高中數(shù)學橢圓焦點精選(九篇)

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第1篇：高中數(shù)學橢圓焦點范文

關鍵詞：極坐標；高考題；推廣

題目（2007重慶）如圖1，中心在原點O的橢圓的右焦點為F（3，0），右準線為x=12.

（1）求橢圓的方程；

（2）在橢圓上任取三個不同的點P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，證明：++為定值，并求此定值.

圖1

解析首先容易求得橢圓的方程為+=1. 為了證明（2），以F點為極點建立如圖2所示的極坐標系. 由=12和c=3，可得e==；又p=－c=9，故橢圓的極坐標方程為ρ=. 設P1，P2，P3的坐標分別為（ρ1，θ），ρ2，θ+，ρ3，θ+，則++=++=2－cosθ+2－cosθ++2－cosθ+.

因為cosθ+cosθ++cosθ+=cosθ+cosθcos－sinθsin+cosθcos－sinθsin=cosθ－cosθ－sinθ－•cosθ+sinθ=0，所以++=++＝•6=為定值.

上述試題（2）可敘述為：在橢圓上取三個點，使每相鄰兩點與同一焦點連線所夾的角均相等，那么這三個點所對應的同焦點的焦半徑的倒數(shù)之和是一個常數(shù)，即=?搖（是一個只與3有關的常數(shù)）.

顯然，由e=，p=9，可得==.

上述命題還可推廣為：

在圓錐曲線上取n個點，使每相鄰兩點與同一焦點連線所夾的角均相等，那么這n個點所對應的同焦點的焦半徑的倒數(shù)之和是一個只與n有關的常數(shù)（即當n確定之后，這些焦半徑的倒數(shù)之和是一個常數(shù)）.

證明如圖3，在曲線上取n個點M1，M2，…，Mn（n≥2），使每相鄰兩點與焦點F的連線所成夾角均相等，即∠M1FM2=∠M2FM3=…=∠MnFM1=，那么點M1的極角為θi=（i－1）•+θ，MiF=.?搖所以==－•cos（i－1）+θ. 因為n≥2，所以sin≠0. 所以cos（i－1）+θ=•2cos（i－1）+θ•sin=•sini－+θ－sini－+θ?搖=sinn－+θ?搖－sin－•+θ=•2cos+θ•sinπ=0. 由此得到=（是一個只與n有關的常數(shù)）.

第2篇：高中數(shù)學橢圓焦點范文

在初中數(shù)學教學中，需要學生重點掌握的幾種數(shù)學思想非常明確，其中有代表性的一種便是方程思想．方程是一種非常高效的問題解決途徑，方程思想在很多實際問題的解答中也能夠發(fā)揮出良好的輔助功效．很多條件比較少且比較抽象的問題往往都能夠通過方程的構建得以解答．教師要讓學生善于觀察具體的問題，并且能夠對于問題的類型以及考查的知識點有準確判斷．這樣能夠幫助學生在最短的時間內確定合適的解題方法與解題思路，進而讓問題得到解答．一旦確定問題可以通過方程思想得以解答，隨之需要展開的便是方程的構建或者是方程模型的選擇，準確地構建方程是解答問題的關鍵所在．一、使抽象概念形象化，幫助學生理解數(shù)學概念數(shù)學概念屬于理論知識，是抽象性的文字表述．高中數(shù)學的各個專題的學習，都涉及數(shù)學概念內容．由于這些數(shù)學概念都是高度概括的內容，并且其中運用了豐富的數(shù)學語言，所以會給學生的學習帶來一定的困擾．在傳統(tǒng)的高中數(shù)學教學中，教師會讓學生通過死記硬背加以記憶．這種機械的學習方式，會導致學生出現(xiàn)“背了又忘，忘了又背”的尷尬局面．根據(jù)新課改的要求，教師應該采取形象化的教學方式，從學生的生活實際出發(fā)進行教學，也可以結合多媒體進行講解，讓抽象概念形象化，使學生能夠真正理解這些概念的內涵．例如，在講“立體幾何初步”時，教師應該使抽象概念形象化．由于學生在初中階段所學的數(shù)學知識是平面幾何，而他們到高中之后學習的幾何知識是立體幾何，所以會覺得有些難度．教師應該幫助學生培養(yǎng)空間思維，從學生所熟悉的事物入手，幫助學生理解數(shù)學概念．該部分內容涉及四棱柱、長方體、正方體以及平行六面體等概念，要是教師直接告訴學生“正方體就是側面和底面都是正方形的直平行六面體”這一概念，就不能真正地幫助學生理解正方體的本質．在講解立體幾何內容時，教師不妨結合教室內的桌椅等幾何物體，或者用多媒體向學生展示三維物體，使學生能夠真正把握數(shù)學概念．

二、使抽象問題情境化，調動學生的學習熱情

高中數(shù)學教材中不僅涉及數(shù)學概念，而且包括很多數(shù)學問題．這些數(shù)學問題同樣也很抽象．在傳統(tǒng)的高中數(shù)學教學中，教師通常會采取題海戰(zhàn)術，錯誤地認為學生做的題目多了，自然就會解題了．事實上，這種教學方式正是受到了應試教育的影響所致．在新課改背景下高中數(shù)學教學中，教師應該使抽象問題情境化，通過創(chuàng)設數(shù)學問題情境，讓學生結合生活實際理解所學內容．在這樣的教學方式下，學生會變得更加主動．例如，在講“函數(shù)”時，教師應該使抽象問題情境化．教師可以讓學生比較函數(shù)的性質，然后結合方程和不等式內容，強化學生對該部分內容的理解．教師可以將生活中的函數(shù)實際應用范例引入到課堂教學中．教師也可以用多媒體向學生展示銀行利率表、股市走勢圖以及一周的最高氣溫的走勢圖等，讓學生結合這些圖象內容體會生活實際和函數(shù)模型之間的聯(lián)系．又如，在講“函數(shù)單調性”時，教師應該將方程與圖象相結合，通過數(shù)形結合的方式，讓學生更加直觀地理解函數(shù)單調性的問題，從而把握函數(shù)的變化規(guī)律．由此不難看出，問題情境的創(chuàng)設，可以使原本抽象的數(shù)學問題變得更加直觀，使學生更容易理解．

