高中數(shù)學抽象概括能力培養(yǎng)方式淺議

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【摘要】數(shù)學抽象概括能力是數(shù)學思維的一大核心能力，也是學生理解數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學的重要條件。教師在高中數(shù)學教學中要加強對學生抽象概括能力的培養(yǎng)，引導學生在數(shù)學學習中自覺排除本質(zhì)因素的干擾，使學生能準確抓住問題的特征，由表及里地進行分析和解決。本文通過數(shù)學概念形成過程、圖形關(guān)系和數(shù)學習題變式訓練等方式來培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象概括能力，從而促進學生學習效率的提高。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；抽象概括；能力培養(yǎng)

數(shù)學抽象概括能力是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是每個學生應(yīng)具備的基本數(shù)學素養(yǎng)。它對提高學生的數(shù)學學習能力具有重要幫助作用，如何才能培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象概括能力，筆者在高中數(shù)學教學中進行了實踐探索。

一、經(jīng)歷概念形成過程，培養(yǎng)抽象概括能力

數(shù)學概念的形成過程是一個抽象概括的過程，是通過對各種數(shù)學關(guān)系的表形形式進行歸納總結(jié)，最后抽象概括出具有普遍性的數(shù)學本質(zhì)。教師在數(shù)學概念教學中，常常是直接給出定義，講解概念本質(zhì)屬性、內(nèi)涵與外延，最后進行鞏固練習。這種簡明直接的數(shù)學概念教學方法，既不利于學生掌握概念，也不利于培養(yǎng)學生的抽象概括能力。教師只有在概念的形成過程中去啟發(fā)學生，讓學生經(jīng)歷數(shù)學概念本質(zhì)屬性的抽象概括過程，學生才能真正理解數(shù)學概念。例如，在教學高中數(shù)學“空間兩條直線的位置關(guān)系”時，教師可通過概念的形成過程來培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象概括能力?？蓮囊韵滤膫€步驟教學。一是直觀感知具體數(shù)學事例。教師可在同一平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，為學生展示生活中空間兩條直線位置關(guān)系的事例，如課桌的四條邊、立交橋兩個路面的交通線、旗桿與地基邊沿線等。讓學生感知這些空間體中哪些線能相交，哪些不能相交。二是歸納分析事例數(shù)學屬性。在對數(shù)學事例感知的基礎(chǔ)上，學生通過觀察、比較來分析這些線段或直線的相同點與不同點。可按照相交與不相交（有沒有公共點）來區(qū)分兩條直線的位置關(guān)系，也可以按照在不在一個平面進行區(qū)分，還可按平行與不平行進行區(qū)分。以此來歸納分析這些事例中包含的數(shù)學屬性（兩條直線的位置關(guān)系）。三是邏輯演繹篩選本質(zhì)屬性。歸納了這些事例的數(shù)學屬性后，學生要進行嚴謹?shù)倪壿嬔堇[，以此來篩選出這些數(shù)學事例中最本質(zhì)的屬性（特征）是什么，如立交橋兩個路面的交通線是不相交、不平行、不在同一平面內(nèi)的兩條直線，就可確定它們是異面直線。四是概括本質(zhì)屬性形成概念。最后教師引導學生對空間內(nèi)兩條直線的不同位置關(guān)系進行概括總結(jié)，從特殊情況再擴展到一般情況，最后就能形成“空間兩條直線的位置關(guān)系”完整的數(shù)學概念。教師通過這四個步驟，既能培養(yǎng)學生的抽象概括能力，又能使學生深入理解數(shù)學概念。

