
因為AD//BG，
所以EF//AD，EF
3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時，過這點構造出兩個全等的三角形達到解題的目的。
例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠BAD=900，E是DC上的中點，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。
解：分別延長AE與BC
，并交于F點
∠BAD=900且AD∥BC
∠FBA=1800－∠BAD=900
又AD∥BC
∠DAE=∠F(兩直線平行內錯角相等)
∠AED=∠FEC
（對頂角相等）
DE=EC
（E點是CD的中點）
ADE≌FCE
（AAS）
AE=FE
在ABF中∠FBA=900
且AE=FE
BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
在FEB中
∠EBF=∠FEB
∠AEB=∠EBF+
∠FEB=2∠CBE
A
B
D
C
E
F
例16、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，ABBC，E是CD中點，試問：線段AE和BE之間有怎樣的大小關系？
解：AE=BE，理由如下：
延長AE，與BC延長線交于點F．
DE=CE，∠AED=∠CEF，
∠DAE=∠F
ADE≌FCE
AE=EF
ABBC，
BE=AE．
例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E為DC中點，EFAB于F點，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積．
解：如圖，過E點作MN∥AB，分別交AD的延長線于M點，交BC于N點．
A
B
C
D
E
F
M
N
DE=EC，AD∥BC
DEM≌CNE
四邊形ABNM是平行四邊形
EFAB，
S梯形ABCD=SABNM=AB×EF=15cm2．
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
1.
若等腰梯形的銳角是60°，它的兩底分別為11cm，35cm，則它的腰長為__________cm.
2.
如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，則此等腰梯形的周長為（
）
A.
19
B.
20
C.
21
D.
22
3.
如圖所示，AB∥CD，AEDC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，則梯形ABCD的面積為（
）
A.
130
B.
140
C.
150
D.
160
*4.
如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，對角線AC與BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的長.
5.
如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長.
6.
如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，ACBD，AD＋BC＝10，DEBC于E，求DE的長.
7.
如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的長.
**8.
如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中點，且AD＋BC＝CD，則DE與CE有何位置關系？（2）E是∠ADC與∠BCD的角平分線的交點，則DE與CE有何位置關系？
1．圓中作輔助線的常用方法：
（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關系與垂徑定理。
（2）若題目中有“弦的中點”和“弧的中點”條件時，一般連接中點和圓心，利用垂徑定理的推論得出結果。
（3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當選取圓周上的點，連結此點與直徑端點得到90度的角或直角三角形。
（4）連結同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。
（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖1，圓O中，BDOA于D，經常是：①如圖1（上）延長BD交圓于C，利用垂徑定理。
②如圖1（下）延長AO交圓于E，連結BE，BA，得RtABE。
圖1（上）
圖1（下）
（6）若題目中有“切線”條件時，一般是：對切線引過切點的半徑，
（7）若題目中有“兩圓相切”（內切或外切），往往過切點作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過切點）以溝通兩圓中有關的角的相等關系。
（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構成圓內接四邊形解決，有時還引兩連心線以得到結果。
（9）有些問題可以先證明四點共圓，借助于輔助圓中角之間的等量關系去證明。
（10）對于圓的內接正多邊形的問題，往往添作邊心距，抓住一個直角三角形去解決。
例題1：如圖2，在圓O中，B為的中點，BD為AB的延長線，∠OAB=500，求∠CBD的度數(shù)。
解：如圖，連結OB、OC的圓O的半徑，已知∠OAB=500
B是弧AC的中點
弧AB=弧BC
AB==BC
又OA=OB=OC
AOB≌BOC（S.S.S）
圖2
∠OBC=∠ABO=500
∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800
∠CBD=1800
-
500-
500
∠CBD=800
答:∠CBD的度數(shù)是800.
例題2:如圖3,在圓O中,弦AB、CD相交于點P，求證：∠APD的度數(shù)=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。
證明：連接AC，則∠DPA=∠C+∠A
∠C的度數(shù)=弧AD的度數(shù)
∠A的度數(shù)=弧BC的度數(shù)
∠APD=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。
圖3
一、造直角三角形法
1.構成Rt,常連接半徑
例1.
過O內一點M
,最長弦AB
=
26cm,最短弦CD
=
10cm
,求AM長;
2.遇有直徑,常作直徑上的圓周角
例2.
AB是O的直徑,AC切O于A,CB交O于D,過D作O的切線,交AC于E.
求證:CE
=
AE;
3.遇有切線,常作過切點的半徑
例3
.割線AB交O于C、D,且AC=BD,AE切O于E,BF切O于F.
求證:∠OAE
=
∠OBF;
4.遇有公切線,常構造Rt(斜邊長為圓心距,一直角邊為兩半徑的差,另一直角邊為公切線長)
例4
.小
O1與大O2外切于點A,外公切線BC、DE分別和O1、O2切于點B、C和D、E，并相交于P，∠P
=
60°。
求證：O1與O2的半徑之比為1：3；
5．正多邊形相關計算常構造Rt
例5.O的半徑為6,求其內接正方形ABCD與內接正六邊形AEFCGH的公共部分的面積.
二、欲用垂徑定理常作弦的垂線段
例6.
AB是O的直徑,CD是弦,AECD于E,BFCD于F.(1)求證:EC
=
DF;
(2)若AE
=
2,CD=BF=6,求O的面積;
三、轉換割線與弦相交的角，常構成圓的內接四邊形
例7.
AB是O直徑,弦CDAB,M是上一點,AM延長線交DC延長線于F.
求證:
∠F
=
∠ACM;
四、切線的綜合運用
1．已知過圓上的點，常_________________
例8.如圖，
已知：O1與O2外切于P，AC是過P點的割線交O1于A，交O2于C，過點O1的直線AB
BC于B.求證：
BC與O2相切.
例9.如圖，AB是O的直徑，AE平分∠BAF交O于E，過E點作直線與AF垂直交AF延長線于D點，且交AB于C點．
求證：CD與O相切于點E．
2.兩個條件都沒有,常___________________
例10.
如圖，AB是半圓的直徑，
AMMN，BNMN，如果AM+BN＝AB，求證:
直線MN與半圓相切；
例11.等腰ABC中,AB=AC,以底邊中點D為圓心的圓切AB邊于E點.
求證:AC與D相切;
例12．菱形ABCD兩對角線交于點O，O與AB相切。
求證：O也與其他三邊都相切；
五、兩圓相關題型
1．兩圓相交作_____________________
例13.O1與O2相交于A、B，過A點作直線交O1于C點、交O2于D點，過B點作直線交O1于E點、交O2于F點.
求證:CE∥DF;
2.相切兩圓作________________________
例14.
O1與O2外切于點P,過P點的直線分別交O1與O2于A、B兩點，AC切O1于A點，BC交O2于D點。
求證：∠BAC
=
∠BDP；
3．兩圓或三圓相切作_________________
例15.以AB=6為直徑作半O,再分別以OA、OB為直徑在半O內作半O1與半O2，又O3與三個半圓兩兩相切。
求O3的半徑；
4．一圓過另一圓的圓心，作____________
例16.兩個等圓O1與O2相交于A、B
兩點，且O1過點O2，過B點作直線交O1于C點、交O2于D點.
求證：ACD是等邊三角形；
六、開放性題目
例17．已知：如圖，以的邊為直徑的交邊于點，且過點的切線平分邊．
（1）與是否相切？請說明理由；
（第23題）
（2）當滿足什么條件時，以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？并說明理由．
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