三、使抽象方法直觀化，提高學生的數(shù)學水平

高中數(shù)學知識同樣涉及數(shù)學方法的應用等問題．在學習數(shù)學的過程中，要是學生不能掌握數(shù)學方法，將會給他們后續(xù)的學習帶來很大的困擾．因為數(shù)學方法是數(shù)學思維的體現(xiàn)，而學生如果不能夠掌握這種思維，就無法掌握數(shù)學知識．在傳統(tǒng)的高中數(shù)學教學中，教師直接讓學生機械地模仿自己所講的數(shù)學套路，而對于采取這種數(shù)學方法的原因則漠不關心，這種知其然卻不知其所以然的學習態(tài)度，顯然會給學生的數(shù)學學習造成負面影響．這就要求教師使抽象方法直觀化，幫助學生提高數(shù)學水平．例如，在講“橢圓”時，教師應該使抽象方法直觀化．教師以往直接讓學生觀察一個橢圓形的物體，然后對橢圓的知識點加以講解，這樣學生就可能只是對橢圓的性質有所了解，而對其本質的特點卻沒有掌握．教師應該利用多媒體的方式向學生展示橢圓焦點變化時，其軌跡也會發(fā)生變化．同時，教師可以利用一塊紙板、兩枚圖釘以及一段細繩進行實驗，先用這些物品組合成橢圓的形狀，然后試著改變圖釘之間的距離，讓學生觀察橢圓發(fā)生的變化．事實上，實驗中用到的圖釘相當于橢圓的焦點．通過這樣的講解方式，學生能夠更加直觀地理解橢圓中各因素之間的聯(lián)系．

第3篇：高中數(shù)學橢圓焦點范文

關鍵詞：高中數(shù)學；教學設計；理論；實際

縱觀課程改革前后的高中數(shù)學教學，會發(fā)現(xiàn)在教學設計這個環(huán)節(jié)經歷了不少的變化.課程改革之前，教學設計更多地等同于寫教案，寫教案的過程就是教學設計的過程，其主要功能是將教師的教學思路文字化. 這一過程對于相當一部分教師尤其是教學經驗豐富的教師而言，可能是多余的，因為即使不文字化，其課堂也能進行得有聲有色. 換句話說，這樣的過程其實不涉及教師教學水平的提高，自然也不涉及教師對教學的思考；課程改革開始之后，教學設計增添了許多原先不熟悉的內容，如數(shù)學探究、自主學習、合作學習等，在這個過程中，自主、合作等原本具有專門意義的概念被賦予了經驗性的解讀，“自主學習”成了學生自己去學習，“合作學習”成了學生通過小組的方式去合作，去討論.

今天，以從中科院院士到普通一線教師對數(shù)學課程標準的反思甚至是質疑為標志的反思新課程，使得高中數(shù)學教學理性了許多. 在這個時間跨越的過程中，高中數(shù)學的教學設計其實始終面臨著理論與實際兩個方面的挑戰(zhàn)，一個理論上很好的教學設計，如何轉化為有效的教學現(xiàn)實，也成為高中數(shù)學教師不斷思考的問題.

[?] 理論先行，基于教學設計的高中數(shù)學教師專業(yè)成長

是理論先行，還是經驗先行，這是高中數(shù)學教學設計時必須思考的問題. 在忽視專業(yè)成長的情形下，教師的教學設計常常是依賴經驗的，甚至剛剛走上講臺的年輕教師，其教學設計的依據(jù)也往往是其在學生時代接受過的教育痕跡.然而，從教師專業(yè)成長的角度來看，筆者感覺教學設計時還是理論先行的好.

譬如“直線與平面垂直的判定定理”教學設計中，有教師提出了這樣的問題：除了定義外，有沒有更好的方法判定一條直線與一個平面垂直呢？

這一問題引起了筆者的興趣，為什么教師會設計出這樣的一個問題呢？是隨意之舉嗎？筆者以為不大可能，因為筆者知道該教師是一方名師，舉手投足之間有大師之蘊，其教學絕對不可能有隨意之舉. 可當面求教的可能性不大，于是該問題一直存在于筆者的頭腦當中. 后來在一本數(shù)學教學相關的心理學書籍當中看到這樣的一層意思：基于學生已有的認識，通過問題的提出去驅動學生的發(fā)散性思維，不僅可以深化對原有知識的認識，還可以拓寬學生的思路，使得教學系統(tǒng)化. 結合對這一問題的思考，筆者以為這樣的設計在直線與平面垂直定義的基礎上，通過問題驅動學生的發(fā)散性思維，從而為判定定理的尋找提供了認知氛圍. 也就是說學生在教師這一問題的驅動之下，有可能會這樣思考：確實，通過定義可以有效地判定直線與平面的垂直，但只滿足于通過定義去判定是不夠的. 也許還有更多的方法可以判定. 既然是判定，那就需要嚴密的證明，而這恰恰是數(shù)學所強調的……類似于此的學生在學習中的心理活動，成為高中數(shù)學教學的堅實基礎.

筆者這一判斷來源于理論學習，而理論學習是高中數(shù)學教學得以不斷提升的重要基礎. 事實上，能夠讓高中數(shù)學教師有所收益的理論書籍并不少，從最基本的課程標準（筆者以為高中教師關注義務教育的數(shù)學課程標準也是必要的），到《數(shù)學思維教育學》（張乃達著），再到《中學數(shù)學思想方法概論》（王林全著），再到當代數(shù)學大家張奠宙、鄭毓信等人的著作等，均可以有效地滋養(yǎng)高中數(shù)學教師的專業(yè)底蘊.