二、通過圖形關(guān)系類比，培養(yǎng)抽象概括能力

圖形與數(shù)量是數(shù)學知識的兩個主要方面，運用圖形和圖形關(guān)系能把數(shù)量之間具有的抽象關(guān)系變得具體化、直觀化，特別是借助于數(shù)形結(jié)合的思想方法，更有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象概括能力。例如，在高一必修1的《對數(shù)函數(shù)性質(zhì)》教學時，可利用圖形關(guān)系和數(shù)形結(jié)合思想方法來培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象概括能力。學生要掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，首先應(yīng)掌握對數(shù)函數(shù)圖象的畫法，可以運用“列表—描點”的傳統(tǒng)方法繪制，還可以利用已經(jīng)學過的指數(shù)函數(shù)的圖象，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖形y=x關(guān)于對稱的關(guān)系，就可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖象。借助于對數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，再與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行類比，就能讓學生抽象概括出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：對數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+∞）、值域是R，而指數(shù)函數(shù)的定義域是R、值域是（0，+∞），兩者正好相反；兩個函數(shù)都是非奇非偶函數(shù)；在單調(diào)性方面，兩個函數(shù)具有相同的性質(zhì)，即當a>1時，兩者單調(diào)遞增，當0<a<1，兩者單調(diào)遞減；對數(shù)函數(shù)經(jīng)過（1，0）特殊點，而指數(shù)函數(shù)經(jīng)過（0，1）特殊點；對數(shù)函數(shù)的對稱軸是x軸，而指數(shù)函數(shù)的對稱軸是y軸。在《對數(shù)函數(shù)性質(zhì)》教學中，教師遵循了“從具體到抽象”的教學過程，通過借助于對數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)系進行類比抽象，使學生很容易掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，同時促進了學生數(shù)學抽象概括能力的提升。習題訓練是高中數(shù)學教學的重要內(nèi)容，在習題訓練

三、運用習題變式訓練，培養(yǎng)抽象概括能力

師可借助于變式訓練來培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象概括能力和創(chuàng)新思維能力教師可通過改變原題目的某些條件或所求結(jié)論，來訓練學生解題思維的拓展性、整體性和邏輯性，達到培養(yǎng)學生數(shù)學抽象概括能力的目的。例如，如果a=，b=，c=，那么a、b、c三者之間的大小關(guān)系是（）解析：要解此題可先解決與之相關(guān)的問題，進行變式訓練：變式1：比較、、大?。蛔兪?：求f（x）=的單調(diào)區(qū)間。通過比較（）、（）、（），就容易得出；；函數(shù)f（x）=在區(qū)間（0，+∞）是單調(diào)遞增，∴，即可推出。教師在本題中運用變式訓練來進行類比構(gòu)造，并通過對相關(guān)的知識體系進行抽象概括，既實現(xiàn)了所求問題的轉(zhuǎn)化，也實現(xiàn)了學生抽象概括能力的遷移。四、梳理學生思路，培養(yǎng)抽象概括能力部分。在運用數(shù)學知識的過程中，教師應(yīng)該充分發(fā)揮自身指導作用，使學生了解與掌握解題思路，總結(jié)學習方法，發(fā)現(xiàn)探索與解答問題規(guī)律，通過應(yīng)用實踐教學，提高學生的抽象概括能力。在高中數(shù)學教學中，應(yīng)用實踐問題是教學環(huán)節(jié)中的一個重要問題。教師可通過舉例形式，培養(yǎng)學生自主解決問題的意識以及抽象概括能力，明確此類應(yīng)用問題的解題思路與解題方法，幫助學生找到快速解答問題的方案。例如，在高中數(shù)學教學中三角函數(shù)問題至關(guān)重要，教師可引導學生利用三角函數(shù)圖象的性質(zhì)來解決這一問題。在具體解題過程中教師還可引導學生從正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和切線函數(shù)三個方面來分析圖象的特征。分析函數(shù)表達式，比較正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之間存在的差異性，繪制函數(shù)坐標圖，要求學生對各函數(shù)之間存在的關(guān)系進行總結(jié)。將所學理論知識應(yīng)用到實際習題練習中，學生可以獨立地將這些已知變量和未知變量代入到公式中。教師可舉例，要求學生作答，如果函數(shù)y=3sin（x+）的反比例函數(shù)為H，如何獲得y=3sin（x-）的反比例函數(shù)圖象。教師應(yīng)不斷開拓學生思維，引導學生總結(jié)知識，培養(yǎng)學生的抽象概括能力，為高中數(shù)學教學質(zhì)量與教學效率的有效提高奠定堅實基礎(chǔ)。總之，在高中數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象概括能力，對學生的數(shù)學能力提升具有重要意義。因此，教師要注重利用數(shù)學概念形成過程、圖形關(guān)系和習題變式訓練，來培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象概括能力，從而促進學生的數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)。

作者:楊帆 單位:重慶璧山中學