[?] 有效教學，基于評價需要的高中數(shù)學教學應然取向

只攻理論是不夠的，兩個原因：其一，只攻理論而脫離實際，往往容易讓自身的教學空心化.需要知道的是，無論是什么樣的教育理念，都不足以解釋課堂上學生的所有學習行為，理論相對抽象，再好的理論在教學實踐面前也是狹隘的. 理論是用來指導教師的教學行為的，教學行為是依賴于學生的學習而存在的. 其二，只攻理論容易導致教學無效化，這與當下的有效教學是矛盾的. 畢竟，在提高學生的數(shù)學素養(yǎng)的同時，提高學生的應試能力，才是當下高中數(shù)學教學的應然取向.

同樣在“直線與平面垂直的判定定理”教學中，筆者進行了這樣的一個設計：（學生實踐）將一張長方形的紙片對折之后稍稍展開，然后放在水平桌面上，判斷對折之線與桌面之間的關系，并利用數(shù)學知識證明.

在教學設計中筆者特別強調必須有一個學生實踐的過程，因為筆者在以前的教學實踐中發(fā)現(xiàn)，相當一部分學生的空間想象能力是比較薄弱的，而這對立體幾何的學習造成很大的困擾. 而理論學習又讓筆者意識到，要培養(yǎng)學生的空間想象能力，重要的方法之一就是讓學生去觀察、去實踐，在實踐中體驗，在體驗中生成的思維能力，可以培養(yǎng)學生的空間構思能力. 后來的教學實踐表明，這一策略是有效的，相當一部分數(shù)學基礎薄弱的學生在本問題解決的過程中，表現(xiàn)出了良好的想象能力. 具體來說，就是即使對于數(shù)學知識基礎不佳的學生而言，通過實際操作來為數(shù)學學習提供情境總是沒有困難的，而如果教師將學生的思維抽象成兩個面所共之線與桌面的關系，那學生的思維其實也就完成了數(shù)學建模的過程. 成功建立了模型，學生的數(shù)學思維就有了對象，這樣學生可以迅速地在實踐中將具體的實踐結果，抽象成“垂直于一個平面上兩條相交直線的直線與平面垂直”的數(shù)學結論. 盡管這一結論與科學的判定定理還有文字上的差別，但意思已經幾乎是一模一樣了.

從教學過程與結果的角度來看，這一策略是有效的. 而這一教學事例也讓筆者進一步認識到：教學設計應當基于實際需要，應當瞄準有效教學的需要，并在理論的滋養(yǎng)之下才能起到真正的教學藍圖的作用.

[?] 理論與實際的互相促進，高中數(shù)學教學的必由之路

如上所說，教學設計是教師教學的藍圖，是實際教學行為發(fā)生之前在教師頭腦中的預演，說白了也就是將教學預設形象化的過程. 根據(jù)筆者的學習經驗，這應當是一個基于教學經驗，然后將經驗上升到屬于教師個體的理論的過程，然后在科學的教學理論的作用之下，個人樸素理論與科學教學理論相互碰撞，生成教師能夠理解內化的教學理念的過程.

這一過程若要想取得實效，還有一個關鍵的地方，就是教師的研究對象必須立足于學生，要通過對學生的學習過程與結果的研究與分析，發(fā)現(xiàn)學生在數(shù)學學習過程中有什么樣的想法.

事實上，在上述“直線與平面垂直的判定定理”教學中，筆者就注意到有少數(shù)學生在實踐活動中“偷工減料”，他們不是對折了一張長方形紙，而是將課本打開后豎在桌面上，結果得出了與一個平面上兩根曲線垂直的直線也與平面垂直的結論. 這樣的結論是對還是錯，學生的思維是對還是錯，學生的這一實踐對課堂是否有意義？梳理這樣的問題，其實對于拓寬學生的理解也是有益的. 比如說如果將學生的結論變更為與平面上曲線上某兩點的切線（相交）相垂直的直線與平面垂直，其實也是有道理的.

第4篇：高中數(shù)學橢圓焦點范文

一、數(shù)學解題思維的含義

所謂數(shù)學解題的思維，就是在掌握已知的數(shù)學基礎知識的基礎上，靈活運用解題技巧，歸納解題方法，并且將之運用到其他題目的解答中，形成“舉一反三”的效果.可以說，數(shù)學解題思維的能力高低，是衡量數(shù)學能力的重要標度.只有形成連貫又順暢的數(shù)學解題思維，才能真正的在數(shù)學的世界里，游刃有余.尤其是在高中數(shù)學學習階段，很多學生沒有形成良好的思維習慣，在課堂上明白老師所講的題目，但是輪到自己解題時，便變得束手無策，這就是數(shù)學解題思維薄弱的結果.

因此，應培養(yǎng)良好的數(shù)學解題思維，從具體題目總結學習數(shù)學的方法和策略，破除題海戰(zhàn)術的弊端，形成高效的數(shù)學解題思維策略，啟發(fā)學生從一定“高度”上來看待數(shù)學問題，由已知推向未知，由局部推向總體.

二、 高中數(shù)學解題的思維策略

1.數(shù)學思維的靈活性

數(shù)學思維的靈活性即根據(jù)數(shù)學題目的相關要求，提出靈活而又簡便的解決方法.數(shù)學題目千變萬化，掌握一類題型的解決方法，不是掌握一道題怎么做，而是明白這一類題型的特征，并且根據(jù)特征對癥下藥.

（1）細心觀察

觀察是數(shù)學解題的第一步，良好的觀察力可以幫助解題者事半功倍.解答任何一道數(shù)學題，都包含一定的數(shù)量關系和解題技巧，想要輕松解決，就要先從整體上觀察題目的特征，認真思考，透過現(xiàn)象觀察本質.

如我們在“曲線方程”單元的一道填空題 ：

已知點P（x，y）滿足方程 x+y-1=x2+y2，則點P（x，y）的軌跡是.

看到這道題目，我們很自然的就會聯(lián)想到是求曲線和方程的常規(guī)題目，通常做法是將等式右邊的根號去掉，然后根據(jù)變形的方程確定點P的軌跡.但是當我們化簡這個方程，將兩邊同時平方之后，發(fā)現(xiàn)左邊出現(xiàn)了三項的平方和公式，即出現(xiàn)了x與y相乘的形式，但是這是我們在高中所沒有學到的軌跡方程.此時，很多同學就容易將此題放棄掉，覺得沒有解決方案.但是再仔細觀察題目，我們可以聯(lián)想到這道題無非就是要求解出圓、橢圓、雙曲線和拋物線這幾種曲線中的一種，根據(jù)定義進行大膽推理.

將原等式中的一側化簡為1，即變形成x2+y2(x+y-1)=1，然后再同時除以2，得到x2+y2（x+y-1）/2=2，這樣就可以看出動點P的軌跡是雙曲線了.

（2）勤于聯(lián)想

聯(lián)想是解決疑難問題的橋梁，稍微有些難度的問題只要經過幾步簡單的聯(lián)想就能和已學的基礎知識建立聯(lián)系.因此，聯(lián)想能力直接影響到解題速度和準確率.找到合適的突破口，將已有的知識儲備合理運用才是解決高中數(shù)學題的王道.

2.數(shù)學思維的思辨性

數(shù)學思維的思辨性，就是在解決數(shù)學問題的時候，不盲從、不輕信，有自己的獨立思考能力，并且能夠根據(jù)自己精確地推理進行驗證，總結出屬于自己的獨特的解題方式.數(shù)學思維的思辨性與解題者的創(chuàng)造性和思考力具有很大關系.很多題目學生在接觸之初,都容易用定式思維去思考，按照常規(guī)套路去解答.但是有些題目，出題人就是抓住學生的這種弱點，進行反向出題.如果不能跳出定式，就會掉入陷阱.

因此，數(shù)學思維的思辨性在解決一些看似常規(guī)，實則巧妙的題目上是非常重要的.如何靈活地運用思辨性，是每個高中生都應該深入思考的問題.

如湖北卷理科高考題：已知橢圓x216+y29=1的左、右焦點分別為F1、F2，點P 在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則點P 到x軸的距離為( ).

A.95 B.3 C.97 D.94

看到題目的時候學生會想當然的認為點P是直角頂點，根據(jù)公式求得答案為C.但是事實上，根據(jù)選項的特征，若我們不能確定哪一個點為直角頂點，則應該為多選.但是此題為單選，說明直角點確定.根據(jù)圖形的特征，我們可以確定焦點為直角頂點，再根據(jù)橢圓性質和勾股定理即可得到D為正確選項.

第5篇：高中數(shù)學橢圓焦點范文

【關鍵詞】高中數(shù)學；圓錐曲線；復習策略

圓錐曲線作為高中數(shù)學中最為關鍵的知識點，在內容上，復雜枯燥，學生在解答相關題目的過程中，需要掌握利用的知識點繁多，覆蓋范圍特別廣，因此，高中數(shù)學老師在教學的過程中需要加強學生的思維能力和圖形分析能力的培養(yǎng)。

一、將復雜的數(shù)學知識簡單化

在課堂教學中，教師要讓學生有自主發(fā)現(xiàn)，自己總結，不能只提供給他們一定的正確的結果，有些答案，只有他們自己經過思考，經過重復的錯誤才會得出，并且，他們會對所學的知識掌握的更加深刻，更加透徹。在學生進行解題的過程中，教師可以適當指導，力求得出最簡單的解題方法，舉一反三，避免采用“題海戰(zhàn)術”，引導學生逐步掌握圓錐曲線的解析方法。例如在解析圓時先為學生列舉以下知識點：1.定義：點集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定點O為圓心，定長r為半徑.2.方程：(1)標準方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2；圓心在坐標原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程：①當D2+E2-4F＞0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為)2,2(ED半徑是2422FED。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22②當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(-2D,-2E)；③當D2+E2-4F＜0時，方程不表示任何圖形。（3）點與圓的位置關系已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x0,y0)，則｜MC｜＜r點M在圓C內，｜MC｜=r點M在圓C上，｜MC｜＞r點M在圓C內，其中｜MC｜=2020b)-(ya)-(x。（4）直線和圓的位置關系：①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系：直線與圓相交有兩個公共點；直線與圓相切有一個公共點；直線與圓相離沒有公共點。②直線和圓的位置關系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離22BACBbAad與半徑r的大小關系來判定。

二、重視教學模型對理論知識的表達

在橢圓的定義這節(jié)課中，教師在引導學生對基本概念進行理解學習的同時，還要能夠采用邊講邊畫的形式對學生展開教學。橢圓是平面內到頂點F1\F2的距離之和等于常數(shù)的動點P的軌跡，F(xiàn)1、F2是推遠的兩個較焦點，其位置是固定的，橢圓的數(shù)學表達式是，|PF1|+|PF2|=2a(2a＞|F1F2|)。在課堂教學中，教師要引導學生加強對焦距的掌握，通過對焦距線條進行明確的標注，讓學生明白F1、F2之間的距離叫做焦距，并且通過這種方式，也加強了學生的印象。在課堂上，教師通過采用這種邊講課邊畫圖的方式，能夠更好的幫助學生對于概念的理解。沒有理解性的記憶只能稱為死記硬背，在解題時，學生根本不能夠將記憶中的知識靈活運用，再者，在橢圓的定義這堂課中，2a也是教師講解的重點，此時，教師可借助一根線繩來完成課程的講解，教師可以在黑板上畫出兩個點F1和F2，取出一個線繩長度定義為2a，注意F1F2之間是的距離一定要小于2a，在點F1、F2的位置將線繩固定，之后可以用粉筆支撐起線繩，可以在任意位置，同時在黑板上記錄接觸點，此點用P表示，粉筆可以隨意的移動位置，可以看出所有P點出現(xiàn)的位置匯集成類似半圓的弧線。仿照上述做法，在另一端也能夠出現(xiàn)類似弧線，通過結合形成了橢圓。

三、畫圖是解決數(shù)學問題的有效方法

高中數(shù)學的學習，注重的是圖形表達，學生的畫圖能力要得到相應的提高，將知識和圖形相結合，使知識更加直觀，學生們對此記憶和理解也會更加深刻，這樣在解決橢圓曲線類的問題時學生才能夠更加的得心應手。例1就是需要用畫圖解析橢圓和曲線的習題。例1：直線R:a－b+2=0與曲線W:b=a2相交于點M(a1，b1)和N(a2，b2)，M、N兩點之間的距離為1直線同曲線所圍成的區(qū)域用P表示，如果曲線K:a2－2ea+y2－4b+e2+68/36=0同P之間具有公共點，請求出e的最小值。在解答此類題目是時，如果知識通過計算是很難得出正確答案的，此時，學生可以借助圖形來理解題目，針對整個題目，學生可以很明確的得出，曲線K的圓心位置正好與直線b=2重合，曲線K和區(qū)域P是具有公共點的，但是要明確曲線K和P的共同點是直線R的缺點還是兩點之間的交點，這還是需要通過畫圖才能夠明確的。所以，對學生進行畫圖能力的培養(yǎng)是很有必要的。

就現(xiàn)階段而言，我國高中數(shù)學教學中依然存在一些問題，特別是在圓錐曲線方面，由于此類題目的綜合性較強，學生在解答此類題目時往往不得其法，在這類知識點中失分。這就要求數(shù)學教師在教學過程中必須重視引導學生對基本概念的理解和掌握，同時要指引學生熟練掌握解題方法，從而促進學生圓錐曲線知識的學習。

作者:豐效輝 單位:淮北市實驗高級中學

參考文獻：

[1]王小龍.高中數(shù)學圓錐曲線教學中存在的問題與解決策略[D].海南師范大學,2014(04).

第6篇：高中數(shù)學橢圓焦點范文

關鍵詞： 問題解決 建構主義 高中數(shù)學

高中數(shù)學對高中生而言是非常重要的一門學科，因此數(shù)學教師需要采取各種策略全面提高學生的學習素質?！皢栴}解決”作為一種全新的數(shù)學教學理論，具有非常強的適應性且與時俱進的特點，讓學生帶著疑惑在解決問題的過程中主動探索知識，從而使數(shù)學素養(yǎng)與創(chuàng)造性思維不斷升華。

一、創(chuàng)設情境，提出問題

“問題解決”課堂模式的第一步就是創(chuàng)設情境，引導學生提出問題，充分發(fā)揮學生的學習自覺性和主動性。在教學時必須尊重學生的主體地位，提出問題是解決問題的大前提，因此第一步必須格外重視。

如講解人教版高中數(shù)學教材必修三第三章3.2.1《古典概型》這節(jié)課時，教學目標是讓學生掌握古典概型的特點和概率計算公式，進一步發(fā)展學生類比、歸納、猜想等合情推理能力。上課時為了引出古典概型，讓學生主動提出問題并進行學習，創(chuàng)設這樣一個情境：講桌上有紅桃A、2、3、4、5五張牌，我從中任意抽取一張，抽到紅桃A的概率為多少？學生馬上說出答案為1/5，我便問他們是如何快速得到這個1/5的，學生稍加思考后我又創(chuàng)設另一個情境：拿出一枚硬幣隨意拋一下，正面朝上的概率為多少？緊接著我又問他們運動員射擊時只有命中十環(huán)、九環(huán)……五環(huán)、不命中七種情況，那么命中九環(huán)的概率為多少？學生跟著我創(chuàng)設的這三個情境稍加思考后發(fā)現(xiàn)，前兩種情境是相似的，而第三種則不一樣，便開始疑問這兩者區(qū)別在哪里，在數(shù)學上是如何進行分類并總結計算公式的，這時我再講解古典概型便達到事半功倍的效果。

在上面案例中，我通過創(chuàng)設情境引導學生提出問題，進而傳授課堂知識，不但切實踐行“問題解決”教學模式，還大大提高課堂效率。

二、合作交流，解決問題

所謂“問題解決”課堂模式，核心步驟是讓學生通過互相之間的交流探討解決問題，這一過程不但可以鞏固學生對基礎知識的掌握，還可以培養(yǎng)學生的主動探究能力與獨立學習能力。

如講解人教版高中數(shù)學教材必修四第三章3.2《簡單的三角恒等變換》這節(jié)課時，教學目標是讓學生掌握運用和角公式、倍角公式進行三角變換的方法，同時掌握y=asinα+bcosα的三角函數(shù)的性質。上課時，先引導學生復習和角、倍角公式，之后為了讓學生主動探索知識，給他們講解幾個簡單的例子，如函數(shù)y=sinx+■cosx，通過變形將此函數(shù)變?yōu)閥=2sin（x+Π/3），再通過三角函數(shù)的性質求解這個函數(shù)的周期、最大值和最小值。同樣的道理我又給出幾道題目讓學生自己求解一下，感受解題過程，然后讓學生根據(jù)函數(shù)y=Asin（wx+ψ）的性質探討y=asinα+bcosα這個函數(shù)的性質，并在組內或者組間交流，盡量自主解決這一問題。最后學生發(fā)現(xiàn)上述函數(shù)可變形為y=■sin（α+β），進而可解決相關問題。

在上面案例中，我通過簡單引導，讓學生嘗試合作交流、自主解決問題，不但培養(yǎng)他們獨立學習的習慣，還大大加深他們對知識的印象與理解。

三、反饋評價，歸納問題

數(shù)學課堂不是一個簡單的教師傳授知識的平臺，而是雙向互動的學生學習知識的平臺，因此我們在教學中應鼓勵學生及時反饋他們的想法，并進行多元客觀評價，從而歸納問題，得到良性提高。

如講解人教版高中數(shù)學教材必修五第二章2.5《等比數(shù)列的前n項和》這節(jié)課時，教學目標是讓學生掌握等比數(shù)列的前n項和公式并會運用其解決相關問題，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學理性思維。上課時先通過情境創(chuàng)設讓學生主動提出問題，有想要探索本節(jié)知識的欲望，之后讓學生分組探討一下等比數(shù)列前n項和公式的推導，這時不同學生推導方式就各有千秋，于是讓每組派一個代表一下剛才推導過程中用到的方法及出現(xiàn)的問題，也可以發(fā)表在這個過程中自己的感受與收獲。有的學生是用乘以公比的方式推導的，有的學生是用各項作差再相比的方式推導的，也有的學生推導時忽略q=1的情況。這樣通過每組代表的反饋，最后我再進行客觀的評價及答疑，讓課堂變得豐富多彩。

在上面案例中，通過讓學生及時反饋學習中存在的問題并進行評價，不但有利于我總結歸納問題，還幫助學生開闊思路、避免錯誤，可謂深度“解決問題”。

四、變式拓展，升華問題

數(shù)學問題都不是獨立開來的，一個問題往往可以進行無數(shù)變式拓展，從而形成一個知識鏈，這樣的過程可以讓學生做到以點帶面、舉一反三，因此教學中不容小覷。

如講解人教版高中數(shù)學教材選修1-1第二章2.1《橢圓》這節(jié)課時，課本上有這樣一道題目：已知P是橢圓上一點，且以點P及焦點為頂點的三角形面積為1，求點P的坐標。上課時，先根據(jù)三角形面積公式求出點P縱坐標，再根據(jù)橢圓方程求出點P橫坐標，這道題目不算太難，我簡單向學生講解這道題目之后，為了檢驗學生是否真正掌握該種類型的題目，又出幾道變式題。如令F1F2P為直角三角形、求點P到x軸的距離，或者兩點在橢圓上，一點為焦點，求三角形周長，學生通過做這幾道題目更鞏固這個知識點。這些題目都不算太難，但是極易出錯，這樣的變式拓展不但可以避免學生出錯，還引起他們對這個問題的重視。

在上面案例中，通過對題目進行變式拓展，不但加深學生對某個知識點的掌握，還將這個問題進行了升華，保證學生對這個問題百分之百掌握。

縱觀全文，要開展“問題解決”課堂模式，需要創(chuàng)設情境，引導學生提出問題，開展合作交流，鼓勵學生解決問題，需要鼓勵反饋評價，總結歸納問題，需要通過變式拓展，升華問題。這四個方面缺一不可，都是我們建構“問題解決”課堂模式非常重要的實踐與探索過程，都是數(shù)學教學飛速進步的不竭動力。

參考文獻：

第7篇：高中數(shù)學橢圓焦點范文

新教材融進了近、現(xiàn)代數(shù)學內容，精簡整合了傳統(tǒng)高中數(shù)學內容。與以往教材相比，教學內容增多，教材明顯變厚，教材的難度有所降低，高中新課程的課時數(shù)減少，但高考選拔人才的水準不可能降低。與義務教育初中階段的課程相比，其教學容量和教學難度大為提高。如何研究新教材，按照高中學生的個性特點和認知結構，設計出指導學生高效率學習的有效方法，以使學生適應新教材，順利完成初高中數(shù)學銜接學習，培養(yǎng)學生自學、探索和創(chuàng)新能力，體現(xiàn)《標準》的原則和精神，已十分緊迫地擺在我們面前。高中數(shù)學新課程對于學生認識數(shù)學與自然界，數(shù)學與人類社會的關系，認識數(shù)學的科學價值，應用價值，文化價值，提高提出問題，分析問題和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎性的作用．實施新課程，滲透新理念的主要渠道依然是課堂教學，因此，如何處理好新課改下數(shù)學課堂教學，是每一位高中數(shù)學教師所需要研究的問題。本文就此問題作如探討：

一、把握好學科的語言教學

數(shù)學課堂上，數(shù)學教師的作用在于通過生動形象的教學語言把嚴謹而抽象的數(shù)學學術

形態(tài)轉化成生動形象的教育形態(tài)，引導學生在充滿情趣的、輕松的課堂環(huán)境中完成學習任務。教學教學不是一步到位，而是分階段，分層次，多角度的，因此，高中數(shù)學課堂教學中應更注重學生的認知規(guī)律及學生的學習興趣．以此來改變教師腦海中原有模式，發(fā)現(xiàn)新問題，采取新方法，新策略，打破舊框框，找到更加合理的授課方法，只有這樣才能把握好教學的深淺度，只有這樣才能處理好課時問題．依據(jù)學生的實際情況加入過渡知識，做好新舊知識的銜接．如"不等式"是數(shù)學解題的一個常用工具，是否在講集合的運算前加講一些簡單不等式的解法的教學(如"一元二次不等式"和"簡單分式不等式"等)，這個是集合這一章教學中面臨的最大問題．新課程對集合的要求只將集合作為一種語言來學習，學生將學會使用最基本的集合語言表示有關的數(shù)學對象，發(fā)展運用數(shù)學語言進行交流的能力，而不在于集合的等價變形，更不在于集合更深層的運算．因此教學中要切實把握好集合的"語言"教學，如確要加講一元二次不等式和簡單分式不等式的解法，則要控制好難度，深度，否則課時又會成為問題．又如立體幾何內容教學應先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點，直線和平面．這樣有助于培養(yǎng)學生的空間想象能力，幾何直觀能力，即立體幾何的"直觀性"．

前蘇聯(lián)教育家馬卡連柯說過：“同樣的教學方法，因為語言不同，其效果就可能相差20倍?！睌?shù)學教師也只有盡力錘煉好自己的教學語言，才能充分體現(xiàn)語言“化深奧為淺顯，化腐朽為神奇”的魅力，才能最大程度地提高教學效率。

二、倡導自主、交流、探究的學習方式

數(shù)學課程標準提出“動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式”，有效的數(shù)學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶，應該通過觀察、操作、猜測、驗證、推理等數(shù)學活動，形成自己對數(shù)學知識的理解，從而使知識得以內化，方法得以遷移，能力得以形成。

因此，在高中數(shù)學課堂教學中我們要倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力。

比如，在講解橢圓的標準方程時，焦點在x軸上的，老師為學生推導，在討論焦點在y軸上的方程時，老師就應引導學生自己動手模仿推導，只有學生自己親自體驗了，才知道推導的過程，以及在這過程中應該注意的問題，甚至有的同學通過探究發(fā)現(xiàn)求焦點在y軸上的方程時，求解過程只需將求焦點在x軸上的方程中的x與y互換就可以了。到了講解雙曲線的方程時，老師先引導學生回憶橢圓方程的求法，然后放手讓學生自己推導，先讓學生之間共議，再師生共議，然后得出雙曲線的方程，這樣創(chuàng)設一定的問題情境可以開拓學生的思維，給學生提供自主、交流、探究的發(fā)展空間。

三、注重學科思想方法，培養(yǎng)終身學習能力

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，它蘊涵在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展、應用的全過程。對它的靈活運用，是數(shù)學能力的集中體現(xiàn)。因此，在高中數(shù)學課堂教學中“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學生受益終生。

例如討論直線和圓錐曲線的位置關系時的兩種基本方法：一是把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，討論方程組解的情況；二是從幾何圖形中考慮直線和圓錐曲線交點的情況，利用數(shù)形結合的思想方法將會使問題清晰明了。注重知識在教學整體結構中的內在聯(lián)系，揭示思想方法在知識與知識之間的相互聯(lián)系、互相溝通中的紐帶作用。在一定程度上講，數(shù)學思想、數(shù)學方法的自覺運用往往使我們運算簡捷、推理機敏，更是提高學生數(shù)學能力的必由之路。我們在教學的每一個環(huán)節(jié)中，都要重視數(shù)學思想方法的教學，“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，數(shù)學思想的形成才能使學生受益終生。

四、啟迪學生思維，教會學生思考

1.設計一題多問，促進自主學習

對于新知識的學習，通過問題形式揭示知識的形成過程，讓學生自己去嘗試、去探索、去發(fā)現(xiàn)，其效果遠勝于教師單純的講解。數(shù)學上任何一個知識點都有其形成過程，或是對實際問題的數(shù)學抽象，或是對舊知識進行歸納、類比后推理得出結論，這種數(shù)學抽象或推理的過程就是知識的形成過程，如果學生能掌握這些知識的形成過程，就能從整體上把握知識的結構，溝通知識的聯(lián)系，弄清知識的來龍去脈，將知識學“活”。這就要求教師善于挖掘這些知識的產生過程，并將其分解成若干個問題，一步一步地去引導、去探求、去發(fā)現(xiàn)。在知識的形成過程中，學生的發(fā)現(xiàn)思維能力在不斷形成、不斷完善、不斷總結中得以提高，進而避免了知識上的死記硬背，應用上的生搬硬套現(xiàn)象。

第8篇：高中數(shù)學橢圓焦點范文

例1.已知橢圓的兩焦點為F（-，0），F(xiàn)（，0），離心率e=，

（1）求此橢圓的方程；

（2）以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.

解：（1）設橢圓方程為+=1，則a-b=c=3，e==，

解得a=2，b=1，所以橢圓方程為+y=1.

（2）顯然，直線AB斜率存在，且不等于0，不妨設直線AB斜率為k，且k＞0.

設直線AB∶y=kx+1，BC∶y=-x+1；

聯(lián)立直線AB與橢圓方程得：x+4（kx+1）-4=0，即（1+4k）x+8kx=0，

則x+x=-，xx=0，（x-x）=（x+x）-4xx=；

則|AB|==，將此式中的k換成-，可得|BC|=.

令|BC|=|AB|，得：=，即k-4k+4k-1=0，

也即（k-1）（k-3k+1）=0，解得k=1或k=.

所以，有三個這樣的三角形.

點評：此題利用對偶關系非?？旖莸赜蓔AB|得到|BC|，并且假設k＞0，從而達到簡化運算的目的。

例2.中心在原點O，焦點在坐標軸上的橢圓與直線x+y=1，交于A、B兩點，M為AB的中點，直線OM的斜率為，且OAOB，求橢圓的方程.

解：設橢圓方程為mx+ny=1，聯(lián)立橢圓與直線方程得：（m+n）x-2nx+n-1=0，

從而x+x=，xx=；

將兩式中m，n的位置互換

得y+y=，yy=；

所以M（，），由OM的斜率為得：=…………①

由OAOB，得xx+yy，從而m+n-2=0…………②

聯(lián)立①②兩式解得m=2（-1），n=2（2-）；

所以，橢圓方程為2（-1）x+2（2-）y=1.

點評：此題利用充分利用橢圓方程中的字母的對偶關系，巧妙地得到y(tǒng)+y，yy的值。

在高中的解析幾何計算中只要題目中的式子出現(xiàn)了類似的對偶的量，就可以使用這種對偶關系來簡化運算。在高中數(shù)學的其他板塊都可以發(fā)現(xiàn)有類似的對偶關系，希望可以幫助學生稍微從繁復的運算中解脫出來。最后留下兩個題目，讀者可試著加以運用。

1.已知橢圓+=1（a＞b＞0）與直線x+y=1交于P、Q兩點，且OPOQ，其中O是坐標原點，求+的值.

第9篇：高中數(shù)學橢圓焦點范文

關鍵詞：高中數(shù)學；類比教學；教材二次開發(fā)

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）04-084-02

當前各地使用的蘇教版高中數(shù)學教材一共有必修系列五本書，理科選修系列2―1，2―2，2―3三本書，文科選修系列1-1，1-2兩本，以及理科附加部分選修4系列――《幾何證明選講》，《矩陣選講》，《極坐標與參數(shù)方程》，《不等式選講》，涉及函數(shù)，三角，不等式，數(shù)列，解析幾何，立體幾何，概率統(tǒng)計等大大小小的二十多章節(jié)的知識，涵蓋面相當廣。

而在眾多的章節(jié)知識中，或多或少存在著某些聯(lián)系，進一步探究這些知識點的相互關系，我們發(fā)現(xiàn)在日常的教學活動中，許多問題的教學內容，研究的方式，基本的題型和解題思路，教學手段方式方法都是相通的，在教學中有必要對這部分內容進行再思考，再開發(fā)，采用類比的方式進行教學。

一、高中數(shù)學教材中可進行類比教學的知識點

1、必修1――指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的研究方法

2、必修4中的平面向量與理科選修2-1中的空間向量的相關知識

3、必修4中的正余弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖像與性質的研究，正余弦的和角公式的應用

4、必修5中的等差數(shù)列與等比數(shù)列的教學

5、理科選修2-1中的橢圓方程與雙曲線方程的教學

6、理科選修2-2中復數(shù)的教學與實數(shù)相關知識的類比

7、理科選修2-3中的概率與必修3中的概率

二、類比教學的具體內容

1、對研究對象的具體知識點進行類比

如平面向量和空間向量中都涉及到向量的表示方法，向量的加減法，數(shù)乘，數(shù)量積的運算，向量的坐標表示及相關的運算公式

2、對研究對象的具體研究方法進行類比

如指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖像與性質的教學中，都是結合圖像分別研究其定義域值域，單調性，過定點問題等，都按照底數(shù)大于1和小于1兩種情況進行分類討論，教學中可進行相關類比。又如正余弦函數(shù)的圖像與性質也是如此。

3、對研究對象涉及的相關考試題型進行類比

如等差等比數(shù)列中都涉及到數(shù)列的求通項，求和問題。圓錐曲線中的橢圓與雙曲線都涉及到求標準方程，求離心率，準線方程問題等。而這些典型問題的處理方法和易錯點也是類似的。

4、在原有知識的基礎上進行再研究，再拓展

三、類比教學的具體實施過程

首先學生要對已有舊知識進行回顧，對之前的研究方法，研究中涉及的內容，典型題目進行回顧反思，具備一定的知識框架結構。沒有舊知識的鋪墊，新的內容將無法有效地展開。教師在具體的教學過程中要對原有的知識進行一下簡單有效的回顧，也可以在教學過程中進行回顧，甚至可以讓學生自己回顧，根據(jù)學生的回顧有針對性地進行教學。因此在進行類比教學前，師生雙方都要做好充分的準備，由此才能更好地開展新的教學活動。

其次，教師要對本節(jié)課所要教學的內容，結合原有知識進行相關的類比設計，制定相關的問題，引導學生的回憶和類比?？梢栽O計相關的表格讓學生自己試著填寫，并對學生提出的想法進行評價。學生的類比有些是正確的，有些是不完整的，還有些是錯誤的，因此教師要根據(jù)具體問題進行點評，指導學生完成類比，掌握正確的知識。在教學的過程中，應該多讓學生自己提出問題，而非由教師直接給出正確的結論。

以下是在雙曲線教學中與橢圓相關知識進行類比，設計的部分表格：

研究內容 橢圓 雙曲線

圖像怎么畫出來的？

根據(jù)圖像給出第一定義（定長與定點間距離的關系）

根據(jù)第一定義求出標準方程 （如何推導）兩種情況，如何根據(jù)方程判斷焦點位置

根據(jù)圖像研究幾何性質――對稱性，頂點坐標，焦點等

……………

……………

典型例題

思考：兩者還有哪些區(qū)別和聯(lián)系？

當然也可以事先不設計相關的類比問題，完全由學生在實際的教學活動中動態(tài)生成，學生想到什么問題，我們就來研究什么問題，讓整個課堂思維更加開放，讓教學內容更加發(fā)散，而這樣的教學方式必然要求教師具備良好的課堂駕馭能力，豐富的知識儲備，對教師提出了更高的要求。還可以讓學生在課前先進行自我思考，提出自己的問題，然后在課堂上根據(jù)之前的問題有選擇的進行教學，也可以在教師的指導下，讓學生自行解決自己提出的問題。

最后，教師要對整堂課的內容進行有效的總結。學生提出的類比問題可能是零碎的，不成體系的，要對這一堂課涉及的內容進行分析總結，理清相互間的關系，讓學生在回顧原有知識的同時，一方面對舊知識有了更深刻的認識，另一方面對新知識又進行了有效的學習，達到一舉兩得的教學效果。

四、類比教學的優(yōu)缺點

通過對原有知識的類比，進行新知識的學習。一方面使學生對先前的學習內容進行的有效的復習回顧，防止學生的遺忘。當前學生普遍存在的問題就是前學后忘，往往前一章內容學完，沒過多久就忘光了。原因在于缺少自己的回顧反思，沒有將書本上的知識真正轉化為自己的東西，沒有在腦子里形成一定的知識體系框架結構。通過類比教學，能有效地促進學生的不斷回顧，反思和總結。另一方面，通過類比培養(yǎng)學生的思維能力，拓展學生的思維，讓學生學會自己提出問題，解決問題，真正成為學習的主人，體會學習的樂趣。讓學生對整個高中數(shù)學知識體系有一個全新的認識，有一個更為深刻的理解，看清楚知識點之間的相互聯(lián)系，體會不同思想方法之間的相互聯(lián)系。